Em thích chuyên đề 2 và 3 vì có nhiều điều đáng để khai thác và tìm hiểu

Cho các số nguyên dương $k,n $ thỏa điều kiện $n>k^2-k+1$. Giả sử n tập $A_1, A_2,..., A_n$ thỏa mãn đồng thời 2điều kiện:
$|A_i|=k$ với $\forall i(1 \leq i \leq n)$
$|A_i \cup A_j|=2k-1$ với $\forall i,j(i \neq j ,1 \leq i,j \leq n)$
Hãy xác định số phần tử của tập $\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i$

PS: Mong học hỏi và làm quen cùng toàn thế lớp toán 11 PTNK

Vâng nếu anh đã nói thế thì em sẽ post lời giải lên, để các cao thủ học hỏi thì không dám, chỉ là tham khảo thêm thui ạ!!!

Gọi $(O_1),(O_2),(O_3)$ lần lượt là các đường tròn tâm $D$ bán kính $BD$, tâm $E$ bán kính $EC$, tâm $F$ bán kính $FA$.
Do đó đường thẳng qua $A$ vuông góc với $EF$ là trục đẳng phương của $(O_2)$ và $(O_3)$, tương tự đường thẳng qua $B$ vuông góc với $DF$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_3)$ và đường thẳng qua $C$ vuông góc với $DE$ là trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$
Theo định nghĩa của tâm đẳng phương thì các đường thẳng này đồng quy tại một điểm.
Ta có điều phải chứng minh!!!!

Khó để có thể trình bày hết cách biểu diễn công thức truy hồi dưới dạng công thức tổng quát ở đây nên nếu anh muốn tìm hiểu kĩ vấn đề này thì nên tìm đọc Phương trình sai phân!!!!
Ví dụ anh đưa ra là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai
$\left\{ \matrix{ {\rm u_1=1 u_2=2} \hfill \cr{\rm u_n=4u_{n-1} -4u_{n-2}} \hfill \cr} \right.$
Ta xét phương trình đặc trưng : $\lambda^2-4\lambda+4=0$ có nghiệm kép là $\lambda_1=\lambda_2=2$
Vậy nghiệm tổng quát có dạng: $u_n=(C_1+C_2)2^n$
Với $ n=1$ $ \Rightarrow C_1+C_2=\dfrac{1}{2}$
Do đó công thức tổng quát của phương trình sai phân đã cho là $u_n=2^{n-1}$

Gọi $n+1$ số bất kì theo đề bài lần lượt có dạng là $2^{a_1}.b_1,2^{a_2}.b_2,...,2^{a_{n+1}}.b_{n+1}$ với $b_1,b_2,...,b_{n+1}$ là các số lẻ
Lại có trong dãy $1,2,...,2n$ chỉ có $n$ số lẻ
Vậy theo Dirichlet tồn tại 2 số $b_i=b_j(i \neq j,1 \leq i,j \leq n+1)$
Do đó trong 2 số $2^{a_i}.b_i,2^{a_j}.b_j$ có 1 số là bội của số kia
Chứng minh hoàn tất!!!!
@: Sorry nha vì đã bon chen qua box THCS ( do thấy bài này ngứa tay chân quá!!! )

Thanks Mashimaru !!!! Nice solution!!!!!
Em thì chỉ có một lời giải là dùng trục đẳng phương và tâm đẳng phương cho bài này thui!!!!!

Chế cũng được nhưng ít ra cũng phải có cái yêu cầu chứ anh? Giải phương trình nghiệm nguyên à???

Anh Mashimaru sao lại gọi em bằng "anh" ???? Là em đây mà ,đàn em PTNK, nick yahoo nguoivodanh852007(bạn của Khoa)
Bài này đúng là giải phương trình nghiệm nguyên( em quên gõ ấy mà )

Mình cũng dăng kí một vé
1. Tên đầy đủ : Đỗ Mai Anh Tú
2. Nick trên diễn đàn : no_name93(là thành viên mới )
3. Đối tượng : Học sinh
4. Trường : PTNK ĐHQG TP HCM
5. Nguyện vọng : là đàn em nhưng cũng liều đi thử , mong được học hỏi nhiều điều từ các đàn anh, và có thể rinh về nhà nhiều tài liệu hay

Cho $\Delta ABC$. Bên ngoài tam giác vẽ các tam giác cân $BCD,CAE,ABF$ có cạnh đáy tương ứng là $BC,CA,AB$. Chứng minh 3 đường thẳng vuông góc kẻ từ $A,B,C$ tương ứng xuống $EF,FD,DE$ đồng quy

Bài mình chế ngoại hình thì kém nhưng chất lượng cũng tạm ổn , mọi người giải thử xem!!!
Giải phương trình nghiệm nguyên:
$8((a!)!-a^2+b^2)=(a+b)^3$

Bài toán 1:
Chứng minh rằng không thể cắt ra 5 hình tròn bán kính 1 cm từ hình vuông có cạnh dài 4,8 cm
Bài toán 2:
Trong 1 hình vuông cạnh 8cm có 32 điểm . Chứng minh rằng tồn tại 2 điểm có khoảng cách tới nhau nhỏ hơn 2

Em là thành viên mới, post bài này nếu có múa rìu qua mắt thợ thì cũng mong mọi người đừng chê cười ạ!!!!
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xy+yz+zx=1$.Chứng minh:
$\dfrac{1}{1+xy+z^2}+\dfrac{1}{1+yz+x^2}+\dfrac{1}{1+zx+y^2} \leq \dfrac{9}{5}$