https://youtu.be/KxjMi1QexlQ
https://youtu.be/C78p7CpmTtw
https://youtu.be/Bhj6wzLf6J4
https://youtu.be/kw1HA1Z5RLQ

Cảm ơn bạn nhen.

Mặt phẳng $(P): 2x+y-2z+1=0 \Longrightarrow y=-2x+2z-1$

Chọn hoành độ $x=a$ và cao độ $z=c$ thế vào trên ta được tọa độ $H(a;-2a+2c-1;c)$

Chú ý: $H \in (P)$

 

Bước 1: Tâm mặt cầu thuộc $d$ nên $I(3+t;-2+2t;4+3t)$

Bước 2: Điều kiện tiếp xúc (Tìm ra $t$ rồi tìm $I$)

$d(I,(P))=d(I,(Q))$

$\Leftrightarrow t=-\frac{7}{5}$

Bước 3: Tính bán kính $R$ rồi thế vào là ra đáp án.

Bước1: Chọn một điểm $M=(P) \cap (Q)$: $M(0;-1;0)$

Bước 2: Tìm vector chỉ phương của $d$: $\vec{u}=[\vec{n_{(P)}}, \vec{n_{(Q)}}]=(1;-2;-3)$

Bước 3: Phương trình thm số của $d$: ${x=t; y=-1-2t; z=-3t}$

Chú ý: Đưa về phương trình chính tắc quan sát đáp án để nhận Nhưng có một số bài ra đáp án không giống bạn có thể lấy hai điểm thuộc đường thẳng d bất kì rồi thế vào đáp án thỏa thì nhận.

 

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 10: https://www.youtube....h?v=WPrLO8qHcns

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 15: https://www.youtube.com/watch?v=_oS7yuWn8Io

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 21: https://www.youtube....Gmftln4c&t=143s

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 24: https://www.youtube....pD9ChItA&t=254s

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 25: https://www.youtube....h?v=6jlL-HiXYDg

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 28: https://www.youtube....h?v=h3vAKGt1L6M

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 29: https://www.youtube....cq0OgyvL3s&t=8s

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 44: https://www.youtube....ms3BoGBw&t=314s

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 45: https://www.youtube....h?v=DnBXGUyXOJE

Mô phỏng đề thi minh họa toán năm 2018 câu 47: https://www.youtube....h?v=n209EFmq23k

 

Câu 4.c: Chứng minh: $MP+MQ=AH$

Ta có:

$S_{\Delta MAB}=\frac{1}{2}.MP.AB=\frac{1}{2}.MP.BC (do AB=BC)$

$S_{\Delta MAC}=\frac{1}{2}.MQ.AC=\frac{1}{2}.MQ.BC (do AC=BC)$

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$

Mà:

$S_{\Delta MAB}+S_{\Delta MAC}=S_{\Delta ABC}$

$\Longrightarrow \frac{1}{2}.MP.BC+\frac{1}{2}.MQ.BC=\frac{1}{2}.AH.BC$

$\Longrightarrow \frac{1}{2}.BC(MP+MQ)=\frac{1}{2}.AH.BC$

$\Longrightarrow MP+MQ=AH$

Câu 4.b: Chứng minh: $OH \perp PQ$

Ta có: $\widehat{AHM}=90^0 \Leftrightarrow \widehat{AHM}$ nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính $AM \Longrightarrow H$ thuộc đường tròn $(O)$.

Ta có: $\widehat{HPQ}=\widehat{HAC}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HQ$)

           $\widehat{HQP}=\widehat{HAB}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HP$)

Mà: $\widehat{HAC}=\widehat{HAB} \Longrightarrow \widehat{HPQ}=\widehat{HQP} \Longrightarrow \Delta HPQ$ cân tại $H \Longrightarrow HP=HQ (1).$

Do: $P, Q \in (O) \Longrightarrow OP=OQ (2).$

Từ $(1)$, $(2) \Longrightarrow OH$ là trung trực của $PQ \Longrightarrow OH \perp PQ$

Câu 4.a: Chứng minh rằng: tứ giác $APMQ$ nội tiếp đường tròn và xác định tâm của đường tròn này.

Xét tứ giác $APMQ$ có: $\widehat{APM}=\widehat{AQM}=90^0 (gt) \Longrightarrow \widehat{APM}+\widehat{AQM}=180^0 \Longrightarrow$ tứ giác $APMQ$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AM$.

Gọi $o$ là trung điểm của $AM \Longrightarrow$ tứ giác $APMQ$ nội tiếp được trong đường tròn tâm $O$ đường kính $AM$.

Câu 3:

Gọi số có hai chữ số cần tìm là: $\overline{ab} (a\in \mathbb{N^*}, b\in \mathbb{N}, 0<a\leq9, 0\leq b \leq 9)$

Số nghịch đảo của số ban đầu: $\overline{ba}, b\ne0$

Theo đề bài ta có hệ phương trình sau: 

$$\begin{cases} 
\overline{ab}-\overline{ba} = 18 & \color{red}{(1)} \\
\overline{ab}+(\overline{ba})^2 = 618 & \color{red}{(2)}
\end{cases} .$$

 

$$\begin{cases} 
a-b = 2 & \color{red}{(1)} \\
10.a+b+100.b^2+20ab+a^2 = 618 & \color{red}{(2)}
\end{cases} $$

 

$$\begin{cases} 
a = b+2 & \color{red}{(1)} \\
121.b^2+55b-594 = 0 & \color{red}{(2)}
\end{cases} $$

 

 

$$\begin{cases} 
a = 4 & \color{red}{(1)} \\
b = 2 & \color{red}{(2)}
\end{cases} $$

 

Vậy: Số cần tìm: 42

Câu 2:

2)

a) Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M(1;-3)$ có hệ số góc $k$ là: $y=k(x-1)-3 \Leftrightarrow y=kx-k-3$

+ Điểm $A \in ox \Longrightarrow A(x_A;0) \Longrightarrow A(\frac{k+3}{k};0)$

+ Điểm $B \in oy \Longrightarrow B(0;y_B) \Longrightarrow B(0;-k-3)$

b) Với $k=2$ phương trình đường thẳng $d$: $y=2x-5$

+ Suy ra tọa độ điểm: $A(-\frac{5}{2};0)$ và  $B(0;-5)$.

+ Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên diện tích tam giác $OAB$ là: $S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\vert x_A\vert .\vert y_B\vert=\frac{25}{4}$

Câu 2: 

1)

$\begin{align}
    \begin{cases}
        2x-y &= 4 \\
        x+3y &= -5
    \end{cases}
\end{align}$

$\begin{align}
    \begin{cases}
        6x-3y &= 12 \\
        x+3y &= -5
    \end{cases}
\end{align}$

$\begin{align}
    \begin{cases}
        7x &= 7 \\
        y &= 2x-4
    \end{cases}
\end{align}$

$\begin{align}
    \begin{cases}
        x &= 1 \\
        y &= -2
    \end{cases}
\end{align}$

Câu 1: 

a) 

Điều kiện:$x>0$

$A=(\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}):\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}$

$=(\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}):\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2}$

$=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}.\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}}$

$=\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{x}$

$=\frac{1-x}{x}$

b)

Điều kiện: $x>0$

$A>\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1-x}{x}>\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1-x}{x}-\frac{1}{2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{2-2x-x}{2x}>0$

$\Leftrightarrow 2-3x>0$ do $2x>0$

$\Leftrightarrow x<\frac{2}{3}$

Vậy: $0<x<\frac{2}{3}$ thì $A>\frac{1}{2}$

 

Câu 1: (2 điểm)

Rút gọn biểu thức: $A=(\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}):\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}$, với $x>0$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để $A>\frac{1}{2}$.

Câu 2: (2 điểm)

1) Không dùng máy tính hãy trình bày cách giải của hệ phương trình sau:

$\begin{align}
    \begin{cases}
        2x-y &= 4 \\
        x+3y &= -5
    \end{cases}
\end{align}$

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có hệ số góc $k$ đi qua điểm $M(1;-3)$ cắt các trục $ox$, $oy$ lần lượt tại các điểm A và B.

a) Xác định tọa độ điểm A và B theo $k$.

b) Tìm diện tích tam giác $OAB$ khi $k=2$.

