Chứng minh các đẳng thức sau:
$2) 2^nC_{n}^{0}+2^{n-1}.7^1C_{n}^{1}+...+2.7^{n-1}C_{n}^{n-1}+7^{n}C_{n}^{n}=9^n$

$2^nC_{n}^{0}+2^{n-1}.7^1C_{n}^{1}+...+2.7^{n-1}C_{n}^{n-1}+7^{n}C_{n}^{n} = \sum_{k=0}^n C_n^k.2^{n-k}.7^k = (2+7)^n = 9^n$

$a^3-a^2=a^2(a-1) \le 0$ là hiển nhiên mà

Cho a,b,c dương thỏa a+b+c=1cmr
$\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{2b}{2+b}+\dfrac{3c}{3+c}\leq \dfrac{6}{7}$

đặt $S =\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{2b}{2+b}+\dfrac{3c}{3+c}$
có $6- S = 1 - \dfrac{a}{1+a}+ 2-\dfrac{2b}{2+b}+3-\dfrac{3c}{3+c}=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{4}{2+b}+\dfrac{9}{3+c} \overset{C-S}\ge \dfrac{(1+2+3)^2}{1+2+3 +a+b+c} = \dfrac{36}{7}$
suy ra $S \le \dfrac67$

dấu đẳng thức khi $a=1/6, b=1/3, c=1/2$

mình có thử giải ở đây rồi mà?

http://diendantoanho...52

a, xác suất chọn hộp loại 1 là 2/5
xác suất chọn viên trắng là 3/5
xác suất chọn đc viên trắng ở hộp loại 1 là 6/25

xác suất chọn hộp loại 2 là 1/5
xác suất chọn viên trắng là 1/2
xác suất chọn đc viên trắng ở hộp loại 2 là 1/10

xác suất chọn hộp loại 3 là 2/5
xác suất chọn viên trắng là 3/8
xác suất chọn đc viên trắng ở hộp loại 3 là 3/20

xác suất chọn đc viên trắng là 6/25+1/10+3/20 = 49/100

b, 1/10


Mình giải theo cách nghĩ của mình, không biết có sai không nữa.

*nhận xét sai* :">
thành thật xin lỗi ạ.

à đề sai ở cái căn dưới cùng ý, nó là $\sqrt2+1$ chứ ko phải $\sqrt{2+1}$

Nếu đã chọn được điểm rơi $x=\dfrac{5}{2}$ thì có thể tách như sau:

$S=x^2 - 5x + \dfrac{25}{4} +4x -8 +\dfrac{7}{4} +\dfrac{1}{x-2}= (x-\dfrac{5}{2})^2 +4(x-2)+\dfrac{1}{x-2} +\dfrac{7}{4} \ge 0 + 4 + \dfrac{7}{4} = \dfrac{23}{4}$

Dấu đẳng thức khi $x=\dfrac{5}{2}$

Cho biểu thức B=$\left ( 4x^{5} +4x^{4}-5x^{3}+5x-2\right )^{2}+2008 $.Tính giá trị của B khi x=$\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$

Bạn type nhầm đề rồi kìa.
Cách làm hơi bựa tí


$x=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}=\dfrac{1}{2}.\sqrt{\dfrac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{{(\sqrt{2}+1})(\sqrt{2}-1)}}$
hay $x=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$

ta có $x(x+1)=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}.\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}=\dfrac{1}{4}$
$4x^3-5x=4.\dfrac{5\sqrt2-7}{8}-\dfrac{5\sqrt2-5}{2}=-1$

Từ đó ta có $x(x+1)(4x^3-5x+5)=(\dfrac{1}{4})(-1+5)=1$
Khi đó $B=\left ( 4x^{5} +4x^{4}-5x^{3}+5x-2\right )^{2}+2008 = \left ( x(x+1)(4x^3-5x+5)-2\right )^{2}+2008 = \left ( 1-2\right )^{2}+2008 = 2009$

Lời giải nhé:

$LHS + 14 = \dfrac{a}{b+c}+ 1+\dfrac{4b}{c+a} + 4 + \dfrac{9c}{a+b } + 9 = (a + b + c)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b})$
$= \dfrac{1}{2}(a + b + b + c +c +a)( \dfrac{1}{b +c} + \dfrac{4}{a + c} + \dfrac{9}{a + b})\ge \dfrac{1}{2}(1 + 2 + 3)^2 =18$

$\Rightarrow LHS \ge 4$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $b+c=1, a+c=2, a+b=3$ hay $a=2,b=1,c=0$

Một lời giải rõ ràng, đầy đủ alex_hoang nhé. Đáp án cuối cùng đâu. Mình hy vọng ai có thể tìm một lời giải không biểu diễn nghiệm dưới dạng lượng giác vì mục đích của mình là như thế. Thân!

