Tìm $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm thuộc $(\frac{-\pi }{2}; 0)$ :
$sin^3x+(2m+1)sin^2x.cosx+(3m-1)sinx.cos^3x=0$
There have been 121 items by ILoveMath4864 (Search limited from 16-05-2020)
Posted by ILoveMath4864 on 10-07-2018 - 22:09 in Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Tìm $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm thuộc $(\frac{-\pi }{2}; 0)$ :
$sin^3x+(2m+1)sin^2x.cosx+(3m-1)sinx.cos^3x=0$
Posted by ILoveMath4864 on 04-05-2017 - 21:40 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Mời các pro về phương trình giải ý này nhá
$x^{3}+3x^{2}-6=0$
Posted by ILoveMath4864 on 12-03-2017 - 20:47 in Bất đẳng thức và cực trị
4) Ta có $P= \frac{b^{2}}{\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{c}\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a^{2}}{\sqrt{a}\sqrt{2c+b+a}}$
Ap dụng bđt $AM-GM$ thì ta được $\sqrt{4b}\sqrt{2a+b+c} \leq \frac{2a+5b+c}{2}$ suy ra $\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}\leq \frac{2a+5b+c}{8}$
Vì lẽ đó mà $P \geq 8(\frac{b^{2}}{2a+5b+c}+\frac{c^{2}}{2b+5c+a}+\frac{a^{2}}{2c+5b+a})$
Ap dụng bđt $Cauchy-Schwarz$ thì ta có $\frac{b^{2}}{2a+5b+c}+\frac{c^{2}}{2b+5c+a}+\frac{a^{2}}{2c+5b+a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{8(a+b+c)}$
Suy ra $P\geq 8\frac{(a+b+c)^{2}}{8(a+b+c)}=a+b+c=3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.
P/s: Mai đăng tiếp. Buồn ngủ wa
chỗ đó phải là $\sqrt{b}\sqrt{2a+b+c}\leq \frac{2a+5b+c}{4}$ chứ bạn
Posted by ILoveMath4864 on 11-03-2017 - 22:13 in Bất đẳng thức và cực trị
1. Cho x, y, z >0 và x.y.z=1. Tìm GTNN của:
B=$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x+y+z}$
2. CHo a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh:
$\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\leq 1$
3. Tìm GTNN của biểu thức:
$E=\frac{a^{4}}{(b-1)^{3}}+\frac{b^{4}}{(a-1)^{3}}$
4. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Hãy tìm GTNN của:
$\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}$
Posted by ILoveMath4864 on 09-03-2017 - 20:12 in Bất đẳng thức và cực trị
bài 8 phải cho a+b bằng bao nhiêu đó mới làm được
đúng rồi, bài đó có a+b=2 , mình quên mất
Posted by ILoveMath4864 on 09-03-2017 - 20:10 in Bất đẳng thức và cực trị
Đề bài bài 2 có chút thay đổi nhé mn.!
Posted by ILoveMath4864 on 09-03-2017 - 20:08 in Bất đẳng thức và cực trị
Mình giải bài 2 nhé :
$VT = \frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{2b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{2c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\frac{2a}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}+\frac{2b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{2c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$
$\leq \frac{a}{a+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}=3$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Đề sai nhé bạn
Bài 5 mình xài Minkowski
có vẻ sai thật nhưng không giống như đề bài của bạn, mình sẽ sửa lại.
Posted by ILoveMath4864 on 09-03-2017 - 13:44 in Bất đẳng thức và cực trị
Cảm Ơn tất cả các bạn nhé!
Posted by ILoveMath4864 on 08-03-2017 - 23:10 in Bất đẳng thức và cực trị
Những ai có thể giải được thì post lên chia sẻ nhé!
1. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
2. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. chứng minh
$P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^{2}}}\leq \frac{9}{4}$
3. Cho a, b, c >0 thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{4}$ . Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$
4. Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc=1. chứng minh:
$P=\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$
5. Cho a, b, c >0 thỏa mãn ab+bc+ca=abc. chứng minh rằng:
$\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ac}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{cb}+\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ba}\geq \sqrt{3}$
6. Cho a, b, c >0 , abc=1. chứng minh:
$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 7(a+b+c)-3$
7. Cho a, b, c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức:
$\frac{a^{3}}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{b^{3}}{\sqrt{c^{2}+3}}+\frac{c^{3}}{\sqrt{a^{2}+3}}$
8. Cho a, b >0 và a+b=2. tìm GTNN của
$T=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+3}+\frac{1}{2ab}$
9. Cho a, b, c >0 vaf a+b+c=1. chứng minh:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq 30$
10. Cho a, b, c>0. chứng minh:
$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b^{3}}{c(a+b)}+\frac{c^{3}}{a(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}$
11. Cho a, b, c >0 và abc=1. chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^{3}}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^{3}}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$
Posted by ILoveMath4864 on 12-02-2017 - 21:48 in Bất đẳng thức và cực trị
mà để mình thêm vào cho rõ
Posted by ILoveMath4864 on 12-02-2017 - 21:47 in Bất đẳng thức và cực trị
mình chưa hiểu lắm, sao nhận ra lại đc thế. thế 1+ab đâu ạ? bạn gt hộ mình với!!!
$(1+a)^2(1+b)^2\geq 4(a+b)(1+ab)=4a+4b+4a^2b+4ab^2=4a(1+b^2)+4b(1+a^2)$ bạn à
bạn viet9a14124869 giải thích đúng rồi đấy
Posted by ILoveMath4864 on 12-02-2017 - 20:56 in Bất đẳng thức và cực trị
chỗ này là a+b ,,,bạn nên sửa lại đi nhé
ok
Posted by ILoveMath4864 on 11-02-2017 - 23:00 in Bất đẳng thức và cực trị
Mình cũng đã có lời giải cho bài toán này:
Ta có: $(1+a)^{2}(1+b)^{2}=(1+a+b+ab)^{2}\geq 4(1+ab)(a+b)$ (theo bất đẳng thức quen thuộc $(a+b)^{2}\geq 4ab$ )
Mà $4(1+ab)(a+b)=4a+4b+4a^{2}b+4ab^{2}=4a(1+b^{2})+4b(1+a^{2})$
=> $\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}\geq 4a.\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+4b.\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}$
Chứng minh tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi công theo vế ta có:
$P\geq 4a(\frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+b^{2}})+4b.(\frac{1+a^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+a^{2}})+4c.(\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}+\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}})$
Đến đây áp dụng bđt Cô- Si thì $P\geq 8a+8b+8c$
suy ra ĐpCM
Posted by ILoveMath4864 on 11-02-2017 - 22:35 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Không biết còn ai xem topic này nữa không nhưng mình đã có cách giải bài toán này.
Cách giải như sau:
+) Xét $x=y=z=0$ là 1 nghiệm của hệ
+) Xét $x, y, z\neq 0$ , khi đó gọi 3 pt lần lượt là (1), (2), (3) . Chia 2 vế của (1), (2), (3) lần lượt cho $x^{2}y, y^{2}z, z^{2}x$ Ta có hệ mới:
$\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^{2}} & \\ 1+\frac{1}{z}=\frac{1}{y^{2}} & \\ 1+\frac{1}{x}=\frac{1}{z^{2}} & \end{matrix}\right.$
Đặt $\frac{1}{x}=a , \frac{1}{y}=b, \frac{1}{z}=c$ có hệ mới:
$\left\{\begin{matrix} 1+b=a^{2} & (3)\\ 1+c=b^{2} & (4)\\ 1+a=c^{2} & (5) \end{matrix}\right.$
Ta thấy : Nếu a, b, c thỏa mãn hệ trên mà trong 3 số đó có 1 số dương, giả sử số đó là a. Từ (5) suy ra được $c^{2}> 1$
Lại có từ (4) suy ra $c> -1$ nên $c> 1$
$c> 1$ kết hợp với (2) suy ra $b^{2}> 2$ nên $b> \sqrt{2}$ hoặc $b< -\sqrt{2}$
Nếu $b< -\sqrt{2}$ thì $1+b< 0 = > a^{2}< 0$ vô lí
=> $b> \sqrt{2}$
=> cả 3 số a, b, c dương. tương tự ta cũng chứng minh được 3 số cùng âm
vậy nếu 3 số a, b, c thỏa mãn hệ thì 3 số phải cùng âm hoặc cùng dương.