Câu 3: (2 điểm)

Tìm một số có hai chữ số biết rằng: Hiệu của số ban đầu và số đảo ngược  của nó bằng $18$ (số đảo ngược của một số là số thu được bằng cách viết các chữ số của số đó theo một thứ tự ngược lại) và tổng của số ban đầu với bình phương số ngược của nó bằng $618$.

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ tuỳ ý($M$ không trùng với $B$, $C$, $H$). Gọi $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AB$ và $AC$.

a) Chứng minh rằng: tứ giác $APMQ$ nội tiếp đường tròn và xác định tâm của đường tròn này.

b) Chứng minh: $OH$ vuông góc $PQ$

c) Chứng minh: $MP+MQ=AH$

Câu 5: (1 điểm)

Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Hai điểm M, N lần lượt di động trên đoạn thẳng AB, AC sao cho $\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1$. Đặt $AM=x$ và $AN=y$.

Chứng minh rằng: $MN=a-x-y$.

3.Qui tắc tính đạo hàm:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} && \textbf{Hàm số sơ cấp} & \textbf{Hàm hợp} \\
\hline
(C)'=0 &&&(\sin{x})'=\cos{x}&(\sin{u})'=u'\cos{u} \\
\hline
(x)'=0 &&&(\cos{x})'=-\sin{x}&(\cos{u})'=-u'\sin{u} \\
\hline
(x^n)'=1 &(u^n)'=n.u^{n-1}.u'&&(\tan{x})'=\frac{1}{\cos^2{x}}&(\tan{u})'=\frac{u'}{\cos^2{u}} \\
\hline
(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}&(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}&&(\cot{x})'=-\frac{1}{\sin^2{x}}&(\cot{u})'=-\frac{u'}{\sin^2{u}} \\
\hline
\end{array}$

 

Chúng ta sửa lại:

$(x)'=1$

$(x^n)'=nx^{n-1}$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO          Kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT 

          BÌNH ĐỊNH                                                   Khóa ngày: 22-10-2017

Môn: Toán

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

Thi ngày: 22/10/2017

 

Bài I: (5,0 điểm)

1. Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^2}}{2}}=1-2x^2$

2. Cho đa thức $f(x)=x^2+px+q$ với $p,q\in Z$. Chứng minh rằng tồn tại $k\in Z$ sao cho $f(k)=f(2017).f(2018)$.

Bài II. (4,0 điểm)

Xét số tự nhiên $A_{n}=2016.2016...2016$ gồm $n$ số $2016$ viết liên tiếp nhau $(n\in N^*)$.

a) Chứng minh rằng số $A_{1008}$ chia hết cho $2017$.

b) Gọi $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $A_{k}$ chia hết cho $2017$. Chứng minh rằng $2016$ chia hết cho $2k$.

Bài III: (4,0 điểm)

Cho dãy $(x_{n})$ thỏa: 

\begin{align}
    \begin{cases}
        x_{0}&=2 \\
        x_{n+1}&= \frac{2x_{n}+1}{2+x_{n}},\forall n\in N
    \end{cases}
\end{align}

 

a) Tìm số hạng tổng quát $x_{n}$.

b) Tìm phần nguyên của $S_{n}=x_{0}+x_{1}+...+x_{n}$

Bài IV: (4,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn không đều có trực tâm $H$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ sao cho tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ cắt $OH$ tại $N$. Gọi $K$ là giao điểm của hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$, $M$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$. Chứng minh: $K$, $M$, $N$ thẳng hàng.

Bài V: Trong tập hợp các số tự nhiên có $4$ chữ số ta chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho $7$ và số chữ hàng đơn vị bằng $1$.

tại sao bạn xét hai hàm ban đầu. hãy giải thích xem.

HÀM SỐ LIÊN TỤC

A.ÔN TẬP LÝ THUYẾT:
1.Hàm số liên tục tại một điểm:  $y = f(x)$ liên tục tại $x_0 \iff  \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})$
- Để xét tính liên tục của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tính   $f(x_0)$.
Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ (trong nhiều trường hợp ta cần tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x)$)
Bước 3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận.
Bước 4: Kết luận.
2.Hàm số liên tục trên một khoảng: $y = f(x)$ liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3.Hàm số liên tục trên một đoạn $[a; b]$: $y = f(x)$ liên tục trên $(a; b)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)$.
4.Hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$.
   Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5.Giả sử $y = f(x),\,\, y = g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$.

Khi đó:
- Các hàm số $y = f(x) + g(x),\,\, y = f(x) – g(x),\,\, y = f(x).g(x)$ liên tục tại $x_0$.
- Hàm số $y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g(x_0) \ne 0$.
6.Nếu $y = f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a). f(b)< 0$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in (a; b):\,\, f(c) = 0$.
Nói cách khác: Nếu $y = f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a). f(b)< 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ có ít nhất một nghiệm  $c\in (a; b)$.
Mở rộng: Nếu $y = f(x)$ liên tục trên [a; b]. Đặt $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$,  $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)$. Khi đó với mọi $T \in (m; M)$ luôn tồn tại ít nhất một số $c \in (a; b)$: $f(c) = T$.
B.CÁC DẠNG TOÁN:
Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm:
Dạng 1: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m) & \text{nếu}\,\,x \ne {x_0}\\
g(x,m) & \text{nếu}\,\,x = {x_0}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = {x_0}$
Phương pháp:
Bước 1: Tính   $f(x_0)$.
Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$.
Bước 3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) =  - 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x - 2}} =  - 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) =  - 3$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) =  - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x - 2}} =  - 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$ nên hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) =  - 3m.1 - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x - 2}} =  - 3$
Để hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow  - 3m - 1 =  - 3 \Leftrightarrow m =  - \frac{2}{3}$
Vậy: Giá trị $m$ cần tìm là $m = -3$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x + 3}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x =  - 1$ 
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
\frac{1}{4}& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$

c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\,\,\,\,\,\,\\
1& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$
d) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - 1}}{x}& &\text{nếu}\,x \ne 0\,\,\,\,\,\,\\
\frac{1}{3}& &\text{nếu}\,\,x = 0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
Bài tập 2: Tìm $m$, $n$ để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
3x + m& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
b) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
m&  &\text{nếu}\,\,x = 0\\
\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x(x - 3)}}&  &\text{nếu}\,\,x \ne 0,x \ne 3\\
n&  &\text{nếu}\,\,x = 3
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0\,\,\text{và}\,\,x = 3$
c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m&  &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 2}}{{\sqrt {6 - x}  - \sqrt[3]{{6 + x}}}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m&  &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$
Dạng 2: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \ge {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x < {x_0}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = {x_0}$ hoặc $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x > {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \le {x_0}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = {x_0}$
Phương pháp:
Bước 1: Tính   $f(x_0)$.
Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$.
Bước 3: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận.
Bước 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} - 3x + 2}}& &\text{nếu}\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 1 = 1$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) =  - 3$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &\text{nếu}\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) =  - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 1) =  - 1$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) =  - 3$ nên hàm số f(x) gián đoạn tại ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
$f(1) =  - 3m.1 - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{5x - 2}}{{x + 2}} = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 3mx - 1) =  - 3m – 1$
Do hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow  - 3m - 1 = 1 \Leftrightarrow m =  - \frac{2}{3}$
Vậy: Giá trị $m$ cần tìm là: $m =  - \frac{2}{3}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 5}}{{\sqrt {2x - 1}  - 3}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\
{(x - 5)^2} + 3& &\text{nếu}\,\,x \le \,\,5
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = 5$ 
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
1 - \cos x& &\text{nếu}\,\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\
\sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x}  - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ 
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 - \sqrt {2 - x} }}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- \frac{x}{2}& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ 
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
g) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{4 - \sqrt {{x^2} + 16} }}& &\text{nếu}\,\,x < 0\\
1 - 2{x^2}& &\text{nếu}\,\,x \ge 0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,x = 0$
h) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt[3]{{3 - 2x}} - \sqrt {2 - x} }}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- \frac{x}{2}& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
2mx - 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$ 
b) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 5}}{{\sqrt {2x - 1}  - 3}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\
{(x - 5)^2} + 3m& &\text{nếu}\,\,x \le \,\,5
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = 5$
c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
1 - m\cos x& &\text{nếu}\,\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\
\sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0
\end{array} \right.\text{tại}\,\,x = 0$ 
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x}  - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2mx + 1& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2(m - 1)x + 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
m - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên tập xác định của nó:
Dạng 1: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \ne {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x = {x_0}
\end{array} \right.$
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Khi $x \ne {x_0}$. Kiểm tra tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại $x \ne {x_0}$.
Bước 3: Khi $x = {x_0}$.
- Tính   $f(x_0)$.
- Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$.
- So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận tại điểm $x_0$.

Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng.
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
3& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x \ne 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
- Nếu $x = 1$
$f(1) =  - 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = 3$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại ${x_0} = 1$
- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x \ne 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
- Nếu $x = 1$
$f(1) =  - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1)$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại ${x_0} = 1$
Suy ra hàm số $f(x)$ không liên tục tại ${x_0} = 1$
- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ nhưng gián đoạn tại ${x_0} = 1$
Ví dụ 3: Tìm $m$ để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:
$f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x \ne 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
- Nếu $x = 1$
$f(1) =  - 3m - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
Do hàm số $f(x)$ không liên tục tại ${x_0} = 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow  - 3m - 1 = 3 \Leftrightarrow m =  - \frac{4}{3}$.
- Vậy: Giá trị $m$ cần tìm là $m =  - \frac{4}{3}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x + 3}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,$   
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {x + 3}  - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\
\frac{1}{4}& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$
c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,x \ne 2\,\,\,\,\,\,\\
1& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$  
d) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} + x + 2}}{{{x^3} + 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne  - 1\\
\frac{4}{3}&  &\text{nếu}\,\,x =  - 1
\end{array} \right.$ 
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}&  &\text{nếu}\,\,x \ne  - 2\\
- 4&  &\text{nếu}\,\,x =  - 2
\end{array} \right.$  
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }}&  &\text{nếu}\,\,x \ne \sqrt 2 \\
2\sqrt 2&  &\text{nếu}\,\,x = \sqrt 2
\end{array} \right.$
Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại trên tập xác định của chúng:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
3x + m& &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$  
b) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
m &  & khi\,\,x = 0\\
\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x(x - 3)}}&  &\text{nếu}\,\,x \ne 0,x \ne 3\\
n&  &\text{nếu}\,\,x = 3
\end{array} \right.$
c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$   
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m&  &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$ 
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\
3x + m&  &\text{nếu}\,\,x = 1
\end{array} \right.$  
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} + x - 2}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
m& &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$
Dạng 2:$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \ge {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x < {x_0}
\end{array} \right.$ hoặc $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x > {x_0}\\
g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \le {x_0}
\end{array} \right.$
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Khi $x \ne {x_0}$. Kiểm tra tính liên tục của hàm số $f(x)$ trên các khoàng.
Bước 3: Khi $x = {x_0}$.
- Tính   $f(x_0)$.
- Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$.
- So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x)$ với $f(x_0)$ và rút ra kết luận tại điểm ${x_0}$.
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng.
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
3& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
- Nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.
- Nếu $x < 1$, thì hàm số $f(x) = 1$.
Đây là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.
- Nếu $x = 1$
$f(1) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 3 = 3$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) = 3$ nên hàm số f(x) liên tục tại ${x_0} = 1$
Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 1$
- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
- 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.
- Nếu $x < 1$, thì hàm số $f(x) = 1$.
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là $\mathbb{R}$.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.
- Nếu $x = 1$
$f(1) =  - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }}  - 1 =  - 1$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1)$ nên hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$
- Vậy: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$ và gián đoạn tại ${x_0} = 1$.
Ví dụ 3: Tìm $m$ để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng: $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}}& &\text{nếu}\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\
- 3mx - 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
- Nếu $x > 1$, thì hàm số $f(x) = \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{x - 1}}$.
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
Vậy nó liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.
- Nếu $x < 1$, thì hàm số $f(x) =  - 3mx - 1$.
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là $\mathbb{R}$.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.
- Nếu $x = 1$
$f(1) =  - 3m - 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {5x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x - 2) = 3$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 3mx - 1) =  - 3m – 1$.
Để hàm số $f(x)$ gián đoạn tại ${x_0} = 1$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1) \Leftrightarrow m =  - \frac{4}{3}$.
- Vậy: Giá trị $m$ cần tìm là $m =  - \frac{4}{3}$.
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
a) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 25}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\
{(x - 5)^2} + \frac{1}{{10}}& &\text{nếu}\,x \le \,\,5
\end{array} \right.\,\,\,\,$  
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
1 - \cos x& &\text{nếu}\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\
\sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0
\end{array} \right.$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
1 - x& &\text{nếu}\,\,\,x \le \,3\\
\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{2x - 6}}& &\text{nếu}\,\,\,\,\,x\, > \,3
\end{array} \right.$     
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,$ 
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,$ 
g) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x + 4& &\text{nếu}\,\,x < 2\\
5&  &\text{nếu}\,\,x = 2\\
2x + 1&  &\text{nếu}\,\,x > 2
\end{array} \right.$
h) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{12 - 6x}}{{{x^2} - 7x + 10}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\
2&  &\text{nếu}\,\,x = 2
\end{array} \right.$ 
Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:
a) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} & &\text{nếu}\,\,x < 1\\
2mx - 3 & &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.$  
b) $f(x)\, = \,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 5}}{{{x^2} - 25}}& &\text{nếu}\,\,x > 5\\
{(x - 5)^2} + 3m& &\text{nếu}\,\,x \le \,\,5
\end{array} \right.\,\,\,\,\,$
c) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
1 - m\cos x& &\text{nếu}\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\
\frac{{{x^3} + x}}{x} & &\text{nếu}\,\,x > \,0
\end{array} \right.$ 
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2mx + 1& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,$
e) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
- 2(m - 1)x + 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,$ 
f) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\
m - 2x & &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,$
g) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
2{m^2} + 1& &\text{nếu}\,\,x \le 1\\
\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x > 1
\end{array} \right.$
h) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + x &  & \text{nếu}\,\,x < 1\\
2 &  & \text{nếu}\,\,x = 1\\
mx + 1 &  & \text{nếu}\,\,x > 1
\end{array} \right.$
i) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} & &\text{nếu}\,\,x < 1\\
2mx - 3& &\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.$   
j) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 1}} & \text{nếu}\,\,x < 1\\
mx + 2\quad \quad \quad  & \text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.$
Vấn đề 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:
Ví dụ 1: Chứng minh phương trình $3{x^3} + 2x - 2 = 0$ có nghiệm trong khoảng $\left( {0;1} \right)$
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số $f(x) = 3{x^3} + 2x - 2$là hàm đa thức, liên tục trên R tức liên tục trên khoảng $\left( {0;1} \right)$.
- Ta có: $f(0).f(1) = ( - 2).(3) =  - 6 < 0$.
- Do đó: $\exists c \in (0;1):\,f(c) = 0$, tức phương trình  có nghiệm $c \in \left( {0;1} \right)$.
Ví dụ 2: Chứng minh phương trình $2{x^3} - 6{x^2} + 5 = 0$ có ba nghiệm trong khoảng $\left( { - 1;3} \right)$.
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số $f(x) = 2{x^3} - 6{x^2} + 5$ liên tục trên R nên $f(x) = 2{x^3} - 6{x^2} + 5$ liên tục trên mọi đoạn.
- Ta có: $f( - 1) =  - 3 < 0$, $f(0) = 5 > 0$, $f(2) =  - 3 < 0$, $f(3) = 5 > 0$. Suy ra phương trình có nghiệm trong mỗi khoảng $\left( { - 1;0} \right)$, $\left( {0;2} \right)$, $\left( {2;3} \right)$.
- Vậy:  Phương trìn có ba nghiệm trên khoảng $\left( { - 1;3} \right)$
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: $a{x^2} + bx + c = 0$ luôn có nghiệm $x \in \left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$với $a \ne 0$ và $2a + 6b + 19c = 0$.
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số $f(x) = a{x^2} + bx + c$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có: $f(0) = c$, $f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}(a + 3b + 9c)$
Do đó: $f(0) + 18f(\frac{1}{3}) = 2a + 6b + 19c = 0$
Như thế:
- Nếu $f(0) = 0$ hay $f(\frac{1}{3}) = 0$ phương trình $f(x) = 0$ hiển nhiên có nghiệm thuộc $\left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$.
- Nếu $f(0) \ne 0$ và $f(\frac{1}{3}) \ne 0$ ta thấy $f(0)f(\frac{1}{3}) < 0$.
Vậy: Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên $\left[ {0;\frac{1}{3}} \right]$.
Ví dụ 4: Với mọi $a,\,b,\,c \in R$, chứng minh phương trình: $a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b) = 0$ luôn luôn có nghiệm.
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số $f(x) = a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
$f(a) = a(a - b)(a - c)$, $f(b) = b(b - c)(b - a)$, $f(c) = c(c - a)(c - b)$
Giả sử $a \le b \le c$ (tương tự các trường hợp sau)
- Nếu $a = 0$ hoặc $b = 0$hoặc $c = 0$ ta có $f(0) = 0$ do đó $x = 0$ là một nghiệm của phương trình.
- Nếu $b \ne 0$. Ít nhất có một trong hai trường hợp xảy ra:
+Với $a \le b < 0 \Rightarrow f(a)f(b) =  - ab{(a - b)^2}(a - c)(b - c) \le 0$
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$
+Với $0 < b \le c \Rightarrow f(b)f(c) =  - bc{(a - b)^2}(b - a)(b - c) \le 0$
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn $\left[ {b;c} \right]$.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình ${\rm{ata}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x + b\tan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right)$ với $k \in Z$
Hướng dẫn giải:
- Xét hàm số ${\rm{f(x) = ata}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x + b\tan x + c$
Đặt ${\rm{t = tanx, }}\,{{\rm{x}}_{\rm{0}}} \in \left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)$. Khi đó ta có: ${\rm{f(t) = a}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}} + bt + c$ có ít nhất một nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in {\rm{(0;1)}}$.
- Nếu ${\rm{a}} \ne {\rm{0,}}\,\,{\rm{c}} \ne {\rm{0}}$. Ta có: ${\rm{f(0)f}}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = c}}\left( {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{9}}}a + \frac{2}{3}b + c} \right) =  - \frac{{{c^2}}}{3} < 0$. Vậy phương trình ${\rm{f(t) = 0}}$ có nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in \left( {0;\frac{2}{3}} \right)$.
- Nếu ${\rm{c = 0}}$, lúc đó phương trình  có nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{1}}} = 0$, ${{\rm{t}}_{\rm{2}}} = \frac{2}{3}$ có nghĩa ${{\rm{t}}_{\rm{2}}} = \frac{2}{3} \in (0;1)$.
- Nếu ${\rm{a = 0}}$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{bt + c = 0}}\\
{\rm{3(b + 2c) = 0}}
\end{array} \right.$
+Với ${\rm{b = c = 0}}$ phương trình ${\rm{f(t) = 0}}$ có vô số nghiệm nên tất nhiên sẽ có một nghiệm thuộc ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in {\rm{(0;1)}}$.
+Với ${\rm{b}} \ne {\rm{0,}}\,\,{\rm{t  =   -  }}\frac{{\rm{c}}}{{\rm{b}}} = \frac{1}{2} \in \left( {0;1} \right)$.
- Tóm lại: $\forall a,\,b,\,c$ thỏa mãn $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình ${\rm{f(t) = 0}}$ có ít nhất một nghiệm ${{\rm{t}}_{\rm{0}}} \in {\rm{(0;1)}}$, tức là $2a + 3b + 6b = 0$ thì phương trình ${\rm{ata}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}x + b\tan x + c = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $\left( {k\pi ;\frac{\pi }{4} + k\pi } \right)$ với $k \in Z$.
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) ${x^3} - 3x + 1 = 0$  
b) ${x^3} + 6{x^2} + 9x + 1 = 0$
c) $2x + 6\sqrt[3]{{1 - x}} = 3$
Bài tập 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ${x^5} - 3x + 3 = 0$  
b) ${x^5} + x - 1 = 0$  
c) ${x^4} + {x^3} - 3{x^2} + x + 1 = 0$
Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình: ${x^5} - 5{x^3} + 4x - 1 = 0$ có 5 nghiệm trên $(–2; 2)$.
Bài tập 4: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) $m{(x - 1)^3}(x - 2) + 2x - 3 = 0$   
b) ${x^4} + m{x^2} - 2mx - 2 = 0$
c) $a(x - b)(x - c) + b(x - c)(x - a) + c(x - a)(x - b) = 0$
d) $(1 - {m^2}){(x + 1)^3} + {x^2} - x - 3 = 0$
e) $\cos x + m\cos 2x = 0$    
f) $m(2\cos x - \sqrt 2 ) = 2\sin 5x + 1$
Bài tập 5: Chứng minh rằng phương trình:
a) ${x^3} + 6{x^2} + 9x + 1 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.
b) $m{(x - 1)^3}({x^2} - 4) + {x^4} - 3 = 0$ luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
c) $({m^2} + 1){x^4} - {x^3} + 1 = 0$ luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng $\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)$ với mọi m.
d) ${x^3} + m{x^2} - 1 = 0$ luôn có 1 nghiệm dương.
e) ${x^4} - 3{x^2} + 5x - 6 = 0$ có nghiệm trong khoảng $(1; 2)$.
Bài tập 6: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) $a{x^2} + bx + c = 0$  với  $2a + 3b + 6c = 0$
b) $a{x^2} + bx + c = 0$ với  $a + 2b + 5c = 0$
c) ${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$
Bài tập 7: Cho $m > 0$ và $a$, $b$, $c$ là 3 số thực thoả mãn:  $\frac{a}{{m + 2}} + \frac{b}{{m + 1}} + \frac{c}{m} = 0$. Chứng minh rằng phương trình:  $f(x) = a{x^2} + bx + c = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0; 1)$.
HD:  Xét 2 trường hợp $c = 0$; $c \ne 0$. Với $c \ne 0$ thì $f(0).f\left( {\frac{{m + 1}}{{m + 2}}} \right) =  - \frac{{{c^2}}}{{m(m + 2)}} < 0$

