Cho a, b là các số thực dương, biết $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}=0$. Tính $(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})^2$

Cho các số dương $a, b, c$ thoả mãn điều kiện $a<bc$ và $1+a^{3}=b^{3}+c^{3}$. CMR $1+a<b+c$

Với x, y là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$, tìm GTNN của $P=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2}$

1)Cho phương trình: $x^2-2x+2-m=0$ Tìm m thỏa $2x_{1}^3+(m+2)x_{2}^2=5$

ĐK: $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 1$

Theo định lý Viete ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=2-m \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1=2-x_2\\ m+2=4-x_1x_2 \end{matrix}\right.$

Thay vào đẳng thức đề bài ta được:

$(x_2-1)^2(x_2^2-2x_2+11)=0 \Leftrightarrow x_2=1$

Thay vào pt => $m = 1$ (t/m)

pt <=> $25(1+x^3)+5\sqrt{1+x^3}-(2x^2+4)(2x^2+5)=0$

Đặt $a=\sqrt{1+x^3}, b=2x^2+4$

=> $25a^2+5a-b(b+1)=0$

<=> $(5a-b)(5a+b+1)=0$

Trường hợp $5a=b$ thì giải theo cách của bạn Baoriven, TH còn lại vô nghiệm

Kh

 

Ta thấy $x\neq 3$

Ta có phương trình ban đầu tương đương: $(m-5)x=2m-16$.

Điều kiện của m:

Do $x\neq 3$ nên: $(m-5).3\neq 2m-16\Leftrightarrow m\neq -1$

Bên cạnh đó: $m\neq 5,and,m\neq 8$

Vậy: $\left\{\begin{matrix}m\neq 5 \\ m\neq -1 \\ m\neq 8 \end{matrix}\right.$

Ta có: $x=\frac{2m-16}{m-5}> 2$ vô lí.

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn.

Không có vô lí đâu bạn, m<5

Bài của bạn chính là một dạng cảu định lý con bướm nhé bạn!

Bạn gợi ý được không, mình vẫn chưa tìm ra được cách giải

Ta có $\frac{x}{y^3-1} = \frac{-1}{y^2+y+1}$

$\frac{-y}{x^3-1} = \frac{1}{x^2+x+1}$

=> $\frac{x}{y^3-1} - \frac{y}{x^3-1} = \frac{1}{x^2+x+1} - \frac{1}{y^2+y+1}$

Mặt khác, $x+y=1 \Leftrightarrow x^3-1=-y^3+3y^2-3y$

$\Rightarrow \frac{-y}{x^3-1}=\frac{1}{y^2-3y+3}\Leftrightarrow \frac{1}{x^2+x+1}=\frac{1}{y^2-3y+3}$

$\Leftrightarrow x^2+x+1=y^2-3y+3$

$\Rightarrow \frac{1}{x^2+x+1} - \frac{1}{y^2+y+1} = \frac{1}{y^2-3y+3}- \frac{1}{y^2+y+1}=\frac{4y-2}{(x^2+x+1)(y^2-3y+3)}$

Khai triển mẫu $(x^2+x+1)(y^2-3y+3) = x^2y^2+3$ => đpcm

Tìm GTLN, GTNN của $A=|x-\sqrt{2}|+|y-1|$ trong đó $|x|+|y|=5$

Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao AH, điểm M thuộc đoạn thẳng BC. Kẻ MK vuông góc AB, ML vuông góc AC (K thuộc AB, L thuộc AC). Đường thẳng qua A và vuông góc với AM cắt MK, ML theo thứ tự tại E, F. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với CE, cắt AH tại I. CMR CI vuông góc với BF.

Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn, trực tâm H, các đường cao AA', BB', CC' và nội tiếp đường tròn (O). Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng $S=A'B' + B'C' + C'A'$ đạt GTLN.

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} 16(a+b)=5(\frac{b}{a}+\frac{1}{a})\\ 27(a+b)=5(\frac{a}{b}+\frac{1}{b}) \end{matrix}\right.$

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm bất kì thuộc (O) và 0<CA<CB. Qua B kẻ đường thẳng d vuông góc AB, tiếp tuyến tại C cắt đường thẳng d tại D và đường thẳng AB tại E. OC cắt đường thẳng d tại F. Gọi G là giao điểm của AC và EF. Giả sử ODCG là hình bình hành. Tính OF theo R.

Cho số thực $a$ thỏa mãn $0<a<1$. Tìm GTLN và GTNN của $T=\frac{a}{2-a}+\frac{1-a}{1+a}$

Cho số thực $x$ thay đổi thỏa mãn điều kiện $x^2+(3-x)^2 \geq 5$. Tìm GTNN của $A=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

Tìm $m$ để phương trình $x^4-(2m+3)x^2+m+5=0$ có các nghiệm thỏa mãn $-2<x_1<-1<x_2<0<x_3<1<x_4<3$

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm trên nửa đường tròn sao cho CB<CA. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại P. Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB; H là hình chiếu của C trên AD và M là trung điểm của CH. AM cắt (O) tại Q. CMR AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPQ.

Biểu diễn x theo a

Giải pt $x(\sqrt{x^2+1}+1)=a(\sqrt{a^2+1}+1)$

Giải pt $(3x-1)\sqrt{3x-2}-4x^3+9x^2-7x=0$

$\left\{\begin{matrix}
x^2y^2-2x+y^2=0\\
2x^2-4x+y^3+y=0

\end{matrix}\right.$

Chia tứ giác AMDN thành AMN và DMN
ta có $ \frac{S(AMN)}{S(ABC)}=\frac{AM*AN}{AC*AB}=\frac{2}{9}$
Đặt $ x=\frac{ND}{BN}$ và $y=\frac{DM}{CM}$
Ta có $\underset{AD}{\rightarrow}=x\underset{AB}{\rightarrow}+(1-x)\underset{AN}{\rightarrow}=x\underset{AB}{\rightarrow}+\frac{2(1-x)}{3}*\underset{AC}{\rightarrow}$
Tương Tự $\underset{AD}{\rightarrow}=y\underset{AC}{\rightarrow}+\frac{1-y}{3}*\underset{AB}{\rightarrow}$
Từ đó ta có $x=\frac{1}{7}$ và $y=\frac{4}{7}$
$\frac{MD}{MC}=y=\frac{4}{7}$ => $\frac{S(DMN)}{S(MNC)}=\frac{4}{7}$
$\frac{S(MNC)}{S(AMN)}=\frac{1}{2}$
=> $\frac{S(DMN)}{S(AMN)}=\frac{2}{7}$
=>$S(AMDN)=\frac{9}{7}*S(AMN)=\frac{9}{7}*\frac{2}{9}*S(ABC)=\frac{2}{7}*S(ABC)$t
~~~

Dấu mũi tên trên đầu là gì vậy?

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2(x+y)=7\\ y(y-2x)-2x=10 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} |x-1|+|y-1|=1\\ x^2+y^2=m \end{matrix}\right.$

Tìm $m$ để hệ có nhiều nghiệm nhất.

Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$ và $\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$. Gọi D là giao điểm của BN và CM, E là giao điểm của MN và BC.

Tính tỉ số diện tích tứ giác $AMDN$ và tam giác $ABC$.

Ý tưởng của mình là dùng Menelaus để tìm ra tỉ số giữa các đoạn thẳng, sau đó thử CM t/g đồng dạng để tìm tỉ số diện tích theo tỉ số đồng dạng nhưng chưa ra.