Bài toán: Cho $x,y,z$ là các số không âm, chứng minh:

$$xyz+x^2+y^2+z^2+5\geq 3(x+y+z)$$

Đối với bài này thì chỉ có thể dùng phương pháp liên hợp 

ĐKXĐ: $1\leq x\leq 4$

Ta có:

$\sqrt{x-1}-(x-2)+\sqrt{4-x}-(x-3)=x^{2}-5x+5$

$\Leftrightarrow \frac{-x^{2}+5x-5}{\sqrt{x-1}+x-2}+\frac{-x^{2}+5x-5}{\sqrt{4-x}+x-3}=x^{2}-5x+5$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-x^{2}+5x-5=0 &  & \\ \dfrac{1}{\sqrt{x-1}+x-2}+\dfrac{1}{\sqrt{4-x}+x-3}=-1 (*) &  & \end{matrix}\right.$

$(*) VT \geq \frac{1}{\sqrt{4-1}+4-2}+\frac{1}{\sqrt{4-4}+4-3}> -1\Rightarrow VN$

Bạn có thể chỉ cho mình cách tìm biểu thức liên hợp ở bài này được không.

Tìm giá trị lớn nhất, trên khoảng $(\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{6})$ của:

$$A=2sinx^2+sinx$$ 

Giải HPT:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2(y^4-x^4) & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=(x^2+3y^2)(3x^2+y^2) & \end{matrix}\right.$$