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
 

A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT:

I. Giới hạn hữu hạn

1.Giới hạn đặc biệt:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = {x_0}$;   
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c$    ($c$: hằng số)

2.Định lí:
a) Nếu$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$  và  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M$ thì:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) + g(x)} \right] = L + M$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) - g(x)} \right] = L - M$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x).g(x)} \right] = L.M$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{L}{M}$ (nếu $M\ne 0$)
b) Nếu $f(x) \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì  $L \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)}  = \sqrt L $
c) Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f(x)} \right| = \left| L \right|$

II. Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực

1.Giới hạn đặc biệt:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} = \left\{ \begin{array}{l}
+ \infty \,\,\,\text{nếu}\,\,k\,\,\text{chẵn}\\
- \infty \,\,\,\text{nếu}\,\,k\,\,\text{lẻ}
\end{array} \right.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } c = c$;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} =  - \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} =  + \infty $
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\left| x \right|}} =  + \infty $

2.Định lí:
Nếu$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) =  \pm \infty $ thì: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)g(x) =  \pm \infty$.

Bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} f(x) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} g(x) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} f(x).g(x) \\
\hline
+ & +\infty & +\infty \\
\hline
+ & -\infty & -\infty\\
\hline
- & +\infty& -\infty\\
\hline
- & -\infty & +\infty\\
\hline
\end{array}$

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = 0$ thì: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} =  \pm \infty $.
Bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} f(x) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} g(x) & Dấu\,\, của\,\,g(x)\,(Trong\,\, lân\,\, cận \,\,x_0) & \mathop{\lim}\limits_{x\to{x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} \\
\hline
+ & 0 &+& +\infty \\
\hline
+ & 0 &-& -\infty \\
\hline
- & 0 &+& -\infty\\
\hline
- & 0 &-& +\infty\\
\hline
\end{array}$
III.Giới hạn một bên:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \iff \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty-\infty$, $0.\infty$  thì phải tìm cách khử dạng vô định.

