Theo như mình đã nói, muốn chứng minh chính quy thì bạn có thể tham khảo cái link đầu tiên mình gửi.

Đơn giản lắm. Gọi $\lambda$ là giá trị riêng tương ứng của X. Khi đó ta có:

$AX={\lambda} X$

Sau khi thực hiện phép nhân hai ma trận A và X và thế vào phưong trình trên, vì hai hàng đầu của $\lambda X$ luôn bằng nhau nên ta được: $2+4m=8+2m$ do đó m=3. Thay vào thu được $\lambda =7$

Áp dụng các khai triển giới hạn lân cận 0 đến bậc 2 trên tử:

$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)$

$cos(x)=1-x^2/2+o(x^4)$

$\sqrt{1+2x}=1+x-x^2/2+o(x^3)$

Dưới mẫu thì chỉ cần bậc 1 là đủ:

$sin(2x)=2x+o(x^3)$

Thay các khai triển kia vào biểu thức và rút gọn bạn sẽ ra được giới hạn cần tìm bằng 1/4

Bạn có thể sử dụng phương pháp khai triển giới hạn (đến bậc 2) cho các hàm exp, sin và cos lân cận 0.

Bạn có thể sử dụng công thức Stirling để chứng minh.

Tham khảo link sau để biết cách chứng minh: http://www.sosmath.c...g/stirling.html

Cách chứng minh trên tuy "chính quy" nhưng sử dụng khá nhiều thủ thuật cũng như bổ đề. Ta cũng có thể sử dụng phương xấp xỉ bằng cách áp dụng phương pháp Laplace cho tính gần đúng tích phân:

$\int_{a}^{b}e^{Mf(x)}dx\simeq \sqrt{\frac{2\pi }{M\left | f{}''(x_0) \right |}}e^{Mf(x_0)}$

Với M là một số lớn. x0 là điểm cực đại của hàm f.

Để biết thêm chi tiết về phương pháp tính gần đúng của Laplace, bạn tham khảo link sau: http://en.wikipedia....aplace's_method