Cho đường tròn $(O)$; từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến $AB;AC$. Kẻ đường kính $DE$ bất kì của đường tròn $(O)$ ($DE$ không trùng với $OA$). Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ADE$. Chứng minh rằng: $B;H;C$ thẳng hàng.

Bạn kiếm file này kiểu gì vậy, mình tìm mãi không ra

Bạn có thể tìm ở đây:https://www.molympia...-solutions.html

Chứng minh rằng nếu $t$ là một số tự nhiên thì tồn tại số tự nhiên $n$ 
a) Sao cho $n+t,n^2+t,n^3+t,....$ không là lũy thừa đúng
b) Thêm điều kiện $(n,t)=1$ ( Iran National Math Olympic 2012)

Bạn có thể xem đáp án được viết bằng tiếng Anh tại đây.

Bài V) Bài này cũng giống với đề 1 .
ĐKXĐ: $2\leq x\leq 4$
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\sqrt{x-2}\leq \frac{x-2+1}{2}=\frac{x-1}{2}$.
$\sqrt{4-x}\leq \frac{4-x+1}{2}=\frac{5-x}{2}$.
$\Rightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\leq \frac{x-1}{2}+\frac{5-x}{2}=\frac{4}{2}=2$.
Ta có: $x^2-6x+11=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x} \Rightarrow x^2-6x+11\leq 2 \Leftrightarrow (x-3)^2\leq 0$.
Mà:$(x-3)^2\geq 0 \Rightarrow (x-3)^2=0 \Leftrightarrow x=3$.
ĐCĐK: $x=3(tm)$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: $x=3$.

Cho bốn số nguyên $a,b,c,d$ sao cho $2b=a+c;2c=b+d;c^2+d^2<4$.Tìm số nguyên $a$ biết $b=2$

Bạn tham khảo lời giải tại đây.
P/s: Bạn cần đánh đúng Latex.

Cho các số thực khác 0 thoả mãn $a,b,c$ phân biệt từng đôi một và $a+b+c=0$. Chứng minh rằng: $(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b})(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c})=9$

Đặt: $A=\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}$
$B=\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}$
Ta có: $A=\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=\frac{a(a-b)(c-a)+b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{a(ac-bc-a^2+ab)+b(ab-ca-b^2+bc)+c(bc-ab-c^2+ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{a^2c-abc-a^3+a^2b+ab^2-abc-b^3+b^2c+bc^2-abc-c^3+c^2a}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2-(a^3+b^3+c^3)-3abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
Dễ dàng CM được: Với $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$.
$\Leftrightarrow A=\frac{a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc-8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$\Leftrightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
Mà: $a+b+c=0 \Rightarrow A=\frac{-9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
$B=\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}=\frac{bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)}{abc}$
$\Leftrightarrow B=\frac{b^2c-bc^2+c^2a-ca^2+a^2b-ab^2}{abc}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc}$
$\Rightarrow A.B=9(Đpcm)$

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ thoả mãn: $1+p+p^2+p^3+p^4$ là số chính phương

Bài toán đã có lời giải ở đây.

Câu 1) Cho $\Delta ABC$ có $3$ đường phân giác trong $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng nếu bán kính các đường tròn nội tiếp các $\Delta AQF;\Delta BQD;\Delta CQE$ bằng nhau thì $\Delta ABC$ đều.
Câu 2) Tính cạnh của đa giác đều có $8$ cạnh theo bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đó.

Bạn tham khảo đáp án tại đây

Câu 7) Cho các số thực $x;y$ thỏa mãn: $x+y=2\sqrt{x-2}+\sqrt{y+1}+1$. Tìm $GTNN;GTLN$ của $A=\frac{x}{2}(x-y)+\frac{y}{2}(y-x)+\frac{2(1+xy\sqrt{x+y})}{\sqrt{x+y}}$.

Làm cách nào để chứng minh nó lớn hơn 3/2 vậy bạn? Mình nghĩ cả buổi trưa không ra

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $a^2b+a^2b+b^2c\geq 3ab\sqrt[3]{abc}=3ab$
TT:...
$\Rightarrow VT \geq \frac{1}{2}(ab+bc+ca) \geq \frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=\frac{3}{2}$

Câu 4 theo mình thì biến đổi $\frac{a^4b}{a^2+1}=a^2b-\frac{a^2b}{a^2+1}\geq a^2b-\frac{a^2b}{2\sqrt{a^2}}=a^2b-\frac{ab}{2}$(Cô-si)
TT:...
$\Rightarrow VT\geq a^2b+b^2c+c^2a-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)$ rồi chứng minh vế sau $\geq \frac{3}{2}$

Câu 5) Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm $GTNN$ của $A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}.$
Câu 6) Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=27$. Chứng minh: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{12}{a^2+63}+\frac{12}{b^2+63}+\frac{12}{c^2+63}.$

Câu 1) Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=3$. Tìm $GTNN$ của: $A=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}.$
Câu 2) Cho các số dương $a;b;c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.$
Câu 3) Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=4\sqrt{xyz}$. Chứng minh rằng: $x+y+z\geq 2\sqrt{xyz}.$
Câu 4) Cho $a;b;c>0; abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{c^4a}{c^2+1}\geq \frac{3}{2}.$
P/s: Mong mọi người tham gia giải nhiệt tình để hoàn thành các bài toán .