B.MỘT SỐ VẤN ĐỀ - DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:(sơ đồ tư duy)

 

Chú ý: Đối với hàm số lượng giác thì cũng có các dạng tương tự và vận dụng công thức: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x} = 1$
C.VÍ DỤ VẬN DỤNG:
Vấn đề 1: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$
Dạng 1: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{L}{M}$, $M \ne 0,\,\,L \ne 0$
Phương pháp: Thế ${x_0}$vào $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \frac{L}{M}$
Ví dụ 1:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{{1^3} - 8}}{{{1^2} - 4}} = \frac{{ - 7}}{{ - 3}} = \frac{7}{3}$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 3} }}{3} = \frac{1}{3}$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x} = \frac{{\sqrt[3]{{ - 3 + 1}} - \sqrt {1 + 3} }}{{ - 3}} = \frac{{2 + \sqrt[3]{2}}}{3}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sin x}}{x} = \frac{{\sin \frac{\pi }{4}}}{{\frac{\pi }{4}}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{\pi }$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = \frac{{\left| {2 - 3} \right|}}{{{{2.3}^2} - 5.3 + 2}} = \frac{1}{5}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  - x}}{{x - 1}}$   
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{x - 1}}$  
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 3}}{{x - 2}}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{1}{2}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{1 + x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  - x}}{{x - 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \frac{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{x - 1}}$  
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 3}}{{x - 2}}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$ 
i)$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2}\sin \frac{1}{2}$
Dạng 2: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{0}{M},\,\,M \ne 0$
Phương pháp: Thế ${x_0}$ vào $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \frac{0}{M} = 0$
Ví dụ 2:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} + 4}} = \frac{{{2^3} - 8}}{{{2^2} + 4}} = \frac{0}{8} = 0$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{x + 1}} = \frac{{2 - \sqrt {4 - 0} }}{{0 + 1}} = \frac{0}{1} = 0$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{{x + 1}} = \frac{{\sqrt[3]{{0 + 1}} - \sqrt {1 + 0} }}{{0 + 1}} = \frac{0}{1} = 0$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{x + 1}} = \frac{{\sin 0}}{{0 + 1}} = \frac{0}{1} = 0$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 1}} = \frac{{\left| {2 - 2} \right|}}{{{{2.2}^2} - 5.2 + 1}} = \frac{0}{{ - 1}} = 0$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  + 2x}}{{x - 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{{2x}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 1}  - 1}}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  - 1}}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 4} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 2}}{{x - 2}}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{c{\rm{osx}}}}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  + 2x}}{{x - 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \frac{{\sin x}}{{2x}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{{x^4} + x - 3}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x - 1}  - 1}}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  - 1}}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \frac{{\sqrt {x + 8}  - 2}}{{x - 2}}$
h $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} - \sqrt {3x - 2} }}{{x + 1}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{c{\rm{osx}}}}$
Dạng 3: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{L}{0},\,\,\,L \ne 0$
Phương pháp: Áp dụng 2 quy tắc giới hạn vô cực:
- Quy tắc 1.
- Quy tắc 2.
Ví dụ 3:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 8}}{{x - 2}} =  - \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 8) =  - 6\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2) = 0\\
x - 2 > 0,\,\,\forall x > 2
\end{array} \right.$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} =  - \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 8) =  - 6\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {(x - 2)^2} = 0\\
{\left( {x - 2} \right)^2} > 0,\,\,\forall x\ne 2
\end{array} \right.$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x + {x^2} + {x^3}}}{{{x^2}}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  + 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$   
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{c{\rm{os}}x}}{{2{x^2} + 1}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{{{\left( {{x^4} + x - 2} \right)}^2}}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2}  + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}$
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} + \sqrt {3x - 2} }}{{{{\left( {x - 2} \right)}^6}}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{c{\rm{os}}x}}{{{{\rm{x}}^{\rm{4}}}}}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \frac{{x + {x^2} + {x^3}}}{{1 + x}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {3{x^2} + 1}  + 2x}}{{x - 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + x}}{{\sin x}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{\left| {x + 1} \right|}}{{{x^4} + 2x - 3}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} + x - 1}  + 1}}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1}}{{x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt {x + 6}  + 2}}{{x - 2}}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{3{x^2} - 4}} + \sqrt {3x - 2} }}{{2 - x}}$
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{c{\rm{osx}}}}{{\rm{x}}}$
Dạng 4: $\frac{{P({x_0})}}{{Q({x_0})}} = \frac{0}{0}$
Phương pháp:
- Nhóm nhân tử chung: $x - {x_0}$.
- Nhân thêm lượng liên hiệp.
- Thêm, bớt số hạng vắng.
a) $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với $P(x),\,\, Q(x)$ là các đa thức và $P(x_0) = Q(x_0) = 0$.
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

Ví dụ 4: 