Đến đây xét 2 trường hợp:
TH1: $a,b,c> 0$ . Giả sử $a> b$ suy ra $a^{2}> b^{2}$ => $1+b> 1+c$ => $b> c$ => $b^{2}> c^{2}$ => $1+c> 1+a$ => $c> a$
Tương tự có $c< a$
2 điều trên suy ra a=c nên cũng suy ra được a=b
thay vào hệ ta có
$\left\{\begin{matrix} a=b=c> 0\\ 1+a=a^{2} \end{matrix}\right.$
dễ dàng tính được $a=b=c=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
Từ đó suy ra x, y, z
TH2: hoàn toàn tương tự TH1
Vậy là kết thúc bài hệ này !!
Posted by ILoveMath4864 on 19-01-2017 - 20:55 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}{1+c^{2}}+\frac{(1+b)^{2}(1+c)^{2}}{1+a^{2}}+\frac{(1+c)^{2}(1+a)^{2}}{1+b^{2}}$
Giúp mình với nhé, nhanh lên đang cần gấp!!!
Posted by ILoveMath4864 on 16-01-2017 - 23:14 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+1)=y\\ y^{2}(z+1)=z\\ z^{2}(x+1)=x \end{matrix}\right.$
Posted by ILoveMath4864 on 29-12-2016 - 20:53 in Số học
Tìm giá trị lớn nhất của k để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
$x^{3}-k(x+1)+1=0$
Posted by ILoveMath4864 on 29-12-2016 - 20:47 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho 2 dãy số cùng chiều $a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}$ và $b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}$
Chứng minh rằng $(a_{1}+a_{2}+a_{3})(b_{1}+b_{2}+b_{3})\leq 3(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})$
Giúp mình với nhé, đang cần gấp lắm!!!!!!!!
Posted by ILoveMath4864 on 20-12-2016 - 22:05 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
vì đây là mình học từ một bản khác, mà mình ko biết cách copy nguyên mẫu link nên chỉ có thể copy như vậy cho bạn thôi. chắc là có nhầm lẫn ở đâu đó!!!
chắc là còn 1 trường hợp nào đó ở trên chẳng hạn, và trường hợp đó suy ra x=0
Posted by ILoveMath4864 on 20-12-2016 - 21:49 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Đặt a=√3x+1, b=√6x+1
suy ra 2a2−b2=1
PT :10a2+ab−1=01
7a2+(a2+ab+b2)=0
pt có nghiệm khi a=b=0
ma dấu = không xảy ra đồng thời suy ra pt vô nghiệm
nếu x=0 thì tính sao đây bạn??
Posted by ILoveMath4864 on 20-12-2016 - 21:27 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
giải phương trình sau:
$2(3x+5)\sqrt{3x+1}-(3x+1)\sqrt{6x+1}=12x+9$
Posted by ILoveMath4864 on 20-11-2016 - 18:24 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} 4xy+4(x^{2}+y^{2})+\frac{3}{(x+y)^{2}}=\frac{85}{3}\\ 2x+\frac{1}{x+y}=\frac{13}{3} \end{matrix}\right.$
Posted by ILoveMath4864 on 20-11-2016 - 18:06 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$Ta có :x , y phải khác 0 (vì là mẫu) . Nhân 2 vế của pt đầu cho x^{3}y^{3}đc \rightarrow x_{4}y_{3}-y_{3}=x^{3}y^{4}-x^{3} \Leftrightarrow (x-y)(x^{3}y^{3}+x^{2}+y^{2}-xy)=0 Đến đây tự giải đc r nhé !$
thế còn x^{3}y^{3}+x^{2}+y^{2}-xy=0 thì tính sao đây bạn ??
Posted by ILoveMath4864 on 20-11-2016 - 17:56 in Bất đẳng thức và cực trị
cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3
chứng minh rằng
$\frac{x^{3}}{y^{3}+8}+\frac{y^{3}}{z^{3}+8}+\frac{z^{3}}{x^{3}+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2}{27}(xy+yz+zx)$
Posted by ILoveMath4864 on 15-11-2016 - 00:52 in Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
*** Cannot compile formula: left *** Error message: Error: Nothing to show, formula is emptyx
cái j đấy ??
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học