Bạn có tìm ra nghiệm này chưa?
Như mình thử trên WolfAlpha thì nó ra nghiệm khủng lắm

dạ cho em hỏi cách làm dạng tóan hàm số chẵn/lẻ mà trong biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối là ntn ạ?vd như xét tính chằn/lẻ của hàm số:
y= (trị tuyệt đối của x-2)-x
mong các anh/chị giúp em sớm ạ.em cảm ơn mọi ng nhìu

Xét hàm f(x) thì ta tính f(-x) rồi so sánh,
Nếu $f(-x)=-f(x)$ thì f(x) là hàm lẻ
Nếu $f(-x)=f(x)$ thì f(x) là hàm chẵn.

Vd trên, $f(-x)=|x+2|+x$, không chẵn không lẻ.

$f(x) = |x| +x^2$
$f(-x) = |x| +(- x)^2 $
thì f(x) là hàm chẵn.

Nhờ các bạn ^^

1)Cho tam giác $ABC$.
Áp dụng: $cosA+cosB+cosC \le \dfrac{3}{2}$ để chứng minh:
$(1+a+b-ab).cosC+(1+b+c-bc).cosA+(1+a+c-ac).cosB \le 3$

2) Gọi $AA_1,BB_1,CC_1$ tương ứng là phân giác trong của tam giác $ABC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó tại $A_2,B_2,C_2$. CMR:
$\dfrac{AA_1}{AA_2}+\dfrac{BB_1}{BB_2}+\dfrac{CC_1}{CC_2} \le \dfrac{9}{4}$

3) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;R)$.Gọi $R_1,R_2,R_3$ tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OBC,OCA,OAB$. CMR:
$R_1+R_2+R_3\ge3R$

Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số m(x) trên $ \left[ {0; + \infty } \right) $

$ \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{{\rm{u}} \ge {\rm{0}}} m(x) = m(1) = 2;\mathop {\min }\limits_{u \ge 0} m(x) = m(0) = 0 $

Giải thích kĩ cho em hai dòng này với ạ. Em không hiểu lắm.

uầy mình chưa giải được =)

mình ngu hình lắm, bài này lại hơi khó X_X

Cho tam giác $ABC$, đường cao $AH$. Điểm $M$ bất kì trên $AH$. Kẻ $BM,CM$ cắt $AC,AB$ lần lượt ở $E,F$. Từ $M$ kẻ các đường vuông góc với $BE,CF$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $L,K$. Chứng minh $LK \parallel BC$

Nếu là $a^3-13a+12$ thì nó bằng $(x-3)(x-1)(x+4)$

Đề bài:
Cho $x, y, z > 0$ và $xyz = 1$. Tìm GTLN của:
$\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}$
Mng giúp mình với nhé!

Ta có $x^3+y^3 \ge x^2y+y^2x$
$\Leftrightarrow (x-y)^2.(x+y) \ge 0$ - luôn đúng

Do đó $x^3+y^3+1 \ge x^2y+y^2x+xyz =xy(x+y+z) $
$\Rightarrow \dfrac{1}{x^3+y^3+1} \le \dfrac{1}{xy(x+y+z)} = \dfrac{z}{x+y+z}$

Tương tự rồi cộng các vế 3 bđt sẽ có $\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1} \le 1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Cho các số thực $a,b,x,y$ thỏa mãn điều kiện $ax-by=\sqrt{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$F=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay$

(Olympic 30-4 năm 2007)

Lời giải. Biểu thức $F$ viết lại dưới dạng như sau:
$F=(x+\dfrac{b}{2})^2+(y+\dfrac{a}{2})^2+\dfrac{3}{4}(a^2+b^2)$