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}} = \frac{{12}}{4} = 3$
b) $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với $P(x_0) = Q(x_0) = 0$ và $P(x),\,\, Q(x)$ là các biểu thức chứa căn cùng bậc.
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Ví dụ 5:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {2 - \sqrt {4 - x} } \right)\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \frac{1}{4}$
b) $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ với $P(x_0) = Q(x_0) = 0$ và $P(x)$ là biểu thức chứa căn không đồng bậc.
Giả sử: $P(x) = \sqrt[m]{{u(x)}} - \sqrt[n]{{v(x)}}\,\,\text{với}\,\,\sqrt[m]{{u({x_0})}} = \sqrt[n]{{v({x_0})}} = a$.
Ta phân tích $P(x) = \left( {\sqrt[m]{{u(x)}} - a} \right) + \left( {a - \sqrt[n]{{v(x)}}} \right)$.
Ví dụ 6:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - 1}}{x} + \frac{{1 - \sqrt {1 - x} }}{x}} \right)$
$=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(x + 1)}^2} + \sqrt[3]{{x + 1}} + 1}}}} + \frac{1}{{1 + \sqrt {1 - x} }}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,\,\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 3x + 9}}{{{x^4} - 8{x^2} - 9}}$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{x - 5{x^5} + 4{x^6}}}{{{{(1 - x)}^2}}}\,\,\,$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{{x^m} - 1}}{{{x^n} - 1}}\,\,\,$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}}{x}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \,\,\frac{{{x^5} + 1}}{{{x^3} + 1}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \,\,\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 3x + 9}}{{{x^4} - 8{x^2} - 9}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{x - 5{x^5} + 4{x^6}}}{{{{(1 - x)}^2}}}\,\,\,$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\frac{{{x^m} - 1}}{{{x^n} - 1}}\,\,\,$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) - 1}}{x}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}$
Bài tập 3: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1}  - 3}}{{{x^2} - 4}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}}  - 1}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2}  - 2}}{{\sqrt {x + 7}  - 3}}$  
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2x + 2}  - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 16}  - 4}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \frac{{x + \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 3x}}$  
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 9}  + \sqrt {x + 16}  - 7}}{x}$
Bài tập 4: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {4x + 1}  - 3}}{{{x^2} - 4}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\sqrt[3]{{4x + 4}} - 2}}.$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + {x^2}}  - 1}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x + 2}  - 2}}{{\sqrt {x + 7}  - 3}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {2x + 2}  - \sqrt {3x + 1} }}{{x - 1}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 16}  - 4}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 3)}^ - }} \frac{{x + \sqrt {3 - 2x} }}{{{x^2} + 3x}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9}  + \sqrt {x + 16}  - 7}}{x}$
Bài tập 5: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4x}  - \sqrt[3]{{1 + 6x}}}}{{{x^2}}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{2{x^2} - 5x + 2}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {5 - {x^3}}  - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x}  - 1}}{x}$  
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x}$
Bài tập 6: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \,\,\frac{{\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{1 + x}}}}{x}$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{{x^2} - 3x + 2}}$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2\sqrt {1 + x}  - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 4x}  - \sqrt[3]{{1 + 6x}}}}{{{x^2}}}$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{8x + 11}} - \sqrt {x + 7} }}{{2{x^2} - 5x + 2}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {5 - {x^3}}  - \sqrt[3]{{{x^2} + 7}}}}{{{x^2} - 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 4x} .\sqrt {1 + 6x}  - 1}}{x}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 + 2x} .\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt {1 - x} }}{x}$
Dạng 5: $P({x_0}).Q({x_0}) = 0.\infty $ ($\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P(x).Q(x)$)
Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Ví dụ 5:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{0.\sqrt 2 }}{2} = 0$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 4}}}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x - 2} .\sqrt x }}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{0.\sqrt 2 }}{2} = 0$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x - 3)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 9}}} $  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (x - 4)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 16}}} $ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x - 1)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} $
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } (x - \sqrt 2 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 2}}} $ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } (x - \sqrt 3 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 3}}} $ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} (x - 5)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 25}}} $
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} (x - 3)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 9}}} $ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (x - 4)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 16}}} $ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x - 1)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 1}}} $
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^ - }} (x - \sqrt 2 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 2}}} $ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^ + }} (x - \sqrt 3 )\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 3}}} $ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} (x - 5)\sqrt {\frac{x}{{{x^2} - 25}}} $
Dạng 6: $P({x_0}) - Q({x_0}) = \infty  - \infty $ ($\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {P(x) - Q(x)} \right)$)
Phương pháp: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Ví dụ 6:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{2}{{1 - {x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{{x - 1}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\frac{1}{{ - 1 - x}} =  - \frac{1}{2}$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{2}{{1 - {x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{{x - 1}}{{1 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \,\,\frac{1}{{ - 1 - x}} =  - \frac{1}{2}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\,\left( {\frac{1}{{2 - x}} - \frac{4}{{4 - {x^2}}}} \right)$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \,\,\,\left( {\frac{1}{{3 - x}} - \frac{6}{{9 - {x^2}}}} \right)$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \,\,\,\left( {\frac{1}{{4 - x}} - \frac{8}{{16 - {x^2}}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \,\,\,\left( {\frac{1}{{5 - x}} - \frac{{10}}{{25 - {x^2}}}} \right)$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \,\,\left( {\frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}} + \frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}}} \right)$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{2 - x}} - \frac{4}{{4 - {x^2}}}} \right)$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{3 - x}} - \frac{6}{{9 - {x^2}}}} \right)$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{4 - x}} - \frac{8}{{16 - {x^2}}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{5 - x}} - \frac{{10}}{{25 - {x^2}}}} \right)$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \,\,\,\left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{3}{{1 - {x^3}}}} \right)$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \,\,\left( {\frac{1}{{{x^2} - 3x + 2}} + \frac{1}{{{x^2} - 5x + 6}}} \right)$
Vấn đề 2: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$.
Dạng 1: $\frac{\infty }{\infty }$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } p(x) =  \pm \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } Q(x) =  \pm \infty $.
Phương pháp:
- Nếu $P(x)$, $Q(x)$ là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$.
- Nếu $P(x)$, $Q(x)$ có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $x$ hoặc nhân lượng liên hợp.
Chú ý:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = \left\{ \begin{array}{l}
k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,\text{bậc của} (P(x))\, = \,\text{bậc của} (Q(x))\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\text{bậc của} (P(x))\, < \,\text{bậc của} (Q(x))\,\\
\pm \infty \,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\text{bậc của} (P(x))\, > \,\text{bậc của} (Q(x))
\end{array} \right.$
Ví dụ 1:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{x^2} + 6x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 2$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} + 5x - 3}}{{{x^2} + 6x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{5}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{6}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}} = 2$
c)$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}}  - 1}} =  - \frac{2}{3}$
d)$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}}  - 1}} = 2$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} - x + 1}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 2}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + 4x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  + 2 - x}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1}  + 2 - x}}{{\sqrt {9{x^2} - 3x}  + 2x}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\frac{{x\sqrt x  + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{(2x - 1)\sqrt {{x^2} - 3} }}{{x - 5{x^2}}}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x + 2}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{2\left| x \right| + 1}}$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\frac{{{x^2} + 1}}{{2{x^2} - x + 1}}$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 2}}$  
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3}  + 4x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  + 2 - x}}$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1}  + 2 - x}}{{\sqrt {9{x^2} - 3x}  + 2x}}$ 
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\frac{{x\sqrt x  + 1}}{{{x^2} + x + 1}}$
g) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{(2x - 1)\sqrt {{x^2} - 3} }}{{x - 5{x^2}}}$ 
h) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 2x}  + 3x}}{{\sqrt {4{x^2} + 1}  - x + 2}}$ 
i) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 5x + 2}}{{2\left| x \right| + 1}}$
Dạng 2: $\infty  - \infty $ ( $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {P(x) - Q(x)} \right)$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } P(x) =  \pm \infty, \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } Q(x) =  \pm \infty$ và giới hạn này thường có chứa căn)
Phương pháp: Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
Ví dụ 2:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {1 + x}  - \sqrt x } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {1 + x}  - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {1 + x}  + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt {1 + x}  + \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + x}  + \sqrt x }} = 0$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt[3]{{1 + {x^2} - {x^3}}} + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 + {x^2}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + {x^2} - {x^3}}}} \right)}^2} - x\sqrt[3]{{1 + {x^2} - {x^3}}} + {x^2}}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^2}}} + 1}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} - 1}}} \right)}^2} - \sqrt[3]{{\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} - 1}} + 1}} = \frac{1}{3}$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x}  - x} \right)$  
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\left( {2x - 1 - \sqrt {4{x^2} - 4x - 3} } \right)$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  - \sqrt[3]{{{x^3} - 1}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,\,\left( {\sqrt {x + \sqrt {x + \sqrt x } }  - \sqrt x } \right)$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} - \sqrt[3]{{2x + 1}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + {x^2} - 1}} - \sqrt {{x^2} + x + 2} } \right)$
Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 5}  + x} \right)$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\left( {2x - 1 - \sqrt {4{x^2} - 4x + 2} } \right)$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \sqrt[3]{{{x^3} - 2{x^2} - 1}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,\,\left( {\sqrt {{x^4} + {x^2} + 10}  + {x^2}} \right)$
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt[3]{{2x - 1}} - \sqrt[3]{{2x + 1}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + {x^2} - 1}} + \sqrt {{x^2} - x + 2} } \right)$
Dạng 3: $0.\infty$. ($\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {P(x).Q(x)} \right)$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } P(x) = 0, \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } Q(x) =  \pm \infty$ và giới hạn này thường có chứa căn)
Phương pháp:  Tổng hợp các phương pháp trên.
Ví dụ 3:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x - 2}}{{{x^2} + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = 1$
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 2}  + 1}}{{{x^2} + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left( {{x^2} - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2}  + {x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$
   $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}}  + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}}}{{\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}}} =  + \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  - \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\sqrt {1 + \frac{2}{{{x^2}}}}  + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^3}}} =  - 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = 0\\
\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^3}}} < 0,\,\forall x < 0
\end{array} \right.$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} - 2}}{{{x^4} + 1}}} \right)$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 2}  + 1}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^4} + 2}  + {x^2}}}{{{x^3} + 1}}} \right)$

Bài tập 2: Tìm các giới hạn sau:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x - 1} \right)\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}} \right)$ 
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} - 2}}{{{x^4} + 1}}} \right)$ 
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^3} + 1}}} \right)$ 
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 2}  + 1}}{{{x^3} + 1}}} \right)$
f) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt {4{x^4} + 2}  + {x^2}}}{{{x^3} + 1}}} \right)$

Vấn đề 3: Mối quan hệ giữa giới hạn một bên và giới hạn tại một điểm.

