Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện Triệu Sơn
Năm học 2014-2015
Môn thi: Toán 9Câu 1:
Cho $P= \left ( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} +\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right ):\frac{\sqrt{x}-1}{2}$
1. Rút gọn P
2. Chứng minh $0<P\leq 2$
Câu 2:
1 Giải phương trình $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\frac{x+8}{5}$
2. Giả sử x.y,z là các số thực khác 0 thoả mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$ và $x\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )+y\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{z}\right )+z\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}\right )=-2$
Tính $P= \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
3. CMR với các số dương a,c,c bất kỳ, ta có: $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\leq \frac{a+b+c}{2}$
Câu 3:
1 tìm các số nguyên x,y thoả mãn $x^{2}+2y^{2}+2xy+3y-4=0$
2. Cho $A=k^{4}+2k^{3}-16k^{2}-2k+15$ với K thuộc Z. Tìm đk của k để A chia hết cho 16
Câu 4
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ EH vuông góc AB ( E thuộc AB), HF vuông góc AC( F thuộc AC).
a) Chứng minh AE.AB=AF.AC
b) Qua A kẻ AI vuông góc EF ( I thuộc BC). Chứng minh I là trung điểm của BC.
c) CMR: Nếu $S_{ABC}=2S_{AEHF}$ thì ABC là tam giác vuông cân.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có $\angle B=20^{0}$. Kẻ phân giác BI ( I thuộc AC), vẽ $\angle ACH=30^{0}$ ( H thuộc AB). Tính $\angle CHI$
Câu 5:
Cho 3 số thực không âm x,y,z thoả mãn x+y+z=1
Tính GTNN của biểu thức $P= x^{3}+y^{3}+\frac{1}{2}z^{3}$
2.3 : Ta có :$\frac{4ab}{a+b}\leq \frac{(a+b)^{2}}{a+b}= a+b$
chứng minh tương tự :
$\frac{ab}{a+b}+\frac{ac}{a+c}+\frac{bc}{b+c}\leq \frac{2(a+b+c)}{4}= \frac{a+b+c}{2}$
(dấu = xảy ra khi a=b=c)