Cho $\Delta ABC$; $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $r;r_1;r_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC;\Delta MAB;\Delta MAC$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\geq 2\left ( \frac{1}{r}+\frac{1}{BC} \right )$.

Cho các số dương $a;b;c$ thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+2}}\leq \frac{3}{2}.$$

Bạn tham khảo tại đây:https://diendantoanh...e-1#entry260610

Cho em hỏi cách xóa bài với cách đổi tiêu đề bài với ạ !

Xóa bài viết thì thành viên thường không xóa được còn muốn sửa tiêu đề thì bạn nhấn vào nút "Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ" sau đó sửa tiêu đề thôi.

Phải là $DK$ cắt $AH$ tại $I$ chứ đúng không bạn?

Xin lỗi mình ghi nhầm đề,fixed.

Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$. Đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt $AB;AC$ tại $E;D$; $BD$ cắt $EC$ tại $H$. Các tiếp tuyến tại $B;D$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $K$; $AK$ cắt $BC$ tại $M$; $MH$ cắt $BK$ tại $N$; $DK$ cắt $AH$ tại $I$. Vẽ tiếp tuyến $AS$ của đường tròn $(O)$ ($S$ thuộc cung nhỏ $CD$).
Chứng minh rằng: a; $N;E;I$ thẳng hàng.
b; $M;H;S$ thẳng hàng.

Không ai giải 2 bài này sao .

1)Tìm $4$ số biết rằng nếu cộng tích của $3$ số bất kì với số còn lại thì kết quả đều bằng $2$.
2)Giải và biện luận phương trình sau:$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ ($a$ là tham số).
P/s:2 bài này khá dễ, mọi người có thể làm thử .

Bài này nó chính là định lí Pascal suy biến thành tiếp tuyến.

Bạn có thể nêu rõ cách làm bài này của bạn được không?

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường cao $AD,$ $BE,$ $CF$ và trực tâm $H.$ Trên tia đối của $ED$ và $FD$ lấy $P$ và $Q$ sao cho $PE=EF=FQ.$
a) Chứng minh rằng $PF, QE, AO$ đồng quy.

Kẻ đường kính $AI$ của đường tròn $(O)$ cắt $BE$ tại $A_{1}$.
Ta có:$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o \Rightarrow BCEF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ABC}$
$\widehat{ABC}=\widehat{AIC}=\frac{1}{2}$sđ$\mathop {AC}^{\displaystyle\frown} \Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{AIC}$
Mà: $BE//CI \Rightarrow \widehat{AIC}=\widehat{AA_{1}E} \Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{AA_{1}E} \Rightarrow OA\bot EF$
$\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ ($BCEF$ nội tiếp)
$\Delta BAD \sim \Delta BCF \Rightarrow \frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BF}$; $\widehat{ABC}$ chung $\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta DBF$
$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{BFD}=\widehat{QFA} \Rightarrow \widehat{QFA}=\widehat{AFE}$
$\Rightarrow FA$ là phân giác $\widehat{QFE} \Rightarrow FA\bot QE$
CMTT cũng có :$FP\bot AE$
Xét $\Delta AEF$ có $OA\bot EF;FP\bot AE;EQ\bot AF \Rightarrow PF;OA;QE$ đồng quy.

P/s: Vì chưa thể giải hết tất cả các câu để thống nhất các đường phụ, có thể mình gọi khác các bạn nên mong các bạn thông cảm.
Câu a dễ nhất nên mình xin giải trước

c; Qua $B;C$ lần lượt kẻ đường thẳng song song với $DE;DF$ cắt $ID$ tại $G;P$
Theo định lí $Thales$ ta có: $CP//DL$ $\Rightarrow \frac{ID}{IP}=\frac{IL}{IC}$
$BG//KD$ $\Rightarrow \frac{ID}{IG}=\frac{IK}{IB}$
$KL//BC$ $\Rightarrow \frac{IK}{IC}=\frac{IL}{IC}$ $\Rightarrow \frac{ID}{IG}=\frac{ID}{IP}$ $\Rightarrow IP=IG$ $\Rightarrow P\equiv G$
$\Rightarrow \widehat{ABG}=\widehat{ACG}=90^o$ $\Rightarrow ABGC$ nội tiếp $\Rightarrow AG$ là đường kính đường tròn $(O)$.
Mà: $N;M;O$ là trung điểm $AI;AD;AG$ và $I;D;G$ thẳng hàng $\Rightarrow N;M;O$ thẳng hàng.