Phương pháp:
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \iff \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = L$.
- Sử dụng các cách tính giới hạn của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
$f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x}\,\, & khi\,\,x > 0\\
\frac{1}{2}\,\,\, & khi\,\,x \le \,\,0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
Hướng dẫn giải:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {x + 1}  - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 1}} = \frac{1}{2}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}$
Do: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \frac{1}{2}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
$f(x)\,\,=\,\,\left\{\begin{array}{l}
\frac{3x+3}{x+2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,x<1\\
mx+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\text{tại}\,\,x=1$

Hướng dẫn giải:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{3x + 3}}{{x + 2}}} \right) = 2$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 2} \right) = m + 2$
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$ nên $m + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0$
Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {1 + x}  - 1}}{{\sqrt[3]{{1 + x}} - 1}}\,\, & \text{nếu}\,\,x > 0\\
\frac{3}{2}\,\,\, & \text{nếu}\,\,x \le \,\,0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
b) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{9 - {x^2}}}{{x - 3}}\,\, & \text{nếu}\,\,x < 3\\
1 - x\,\,\,\,\,\, & \text{nếu}\,\,x \ge 3
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 3$
c) $f(x)\,\,\, = \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 2x}}{{8 - {x^3}}}\,\, & \text{nếu}\,\,x > 2\\
\frac{{{x^4} - 16}}{{x - 2}}\,\,\, & \text{nếu}\,\,x < 2
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 2$
d) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} & \text{nếu}\,\,x > 1\\
- \frac{x}{2} & \text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$

Bài tập 2:  Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}\,\,\, & \text{nếu}\,\,x < 1\\
mx + 2\,\, & \text{nếu}\,\,x \ge 1
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
b) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x > 1\\
{m^2}{x^2} - 3mx + 3\,\,\,\text{nếu}\,\,x \le 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\text{tại}\,\,x = 1$
c) $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x + m &  & khi\,\,x < 0\\
\frac{{{x^2} + 100x + 3}}{{x + 3}} & khi\,\,x \ge 0
\end{array} \right.\,\,\text{tại}\,\,x = 0$
d) $\left\{ \begin{array}{l}
x + 3m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x <  - 1\\
{x^2} + x + m + 3\,\,\,\,\text{nếu}\,\,\,x \ge  - 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\text{tại}\,\,\,x =  - 1$

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

 

A. LÝ THUYẾT:

I.Giới hạn hữu hạn

1. Giới hạn đặc biệt:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{n} = 0$;
$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{1}{{{n^k}}} = 0\,\,(k \in {\mathbb{Z}^ + })$
$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0\,\,(\left| q \right| < 1)$;
$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } C = C$

2. Định lí :
a) Nếu lim $u_n = a$, $\lim {v_n} = b$ thì
$\lim (u_n + v_n) = a + b$
$\lim (u_n – v_n) = a – b$
$\lim (u_n.v_n) = a.b$
$\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}$  (nếu $b\ne 0$)
b) Nếu $u_n \ge 0$, $\forall n$ và $\lim u_n= a$ thì $a \ge 0$ và $\lim \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a $

c) Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$, $\forall n$  và  $\lim v_n = 0$  thì  $\lim u_n = 0$
d) Nếu $\lim u_n = a$  thì  $\lim \left| {{u_n}} \right| = \left| a \right|$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
$S = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$ $\left( {\left| q \right| < 1} \right)$

II.Giới hạn vô cực

1. Giới hạn đặc biệt:
$\lim \sqrt n  =  + \infty $
$\lim {n^k} =  + \infty \,\,(k \in {\mathbb{Z}^ + })$
$\lim {q^n} =  + \infty \,\,(q > 1)$

2. Định lí:
a) Nếu $\lim \left| {{u_n}} \right| =  + \infty $ thì  $\lim \frac{1}{{{u_n}}} = 0$
b) Nếu $\lim u_n = a$, $\lim v_n = \pm \infty$ thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0$
c) Nếu $\lim u_n = a \ne 0$, $\lim v_n = 0$  thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} =  \pm \infty $
Cho trong bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\lim u_n & \lim v_n & Dấu của\,\, v_n & \lim \frac{u_n}{v_n}\\
\hline
+ &0&+&+\infty \\
\hline
+ &0&-&-\infty \\
\hline
- &0&+&-\infty \\
\hline
- &0&-&+\infty \\
\hline
\end{array}$

d) Nếu $\lim {u_n} =  \pm \infty $, $\lim v_n = a$ thì $\lim {u_n}{v_n} =  \pm \infty $
Cho trong bảng sau:
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\lim u_n & \lim v_n & \lim {u_n.v_n}\\
\hline
+ &+\infty&+\infty \\
\hline
+ &-\infty&-\infty \\
\hline
- &+\infty&-\infty \\
\hline
- &-\infty&+\infty \\
\hline
\end{array}$

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty –\infty$, $0.\infty$  thì phải tìm cách khử dạng vô định.

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:
1.DẠNG 1: $\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}}$ (Trong đó $P(n)$, $Q(n)$ là các đa thức có chứa biến $n$)
  Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$.
  Chú ý: $\lim \frac{{P(n)}}{{Q(n)}} = \left\{ \begin{array}{l}
k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,\text{bậc của}\,\, (P(n)) = \text{bậc của}\,\, (Q(n))\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\, \text{bậc của}\,\, (P(n)) < \text{bậc của}\,\, (Q(n))\,\\
\pm \infty \,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,\text{bậc của}\,\, (P(n)) > \text{bậc của}\,\, (Q(n))
\end{array} \right.$
VD1:
a) $\lim \frac{{n + 1}}{{2n + 3}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{1}{2}$
b) $\lim \frac{{n + 1}}{{2{n^2} + 3}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{3}{{{n^2}}}}} = \frac{0}{2} = 0$
c) $\lim \frac{{{n^2} + 1}}{{2n + 3}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} =  + \infty $
Do: $\left\{\begin{array}{l}
\lim(1+\frac{1}{n^2})=1\\
\lim(\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}=0\\
\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}=0, \forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$

d) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n}  - 3n}}{{1 - 2n}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  - 3}}{{\frac{1}{n} - 2}} = 1$
e) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n}  - n}}{{n + \sqrt {4{n^2} + n - 2} }} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  - 1}}{{1 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} }} = \frac{0}{3} = 0$
f) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n}  - 3n}}{{1 - 2n + \sqrt {4{n^2} + n - 2} }} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  - 3}}{{\frac{1}{n} - 2 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} }} =  - \infty $
  Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\lim (\sqrt {1 + \frac{1}{n}}  - 3) =  - 2 < 0\\
\lim (\frac{1}{n} - 2 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} ) = 0\\
\frac{1}{n} - 2 + \sqrt {4 + \frac{1}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}}  > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$
g)$\lim ({n^3} - n + 3) = \lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{{{n^3}}}}}{{\frac{1}{n}}} =  + \infty $
  Do: $\left\{\begin{array}{l}
\lim(1-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^3})=-2<0\\
\lim\frac{1}{n}=0\\
\frac{1}{n}>0, \forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$

2.DẠNG 2:  $\lim \frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}}$ (Trong đó Do: $P({a^n}),\,\,Q({b^n})$ là các đa thức chứa Do: $a^n$ và ${b^n}$)
Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho số lớn nhất có chứa mũ $n$.
Chú ý: $\lim \frac{{P({a^n})}}{{Q({b^n})}} = \left\{ \begin{array}{l}
k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,a = b\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,a < b\,\\
\pm \infty \,\,\,\,\,\,\,,\text{khi}\,\,a > b
\end{array} \right.$
 VD2: a) $\lim \frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2 + 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}$
   b) $\lim \frac{{{2^n} + 1}}{{{{2.3}^n} + 3}} = \lim \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2 + 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = \frac{0}{2} = 0$
   c) $\lim \frac{{{3^n} + 1}}{{{{2.2}^n} + 3}} = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 3.{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} =  + \infty $
Do: $\left\{ \begin{array}{l}
\lim (1 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}) = 1\\
\lim (2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}) = 0\\
2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} + 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}
\end{array} \right.$
3.DẠNG 3: Nhân lượng liên hợp:
Phương pháp giải: Dùng các hằng đẳng thức
$\begin{array}{l}
\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right) = a - b; &  & \\
\left( {\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a - b\\
\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right) = a + b
\end{array}$
  VD3: 

a) $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  - n} \right)= \lim \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  + n} \right)}}= \lim \frac{{ - 3n}}{{\sqrt {{n^2} - 3n}  + n}}= - \frac{3}{2}$

