Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng  mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng mình hoặc ngồi với người phụ nữ khác. Hỏi có mấy cách xếp chỗ ngồi thỏa mãn:

Ta có $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}= \sum \frac{a}{(a^{2}+1)+2b+2}\leq \sum \frac{a}{2a+2b+2}=\frac{1}{2}\sum(1-\frac{b+1}{a+b+1})$

Xét $B=\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum (b+1)(a+b+1)}$

<=> $B\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum b^{2}+ab+(2b+a)+1}=\frac{1}{2}$
   (Đoạn này dễ bạn tự biến đổi để bt dưới mẫu = 1/2 bt trên tử)


Do đó A$\leq \frac{1}{2}$

>>>>>>>>>>>>>>>>

hello bro

Chứng minh với mọi a,b,c dương ta đều có:
$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+bc} \geq 1 + \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Mình chỉ tìm được gtln thôi, không biết đúng không nữa, bạn tham khảo nha ^^ 

cos2x + cos2y

= 1-2sin²x  + 1-2sin²y

= 2 - 2(sin²x+sin²y)

= 2 - 2(sinx+siny)² + 4sinxsiny

= 3/2 +4sinxsiny

<= 3/2 + (sinx+siny)²

= 3/2+1/4 = 7/4

Dấu bằng xảy ra khi sinx=siny=1/4

tks bạn nha :v 

Tìm Min và Max của biểu thức: 
     $D = cos 2x + cos 2y$
trên miền D = $\left \{ (x;y) : sin x + sin y = \frac{1}{2} \right \}$

Chứng minh với tam giác ABC không tù thì 
                             Sin A + Sin B + Sin C > Cos A + Cos B + Cos C

ok bạn

$\left\{\begin{matrix} x + y + \sqrt{xy} = -1 & & \\ \sqrt{x^{2}+3} + \sqrt{y^{2} + 3} = 4 & & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x + y + \sqrt{xy} = - 1 & & \\ \sqrt{x^{2} +3} + \sqrt{y^{2}+ 3} = 4 & & \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5 & & \\ x^{3}+y^{3}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}} = 15m-1 & & \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+ b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{3-ab} \leq \frac{3}{2}$

Giải bất phương trình: $\left | 2x-3 \right | + \left | 2x-7 \right | \leq \sqrt{12+4x-x^{2}}$

ĐK: $-\frac{3}{2}\leq x\leq 3$

Phương trình đã cho tương đương với: $\sqrt{2x+3} - 3\sqrt{3-x} = \frac{11x-24}{\sqrt{6x^{2}-16x+12}}\Leftrightarrow \frac{11x-24}{\sqrt{2x+3} + 3\sqrt{3-x}}=\frac{11x-24}{\sqrt{6x^{2}-16x+12}}\Leftrightarrow (11x-24)(\frac{1}{\sqrt{2x+3} + 3\sqrt{3-x}}-\frac{1}{\sqrt{6x^{2}-16x+12}})=0$

+) $x=\frac{24}{11}$

+) $\frac{1}{\sqrt{2x+3} + 3\sqrt{3-x}}-\frac{1}{\sqrt{6x^{2}-16x+12}}\Leftrightarrow \sqrt{2x+3} + 3\sqrt{3-x}=\sqrt{6x^{2}-16x+12}\Leftrightarrow 30-7x+6\sqrt{(2x+3)(3-x)}=6x^2-16x+12\Leftrightarrow 6\sqrt{(2x+3)(3-x)}=6x^2-9x-18\Leftrightarrow 2\sqrt{(2x+3)(3-x)}=2x^2-3x-6\Leftrightarrow 4x^4-12x^3-7x^2+24x=0\Leftrightarrow (2x^2-3x-8)(2x^2-3x)=0....$

Thử lại, ta có: $\boxed{x=\frac{3\pm \sqrt{73}}{4}}$

thank you <3

Giải phương trình: $\sqrt{2x+3} - 3\sqrt{3-x} = \frac{11x-24}{\sqrt{6x^{2}-16x+12}}$

Chứng minh với mọi tam giác ABC tùy ý ta luôn có
$\sum Cotg^{3}A \geq \sum \frac{Cos^{3} A}{Sin^{3} B}$

tks

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{8xy}{x+y}=16 & \\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y & & \end{matrix}\right.$

đù phộng
nhanh lắm 
t cx định vô hỏi may là gặp mày :v

Tìm m để GTLN của hàm số $y=\left | x^{2} + 2x + m + 1 \right |$  trên đoạn [0;1] là nhỏ nhất

Pt (1) phải là $x^{3}y+xy=2$ chứ nhỉ bạn xem lại đề được không?

không đúng là đề thế mà bạn, mình cũng có thắc mắc y như bạn nên mới lên đây hỏi

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{3}y + xy =3 & & \\ y^{3}(3x-2)=1 & & \end{matrix}\right.$

giải hệ pt $\left\{\begin{matrix}x^{3}y + xy = 3 & & \\ y^{3}(3x-2)=1 & & \end{matrix}\right.$