câu 1:  $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}-sin^{2}y}{x^{x}+2y^{2}}$  

   em thay  $sin^{2}y \Leftrightarrow y^{2}$   có được không ạ? hay phải giải bằng cách khác ạ?

câu 2:  $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y+x^{3}}{x^{2}+siny^{2}}$ 

câu này cũng vậy em thay $siny^{2}\Leftrightarrow y^{2}$ có được không ạ hay phải dùng cách khác? tiền bối nào giúp em với!!!

Toán đại học tích phân bội:

tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

$\left ( x-2y+3 \right )^{2}+\left ( 3x+4y+5 \right )^{2}=100$

Vậy trong hệ tọa độ cực, các đường tròn $r=\cos\theta$ và $r=\sin\theta$ có tâm tại đâu, bán kính bao nhiêu, bạn đã biết ch

vâng em vẫn chưa biết ạ! 

tiền bối bảo e cách đổi sang tọa độ Descartes với ạ!

Bài 2: 

Ta có $\frac{e^{-1}{x}}{x}= \dfrac{\frac{1}{x}}{e^{\frac{1}{x}}}.$

 

Nhận xét: với $u>0$, ta có $e^{u} \ge \frac{u^2}{2}.$

Suy ra 

$$0<\frac{e^{-1}{x}}{x}\le 2x \forall x>0.$$

Bằng định lý kẹp, ta suy ra 

$$ \lim_{x\to 0^{+}} \frac{e^{-1}{x}}{x}=0.$$

phần nhận xét $e^{u}\geqslant \frac{u^{2}}{2}$ ta có thể thay số 2 bằng bất kì số nguyên nào khác như 3,4,.. được không ạ? hay phải tuân theo một quy tắc nào ạ?

đường tròn  $r=sin\theta$;  $r=cos\theta$  vẽ như thế nào ạ! các bác giúp em với 

 

Bài 1:

Ta có

 

\[x- \frac{x^3}{6}\le \sin x \le x- \frac{x^3}{6}+ \frac{x^5}{120}\, \forall x\in (0,\pi/2).\]

Suy ra 

\[1- \frac{x^2}{6}\le \frac{\sin x}{x} \le 1- \frac{x^2}{6}+ \frac{x^4}{120}\, \forall x\in (0,\pi/2).\]

 

Thật ra, ta có

\[1- \frac{x^2}{6}\le \frac{\sin x}{x} \le 1- \frac{x^2}{6}+ \frac{x^4}{120}\, \forall x\in (-\pi/2,\pi/2).\]

Ta có

$\lim_{x\to 0}\left(1- \frac{x^2}{6}\right)^{\frac{1}{x^2}}= e^{-\frac{1}{6}}.$

 

Cần xử lý thêm để chứng tỏ  $\lim_{x\to 0}\left(1- \frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}\right)^{\frac{1}{x^2}}= e^{-\frac{1}{6}}.$

 

Theo định lý kẹp, ta có $\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{6}}.$

tiền bối cho e hỏi có thể áp dụng phương pháp nào để ta có thể tìm được giả thuyết 

$x-\frac{x^{3}}{6}\leqslant sinx \leqslant x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120} \forall x \euro \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )$

các tiền bối giúp em với ạ!

 

Không dùng quy tắc L'Hospital. Tính các giới hạn sau:

 

$\lim_{x\to0+}\frac{e^{\frac{-1}{x}}}{x}$

 

 

$\lim_{x\to0}\left ( \frac{sinx}{x} \right )^{\frac{1}{x^{2}}}$

 

$\lim_{x\to0}\left ( \frac{sinx}{x} \right )^{\frac{1}{x^{2}}}$

Không dùng quy tắc L'Hospital hãy tính các giới hạn sau:

 

$\lim_{x\to0}\left ( \frac{sinx}{x} \right )^{\frac{1}{x^{2}}}$

 

$\lim_{x\to0+}\frac{e^{\frac{-1}{x}}}{x}$