Cho a,b,c > 0, ab+bc+ca=1

CM: $\frac{1}{4a^{2}-bc+1} + \frac{1}{4b^{2}-ac +1} +\frac{1}{4c^{2}-ab+1}\leq \frac{3}{2}$

$\left\{\begin{matrix} (1+4x).x^{2}=\frac{x+y}{2}.\sqrt{y} & \\ xy-3y+9x-1=\sqrt{2x-\frac{y^{2}}{16}} & \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c >0. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{\sqrt{5a^{2}+2b^{2} +2c^{2}}} \leq 1$

Giải phương trình :

$\sqrt{3x-5} +2.\sqrt[3]{19x-30} = 2x^{2} -7x+11$

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} (x+6y+3)\sqrt{xy+3y} = y(3x+8y+9) & \\ \sqrt{-x^{2}+8x-24y+417} =(y+3)\sqrt{y-1} +3y+17 & \end{matrix}\right.$

Mình nhờ ké câu này với ạ, ai làm đc chỉ mình với ạ (((

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 6x.\sqrt{y^{2}+7} + 6y\sqrt{x^{2}+5} =17xy& \\x.\sqrt{x^{2}+5} +y\sqrt{y^{2}+7} = x^{2} +y^{2} +5 & \end{matrix}\right.$

Bài 1 : Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 6x.\sqrt{y^{2}+7} + 6y\sqrt{x^{2}+5} =17xy& \\x.\sqrt{x^{2}+5} +y\sqrt{y^{2}+7} = x^{2} +y^{2} +5 & \end{matrix}\right.$

Câu 5a: 

Phương trình (1) $\Leftrightarrow$ $\left [ 2(x+2y)-1 \right ]$ $\sqrt{2x-y-1}$ = $\left [ 2(2x-y-1)-1 \right ]$ $\sqrt{x+2y}$

Đặt $\sqrt{2x-y-1}$ = a ( a$\geq 0$ ) ; $\sqrt{x+2y}$ = b ( b$\geq 0$ )

Do đó (1) ta có: (2$b^{2} -1$ )a = $(2a^{2}-1)b$

               $\Leftrightarrow (a-b)(2ab+1) = 0$

                Mà 2ab+1 >0

                $\Rightarrow a=b$

              $\Rightarrow 2x-y-1 = x+2y$  $\Rightarrow x-1=3y$

Thay x-1=3y vào (2) ta có : $x^{2} +8x+5 - 2(x+1)\sqrt{3x+1} = 2\sqrt{2x^{2}+5x+2}$

                             $\left [ (x+1)^{2} -2(x+1)\sqrt{3x+1} + 3x+1 \right ] + \left [ 2x+1 - 2\sqrt{(2x+1)(x+2)}+x+2 \right ]$ = 0 

                             $\left ( x+1-\sqrt{3x+1} \right )^{2} + (\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+2})^{2} = 0$

                             $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+1-\sqrt{3x+1}=0 & \\ \sqrt{2x+1} - \sqrt{x+2} =0 & \end{matrix}\right.$

                             $\Rightarrow x=1 (TM)$ $\Rightarrow y=0$

Vậy $(1;0)$ là nghiệm của hệ phương trình

Bài 82: Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp (O), BD là phân giác góc ABC. BD cắt (O) tại E. ĐƯờng tròn (O₁) đường kính DE cắt (O) tại F 

1. CM: đường thẳng đối xứng với BF qua BD đi qua trung điểm AC

2. Giả sử tam giác ABC vuông tại B, $\widehat{BAC}$ = 60 và bán kính của (O) bằng R. Tính bán kính (O₁) theo R

130. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc

CMR: $\frac{1}{\sqrt{a^{3} +b}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b^{3}+c}}$ + $\frac{1}{\sqrt{c^{3}+a}}$ $\leq \frac{3}{^{\sqrt{2}}}$

116. Giải phương trình: 

x$\sqrt{3x-2}$ + $\sqrt{3-2x}$ = $\sqrt{x^{3}+x^{2} +x+1}$

Bài 76: (O;R) vẽ dây cung AB<2R. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với (O). Lấy điểm M bất kì thuộc cung nhỏ AB ( M khác A và B ). Gọi H,K,I lần lượt là chân các đường cao hạ từ M xuống AB,Ax,By.