Đặt $M(x,y), A=(\dfrac{-b}{2},\dfrac{-a}{2})$ và $(D):ax-by=\sqrt{3}$

Như vậy, ta có:
$MA^2=(x+\dfrac{b}{2})^2+(y+\dfrac{a}{2})^2$

Mà $M\in (D)$ nên $MA^2 \geq [d(A;D)]^2=\dfrac{3}{a^2+b^2}$. ( Đẳng thức xảy ra khi $M$ là hình chiếu của $A$ trên $(D)$)

Suy ra $ F \geq \dfrac{3}{a^2+b^2}+\dfrac{3}{4(a^2+b^2)} \geq 2\sqrt{\dfrac{3}{a^2+b^2}.\dfrac{3}{4(a^2+b^2)}}=3$


Vậy $minF=3$ đạt được khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}(a^2+b^2)^{2}=4\\ax-by=\sqrt{3}\\b(x-\dfrac{b}{2})+a(y-\dfrac{a}{2})=0\end{array}\right.$

Chẳng hạng với $(a,b,x,y)=(\sqrt{2},0,\dfrac{\sqrt{6}}{2}, \dfrac{ \sqrt{2} }{2})$


Lời giải từ mathscope: http://forum.mathsco...hread.php?t=494

Có đôi chỗ không hiểu lắm, như là bước cuối để suy ra $F \ge 3$

Vậy thì có lẽ đề bài là a,b,c > 1 chăng?
Bạn chủ topic không nói rõ..

1 dạng gần giống là $a\sqrt[n]{af(x) - b} = f^n(x) +b$
rồi đặt $\sqrt[n]{af(x) - b} = t$

Chắc là phải thử dạng thôi chứ không có cách biến đổi nhanh. Có lẽ làm nhiều thật nhiều sẽ quen với các phương trình gần gióng nhau ^^

chứng minh
$ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y} $
$(x,y \geq 0)$

$x,y>0$ chứ không bằng 0 được
1. Biến đổi tương đương:

$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x+y}$
$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy} \ge \dfrac{4}{x+y}$
$\Leftrightarrow (x+y)^2 \ge 4xy$ (vì 2 vế dương nên nhân chéo đc)
$\Leftrightarrow (x-y)^2 \ge 0$ (luôn đúng)

2. AM-GM.
Các số dương nên ta có

$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{2}{\sqrt{xy}}$
$x+y \ge 2\sqrt{xy}$

Nhân từng vế có $(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y})(x+y) \ge 4$
Suy ra đpcm

3. Cauchy-Schwarz:
Áp dụng với 2 bộ 2 số $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{y}$ và $x,y$

Có: $(\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y})(x+y) \ge (\dfrac{1}{\sqrt{x}}.{\sqrt{x}}+ \dfrac{1}{\sqrt{y}}.\sqrt{y})^2 = 2^2 = 4$

Suy ra đpcm

4. Schwarz:
Áp dụng với 2 bộ 2 số $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{y}$ và $x,y$

$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{(1+1)^2}{x+y} = \dfrac{4}{x+y}$


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y


====
gõ xong mới thấy 2 bài trên =( :sorry:

điều kiện của x,y là gì?

tính giá trị biểu thức sau
$A=\dfrac{1}{1+ \sqrt{2} } + \dfrac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{3} } + \dfrac{1}{ \sqrt{3}+ \sqrt{4} } +....+ \dfrac{1}{ \sqrt{2006} + \sqrt{2007} } + \dfrac{1}{ \sqrt{2007}+ \sqrt{2008} }$

bạn có nhiều bài tập quá nhỉ
Trước tiên chứng minh $\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}= \sqrt{a+1}-\sqrt{a}$

Có điều trên do $\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}= \dfrac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{a+1-a}$ (pp nhân liên hợp)

Do đó $A= \sqrt{2}-1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + .... + \sqrt{2008}-\sqrt{2007} = \sqrt{2008}-1$

t đấy chỉ là cách gọi ẩn của phương trình thôi.
t ở đây chính là a,b đó. Nghiệm của phương trình ẩn t là a,b mà.

Lớp 9 là phải học định lí Vi-ét rồi chứ nhỉ.