Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R), các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H (D,E,F lần lượt thuộc BC,CA, AB). AD lại cắt (O) lần thứ hai tại X. Kẻ đường kính AP của (O). Gọi M là trung điểm của BC

1. Chứng minh rằng H,M,P thẳng hàng.

2. Chứng minh rằng D là trung điểm của HX.

3. Gọi K là điểm bất kì thuộc (O) và L là trung điểm của HK. Chứng minh rằng D,E,F,L cùng thuộc một đường tròn.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R cố định và một dây CD thay đổi sao cho CD = m (B và D khác phía đối với AC; m > 0 cho trước). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên CD.

1. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến CD không đổi khi dây CD thay đổi và DH = CK.

2. Tìm vị trí của dây CD để đoạn thẳng HK có độ dài lớn nhất.

3. Chứng minh rằng S(ABC) + S(ABD) = S(ABKH).

Gọi $(AEF) \cap (BFD) = I\Rightarrow \angle IDB = \angle IFA = \angle IEC.$

Dẫn đến tứ giác $CDIE$ nội tiếp hay $(AEF),(BFD), (CDE)$ cùng đi qua một điểm.

Gọi I' là tâm $(ABC)$ khi đó kẻ $I'D', I'E', I'F'$ lần lượt vuông $BC,CA,AB$ thì ta có ngay $D',E',F'$ là trung điểm $BC,CA,AB.$

Dẫn đến $D\equiv D', E\equiv E', F\equiv F';$ theo cách dựng ta có tứ giác $I'D'BE'$ nội tiếp nên $I'DBE$ cũng nội tiếp.

Tương tự $I'DCE, I'EAF$ đều nội tiếp. Do đó $I\equiv I'.$ Ta lại có $I'A=I'B=I'C\Rightarrow IA=IB=IC,$ từ đó dễ thấy được điều cần chứng minh.

Ps: Ý thứ hai không chắc.

Bạn ơi nếu mình chưa học tứ giác nội tiếp thì bài này có cách giải nào khác không ạ?

Cho tam giác ABC có D,E,F lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB. Chứng minh rằng các đường tròn (AEF),(BFD),(CDE) cùng đi qua một điểm, đồng thời chúng có bán kính bằng nhau.

Cho tam giác ABC có $\angle BAC = 60^o$ , I là giao điểm các đường phân giác, G là trọng tâm. Gọi P là điểm thuộc BC sao cho $GP \parallel AB$ và F là điểm thuộc cạnh AB sao cho $AI = AF \sqrt{3}$ .Chứng minh rằng:

1. $BC = 3BP$.

2. $IF \parallel CA$.

3. $\angle BFP  = \frac{1}{2} \angle ABC$.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Gọi D,E lần lượt là trung điểm của HB,HC và I là trực tâm của tam giác ADE. Chứng minh rằng:

1. Hai tam giác ADH và EIH đồng dạng.

2. AI = 3IH.

bài 1: cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 

a+3/( 1+a )^2 + b+3/( 1+b )^2 + c+3/( 1+c )^2 ≥ 3 .

mong các bạn giải bằng bđt cauchy hoặc bunyakovsky

P/S: Bạn đã hỏi bài này lần 2, và vẫn không gõ công thức toán. 

Mong bạn chú ý!!!

bài 1: cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $a+\frac{3}{(1+a)^2} + b+\frac{3}{(1+b)^2} + c+\frac{3}{(1+c)^2}\geq 3$.

bài 2 :

cho các số $x, y$ thỏa mãn $x^2-3xy+y^2$ chia hết $25$. Chứng minh rằng $xy$ chia hết $25$.

Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi viết số đó vào số 2021, sẽ được một số chia hết cho 102

Có 70 viên bi, trong đó có 20 bi đỏ, 20 bi xanh, 20 bi vàng, 5 bi trắng và 5 bi đen. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn có:

a. Hai viên bi khác màu. b. Hai viên bi cùng màu.