b) $\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} - 3n}  - n}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n}  + n}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  + n} \right)}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n}  + n}}{{ - 3n}} =  - \frac{2}{3}$
c) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - 3n}  - 2n}}{{\sqrt {{n^2} - 3n}  - n}} = \lim \frac{{ - 3n\left( {\sqrt {{n^2} - 3n}  + n} \right)}}{{ - 3n\left( {\sqrt {4{n^2} - 3n}  + 2n} \right)}} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 3n}  + n}}{{\sqrt {4{n^2} - 3n}  + 2n}} = \frac{1}{2}$
d) $\lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} - 3n}} - n} \right) = \lim \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} - 3{n^2}} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} - 3{n^2}} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} + {n^2}}}$
   $ = \lim \frac{{ - 3{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} - 3{n^2}} \right)}^2}}} + n.\sqrt[3]{{{n^3} - 3{n^2}}} + {n^2}}}$=-1$
4.DẠNG 4: Tính giới hạn của tổng hữu hạn:
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức đã học
$\begin{array}{l}
\left( {{u_n}} \right)\,\,\csc :\,\,{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{2({u_1} + {u_n})}}{n}\\
\left( {{u_n}} \right)\,\,{\mathop{\rm cs}\nolimits} n:\,\,{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}}
\end{array}$
  VD4:
a)Ta có $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 
$\lim \left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \,\,\,...\,\, + \,\,\frac{1}{{n(n + 1)}}} \right) = \lim (1 - \frac{1}{{n + 1}}) = 1$
b) $\lim \frac{{1 + 3 + {3^2} + ... + {3^n}}}{{1 + 4 + {4^2} + ... + {4^n}}} = \lim \frac{{3\left( {1 - {3^n}} \right)}}{{2\left( {1 - {4^n}} \right)}} = 0$

5.DẠNG 5: Dùng định lí kẹp:
Phương pháp giải: Dùng định lí kẹp: Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$,$\forall n$  và  $\lim v_n = 0$ thì $\lim u_n = 0$
VD5:
a)  $\lim \frac{{\sin n}}{n}$.
Vì   $0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{n}} \right| \le \frac{1}{n}$ và $\lim \frac{1}{n} = 0$  nên  $\lim \frac{{\sin n}}{n} = 0$
b) $\lim \frac{{3\sin n - 4\cos n}}{{2{n^2} + 1}}$.
  Vì $\left| {3\sin n - 4\cos n} \right| \le \sqrt {({3^2} + {4^2})({{\sin }^2}n + {{\cos }^2}n)}  = 5$
  nên  $0 \le \left| {\frac{{3\sin n - 4\cos n}}{{2{n^2} + 1}}} \right| \le \frac{5}{{2{n^2} + 1}}$. 
Mà $\lim \frac{5}{{2{n^2} + 1}} = 0$ nên $\lim \frac{{3\sin n - 4\cos n}}{{2{n^2} + 1}} = 0$
c) $\lim \frac{{\sin n}}{{{4^n}}}$.
Vì   $0 \le \left| {\frac{{\sin n}}{{{4^n}}}} \right| \le {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}$ và $\lim {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} = 0$  nên  $\lim \frac{{\sin n}}{{{4^n}}} = 0$
d) $\lim \frac{n}{{{4^n}}}$.
Vì   $0 \le \left| {\frac{n}{{{4^n}}}} \right| \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$ và $\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 0$  nên  $\lim \frac{n}{{{4^n}}} = 0$
e) $\lim \frac{{n + \sin n}}{{{4^n}}} = \lim \frac{n}{{{4^n}}} + \lim \frac{{\sin n}}{{{4^n}}} = 0$.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

BÀI  1: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \,\,\frac{{2{n^2} - n + 3}}{{3{n^2} + 2n + 1}}$ 
b) $\lim \,\frac{{2n + 1}}{{{n^3} + 4{n^2} + 3}}$ 
c) $\lim \frac{{3{n^3} + 2{n^2} + n}}{{{n^3} + 4}}$
d) $\lim \frac{{{n^4}}}{{(n + 1)(2 + n)({n^2} + 1)}}$
e) $\lim \,\frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^4} + n + 1}}$ 
f) $\lim \frac{{2{n^4} + {n^2} - 3}}{{3{n^3} - 2{n^2} + 1}}$
BÀI  2: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{{1 + {3^n}}}{{4 + {3^n}}}$ 
b) $\lim \frac{{{{4.3}^n} + {7^{n + 1}}}}{{{{2.5}^n} + {7^n}}}$ 
c) $\lim \frac{{{4^{n + 1}} + {6^{n + 2}}}}{{{5^n} + {8^n}}}$
d) $\lim \,\frac{{{2^n} + {5^{n + 1}}}}{{1 + {5^n}}}$ 
e) $\lim \frac{{1 + {{2.3}^n} - {7^n}}}{{{5^n} + {{2.7}^n}}}$ 
f) $\lim \frac{{1 - {{2.3}^n} + {6^n}}}{{{2^n}({3^{n + 1}} - 5)}}$   
BÀI  3: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1}  + 2n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 4n + 1}  + n}}$ 
b) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 3}  - n - 4}}{{\sqrt {{n^2} + 2}  + n}}$ 
c)  $\lim \frac{{{n^2} + \sqrt[3]{{1 - {n^6}}}}}{{\sqrt {{n^4} + 1}  + {n^2}}}$
d) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1}  + 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 4n + 1}  + n}}$  
e) $\lim \frac{{(2n\sqrt n  + 1)(\sqrt n  + 3)}}{{(n + 1)(n + 2)}}$ 
f) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 4n}  - \sqrt {4{n^2} + 1} }}{{\sqrt {3{n^2} + 1}  + n}}$
BÀI  4: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \left( {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \,\,\,...\,\,\, + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} \right)$
b) $\lim \left( {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + \,\,\,...\,\,\, + \frac{1}{{n(n + 2)}}} \right)$
c) $\lim \,\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\,\,\,...\,\,\,\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ 
d) $\lim \left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \,\,\,...\,\, + \,\,\frac{1}{{n(n + 1)}}} \right)$
e) $\lim \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{{n^2} + 3n}}$
f) $\lim \frac{{1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}}}{{1 + 3 + {3^2} + ... + {3^n}}}$

BÀI  5: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \,\,\left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n - 1} \right)$
b) $\lim \,\left( {\sqrt {{n^2} + n}  - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)$
c) $\lim \,\,\left( {\sqrt[3]{{2n - {n^3}}} + n - 1} \right)$
d) $\lim \left( {1 + {n^2} - \sqrt {{n^4} + 3n + 1} } \right)\,$
e) $\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n}  - n} \right)$ 
f) $\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2}  - \sqrt {{n^2} + 4} }}$
g) $\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 1}  - 2n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 4n + 1}  - n}}$ 
h) $\lim \frac{{{n^2} + \sqrt[3]{{1 - {n^6}}}}}{{\sqrt {{n^4} + 1}  - {n^2}}}$
i) $\lim \frac{{\sqrt {{n^2} - 4n}  - \sqrt {4{n^2} + 1} }}{{\sqrt {3{n^2} + 1}  - n}}$
BÀI  6: Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{{2\cos {n^2}}}{{{n^2} + 1}}$
b) $\lim \frac{{{{( - 1)}^n}\sin (3n + {n^2})}}{{3n - 1}}$
c) $\lim \frac{{2 - 2n\cos n}}{{3n + 1}}$
d) $\lim \frac{{3{{\sin }^6}n + 5{{\cos }^2}(n + 1)}}{{{n^2} + 1}}$
e) $\lim \frac{{3{{\sin }^2}({n^3} + 2) + {n^2}}}{{2 - 3{n^2}}}$
f) $\lim \frac{{3{n^2} - 2n + 2}}{{n(3\cos n + 2)}}$

Cách khác: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ sau.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$\iff a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
khi đó: $\sin^4{x}+\cos^4{x}=(\sin^2{x})^2+(\cos^2{x})^2$
$=(\sin^2{x}+\cos^2{x})^2-2\sin^2{x}\cos^2{x}$
$=1-2\sin^2{x}\cos^2{x}$