1. CMR: $MH^{2}$ = MK.MI

2. Gọi E là giao điểm của AM và KH, F là giao điểm của BM và HI. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MEK, MFI

3. Gọi D là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MEK và MFI. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cung nhỏ AB thì đường thẳng DM luôn đi qua 1 điểm cố định

Bài 112 : Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: $\frac{1}{a}$ + $\frac{2}{b}$ + $\frac{3}{c} = 3$ 

Chứng minh rằng: $\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}$ + $\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}$ + $\frac{8c^{2}}{b(9b^{2} +4c^{2})} \geq \frac{3}{2}$

Ý 1 câu hình

a) $\widehat{AKB}=\widehat{AEB}=\widehat{ABE}=\widehat{ACF}=\widehat{AFC}=\widehat{AKC}$

b) $\widehat{OCB}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{COB}=90^{\circ}-\widehat{ACB}=\widehat{ABE}=\widehat{AKB}$

$\Rightarrow$ Tứ giác OCBK nội tiếp

$\Rightarrow DO.DK=DB.DC=DU.DA$

c) $\widehat{CHB}=180^{\circ}-\widehat{CAB}=120^{\circ}=\widehat{COB}$

$\Rightarrow$ Tứ giác BCHO nội tiếp hay 5 điểm B,C,O,H,K cùng thuộc 1 đường tròn

Gọi R' là bán kính đường tròn đi qua B,C,O,H,K

Ta có: $S_{OBC}=\frac{OB.OC.BC}{4R'}\Rightarrow S_{OBC}.\sin \widehat{BOC}=\frac{OB.OC.\sin \widehat{BOC}}{2}.\frac{BC}{2R'}=S_{OBC}.\frac{BC}{2R'}\Rightarrow R'=\frac{BC}{2\sin \widehat{BOC}}=\frac{R\sqrt{3}}{ 2\sin 120^{\circ}}=R$

$\Rightarrow S_{BHCK}\leq BC.HK\leq R\sqrt{3}.2R'\leq R^{2}.2\sqrt{3}$

ý c GTLN phải là $R^{2} \sqrt{3}$

Bài mk sai chỗ nào vậy bn??

- Đánh giá cái chỗ x $\geq$ -3 $\Rightarrow 2x+7\geq 1$

$\Rightarrow \sqrt{2x+7} + 3 \geq 4$

$\Rightarrow$ $\frac{2}{\sqrt{2x+7}+3} \leq \frac{1}{2}$

Cách vậy không được đâu vì sau khi trục căn trong ngoặc vẫn còn nghiệm

 

C

 

Câu hệ:

Xét ptrình 2:

${x^2} + x\left( {3y + 3} \right) + 2{y^2} + 2y - 4 = 0$

$\Delta = 9{y^2} + 18y + 9 - 4\left( {2{y^2} + 2y - 4} \right) = {\left( {y + 5} \right)^2}\\ x = \frac{{y + 5 - 3y - 3}}{2} \Leftrightarrow x = 1 - y\\ x = \frac{{ - y - 5 - 3y - 3}}{2} \Leftrightarrow x = - 2y - 4$

Tới đây thế vào phương trình 1 mà giải thôi

Nghiệm $x_{2}$ thì đánh giá được vô nghiệm nhưng nghiệm $x_{1}$ thay vào phương trình 2 trục căn nhưng trong căn vẫn còn nghiệm 

Bạn có cách khác không?

