Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

$*$ TOPPIC CẦN CÁC BẠN...

Chúng ta sẽ dựa vào tính chất để bắt đầu :

Bài 1 : Có thể có hay không biệt số $\Delta$ của phương trình bậc hai: $ax^2+bx+c=0$ với hệ số nguyên $a,b,c$ bằng $23$.

Bài 2:  Giả sử $a,b,c$ sao cho : $2a,a+b,c$ là các số nguyên. Chứng minh răng: với $x\in\mathbb{Z}$ thì $ax^2+bx+c$ cũng là số nguyên.

Lần sau bạn có đăng bài thì hãy bỏ ý cần hỏi vào Chứ :

Tìm GTNN của $a^3+b^3+2c^3$

Bài 1: Cho Phương Trình $3 \sqrt{4x - x^2}+ m = x^2 - 4x$ . Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn $[0;4]$

Mình mới tham gia,. Mong được sự giúp đỡ của các bạn !

NOT SPAM !!!

Đúng rồi bạn. Bài toán này khá quen thuộc!!!

p/s: thầy nào vậy???

Mà bạn Huong TH Phan có tài liệu chuyên toán hay cho mình với ! Mình không biết bắt đầu từ đâu cả !

$ \left | 2014-x \right |^{2015}+\left | 2015-x \right |^{2014}=0 $
 

Ai biết đăng kí thi chỉ với sao không tìm thấy chỗ nào để đăng kí thi cả ! giúp với.

Bài 22: $Tìm f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}  thỏa  mãn i) f(-x)= -f(x)   ii) f(x+1) = f(x)+1   iii) f(\frac{1}{x}) = \frac{f(x)}{x^{2}}  mọi  x\neq 0$

MÌnh xin góp vui.

                  1. Tìm m để phương trình $x^2-x+m=0$ có hai nghiệm $x_1 , x_2$ sao cho $x_1^4+x_2^4-x_1^5-x_2^5$ đạt GTLN.

               2. Cho $a \neq0$. Giả sử $b.c$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $x^2-ax-\frac{1}{2a^2}=0$.CMR 
$b^4+c^4\geq 2+\sqrt{2}$.

$*$Chúng ta sẽ cùng tiếp theo:
Bài 3: Cho a,b,c,d $\in$ R. CMR một trong 4 phương trình sau có nghiệm.
$ax^2+2bx+c=0$, $bx^2+2cx+d=0$, $cx^2+2dx+a=0$, $dx^2+2ax+b=0$.

Bài 4: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. CMR trỏng phương trình $x^2-2ax+b=0$, $x^2-2bx+c=0, x^2-2cx+a=0$ có ít nhất 1 phương trình có 2 nghiệm phân biệt và ít nhất 1 phương trình vô nghiệm.

Bài 21: Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $x^2-6x+1=0$ . CMR với mọi số nguyên n thì $S_n=x_1^n+x_2^n$ là một số nguyên không chia hết cho 5.

Tiếp nhé !

Bài 20: Giả sử phương trình có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thuộc đoạn $[0;1]$

            Tìm GTNN và GTLN của $ P = \frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$.

Bài 19: Cho $f(x)=ax^2+bx+c$. Thỏa mãn $\left|f(-1)\right|\leq1, \left|f(1)\right|\leq1, \left|f(0)\right|\leq1$. CMR

a) $\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\leq3$.

b) $\left|f(x)\right|\leq7$ với $\left|x\right|\leq2$.

c) $\left|f(x)\right|\leq \frac{5}{4}, \forall \left|x\right|\leq 1$.

Bài 18: Cho $f(x)=ax^2+bx+c,a\neq0 $. Cho $a=1$. Giả sử phương trình $f(x)=x$ có hai nghiệm phân biệt . Chứng minh rằng phương trình $f(f(x))=x$ có nghiệm phân biệt nếu $(b+1)^2>4(b+c+1)$.

Bài 17: Giả sử  : $\left|ax^2+bx+c\right|\leq 1$ khi $\left|x\right| \leq 1$. CMR $\left| cx^2+bx+a\right|\leq 2$ khi $\left|x\right|\leq 1$.

Bài 16: Cho $f(x)=ax^2+bx+c=0, a\neq0$ thoả mãn $f(x)\leq2008$ khi $\left|x\right| \leq1$. CMR $ \left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right| \leq4.2008$

Bài 15: Cho $f(x)=ax^2+bx+c$.Biết phương trình $f(x)=x$ vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình $af^2(x)+bf(x)+c=x$ vô nghiệm.

Bài 14: Tìm các số hữu tỉ dương $x,y$ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số nguyên.

Tiếp tục nhé !

Bài 13: Tìm $a\in\mathbb{Z}$ để phương trình có nghiệm nguyên:  $x^2-(3+2a)x+40-a=0$

Bài 12: Giả sử $a,b,c$ sao cho : $2a,a+b,c$ là các số nguyên. Chứng minh răng: với $x\in\mathbb{Z}$ thì $ax^2+bx+c$ cũng là số nguyên.

Bài 11: Có thể có hay không biệt số $\Delta$ của phương trình bậc hai: $ax^2+bx+c=0$ với hệ số nguyên $a,b,c$ bằng $23$ 

 ***Tiếp tục nhé ! Cùng nhau post bài để có một topic đầy đủ nhất nhé !***
Bài 10: Nghiệm của phương trình: $x^2+ax+b+1=0$ là các số tự nhiên khác $0$. Chứng minh rằng : $a^2+b^2$ cũng là số tự nhiên.

Bài 9: Cho 3 phương trình $x^2+ax+1=0 (1), x^2+bx+1=0 (2), x^2+cx+1=0 (3)$.Biết tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là một nghiệm của phương trình (3). Chứng minh rằng :
 

$a^2+b^2+c^2+abc=4$.

Anh em làm hộ nha !