Bất 

Đặt$\frac{a}{b} = x;\,\,\frac{b}{c} = y;\,\,\frac{c}{a} = z$, ta thu được $abc=1$ và bất đẳng thức trở thành:

${\left( {x + y + z} \right)^2} \ge \frac{3}{2}\left( {x + y + z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4{\rm{x}}y + 4yz + 4{\rm{zx}} \ge 3x + 3y + 3z + 3xy + 3yz + 3xz\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \left( {xy + yz + zx} \right) \ge 3\left( {x + y + z} \right)$

Áp dụng các bất đẳng thức sau:

${\left( {xy + yz + xz} \right)^2} \ge 3\left( {x + y + z} \right)\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}$

Đặt $t=x+y+z (t\ge3) $

Ta cần chứng minh:$\frac{2}{3}{t^2} + \sqrt {3t} - 3t \ge 0$

Luôn đúng do $t\ge3$. Hoàn tất chứng minh.

Đặt $\frac{a}{b}$ = x, $\frac{b}{c}$ =y , $\frac{c}{a}$ = z thì phải suy ra xyz =1 chứ ạ

Mới thi sáng nay, ai giải hộ câu 3 ý 2 với

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

            HÀ NAM                                                                                                      NĂM HỌC: 2017-2018                                 

    ( ĐỀ CHÍNH THỨC )                                                                                                Môn : TOÁN

                                                                                                                      Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 : ( 3 điểm). Cho biểu thức:

P = $\frac{1+2\sqrt{x}}{(1+x)(1-\sqrt{x})}$ : $( \frac{2x+3\sqrt{x}+1}{1-x} + \frac{2x\sqrt{x} +3x+\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}})$ với x$\geqslant$ 0 ; x $\neq$ 1

1) Rút gọn biểu thức P

2) Tìm x để P có giá trị nguyên

Câu 2:(4 điểm).

1) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} = \frac{(x-y)^{2}}{2} & & \\ (x+y)(x+2y) +3x+2y=4 & & \end{matrix}\right.$

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hàm số y=$x^{2}$ có đồ thị là (P) và đường thẳng (d) đi qua điểm M(0;1), có hệ số góc là k . Tìm k để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho MA=2018MB.

Câu 3 (4 điểm).

1) Giải phương trình $4\sqrt{x+3} + 2\sqrt{2x+7} = (x+1)(x^{^{2}} +4x+2)$

2) Tìm các bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn $x^{2} + 15^{y} = 2^{z}$

Câu 4 ( 7 điểm).

1) Cho dây cung BC=R$\sqrt{3}$ cố định trên đường tròn (O;R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K ( K không trùng với A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.

a) Chứng minh rằng KA là phân giác của góc BKC.

b) Gọi D là giao điểm của AK và BC, U là giao điểm của AK và đường tròn (O;R). Chứng minh rằng DO.DK=DU.DA

c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.

2) Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến ba cạnh của tam giác ABC bằng tổng bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Câu 5: (2 điểm). Cho a,b,c là các số thực lớn hơn 0.

Chứng minh rằng: $\left ( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right )^{2} \geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b}\right )$

Dấu bằng xảy ra khi nào?

                                                                    ........HẾT..........

Câu 3:

2. B = $\frac{1}{16}$ + $\frac{2}{16^{2}}$ + $\frac{3}{16^{3}}$ + ... + $\frac{2018}{16^{2018}}$

Ta có : 16B= 1 + $\frac{2}{16}$ + $\frac{3}{16^{2}}$ +...+ $\frac{2018}{16^{2017}}$

Suy ra: 15B = 16B - B = 1 + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16^{2}}$ + $\frac{1}{16^{3}}$ + ... +  $\frac{1}{16^{2017}}$ - $\frac{2018}{16^{2018}}$

Đặt: A = $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16^{2}}$ + $\frac{1}{16^{3}}$ + ... +  $\frac{1}{16^{2017}}$

16A = 1 + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16^{2}}$ + $\frac{1}{16^{3}}$ + ... +  $\frac{1}{16^{2016}}$

Suy ra: 15A = 1- $\frac{1}{16^{2017}}$ 

15A < 1 . Suy ra A < $\frac{1}{15}$ < 14

Do đó : 15B < 1 + 14 = 15 

B < 1

Vậy B²⁰¹⁷ > B²⁰¹⁸