1 ý nhỏ trong bài toán n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ.
Với mỗi cách lấy k bức thư từ n bức, có (n-k)! cách để bỏ k lá thư này đúng địa chỉ.
 
Em nghĩ mãi mà không hiểu được chỗ này, mọi người giúp em với ạ

Bỏ k lá thư đúng địa chỉ: chỉ có duy nhất 1 cách;còn lại n-k bức thư thì có (n-k)! cách bỏ lá thư vào phong bì.Do đó, có 1x(n-k)!cách bỏ k lá thư đúng địa chỉ.

có bao nhiêu cách xếp 5 đôi tất trên 1 dây phơi, sao cho 2 chiếc cùng đôi không được đặt cạnh nhau (2 chiếc cùng 1 đôi coi như giống nhau).

Áp dụng nguyên lý bù trừ ta có số cách xếp 5 đôi tất thỏa yêu cầu :
$$ \begin{align*}
N&=\frac {10!}{2!^5}-\frac{\binom{5}{1}9!}{2!^4}+\frac {\binom{5}{2}8!}{2!^3}\\
&-\frac{\binom{5}{3}7!}{2!^2}+\frac {\binom{5}{4}6!}{2!}-\binom{5}{5}5!\\&=113400-113400+50400\\
&-12600+1800-120\\
&=\boldsymbol {39480}
\end{align*}$$
$\bullet\; $Cách khác :
Nếu ta xem mỗi đôi tất là 1 cặp chữ cái thì bài toán đã cho tương đương với bài toán:
Từ các chữ cái $a,a,b,b,c,c,d,d,e,e$ ta có thể lập được bao nhiêu từ smirnov?
( N.B.: Smirnov words ( hay Carlitz words ) là các từ mà trong đó các chữ cái giống nhau không đứng ở vị trí liên tiếp).
Giải :
Ta có hàm sinh cho số smirnov words :$$f=\begin{align*} \left(1-\frac{az}{1+az}-\frac{bz}{1+bz}-\frac{cz}{1+cz}-\frac{dz}{1+dz}-\frac{ez}{1+ez}  \right)^{-1} \end{align*}$$
Với sự trợ giúp WA, ta có đáp án :
$$[z^{10}a^2b^2c^2d^2e^2]f=\boldsymbol {39480}$$

...và bài này nữa.

1/ Có bao nhiêu cách xếp 5 viên bi đôi một khác nhau vào 3 cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )
2/ Có bao nhiêu cách xếp $m$ viên bi đôi một khác nhau vào $n$ cái hộp đôi một khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên bi ( không kể thứ tự các viên bi )

Cách khác :
1/ Ta có hàm sinh :$$ f(x)=\left ( e^x-1 \right )^3=e^{3x}-3e^{2x}+3e^x-1=\sum_{m\geq0}\left ( 3^m-3.2^m+3 \right )\frac {x^m}{m!}-1$$ Với m=5 ta có :
$3^5-3.2^5+3=150$
2/ Từ công thức tính số Sterling loại hai $S(m,n)$ ta suy ra số cách xếp thỏa yêu cầu là :
$$n!S(m,n)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom {n}{k}k^m$$

Mình cảm ơn LG của bạn. Mình có giải cáh khác nhưng lại không trùng đáp án mong bạn xem giúp với

Mình hiểu ý của bạn là :" Bài giải của mình thấy cũng hợp lý nhưng sao không đúng đáp án, nhầm lẫn chỗ nào đây? ".
OK, mình xin góp ý kiến như sau :
Trước hết mời bạn xem ví dụ nhỏ :
Có bao nhiêu cách chia 5 bạn a,b,c,d,e thành:
a/ 2 đội A và B mỗi đội 2 bạn.
b/ 2 nhóm ( không phân biệt) , mỗi nhóm 2 bạn.
Giải :
a/ Có $C_{5}^{2}.C_{3}^{2}$ cách.
b/ Vì 2 nhóm là không phân biệt nên ta phải chia kết quả trên cho $2!$ tức là có $\frac {C_{5}^{2}.C_{3}^{2}}{2!}$ cách.
Bạn đồng ý với lời giải này chứ?
Rồi, ta trở lại bài toán.
TH1: bạn chọn 2 nam cho vị trí thứ nhất :$C_{5}^{2}$, rồi chọn 2 nam cho vị trí thứ hai :$C_{3}^{2}$ , sau đó bạn hoán vị 3 vị trí :$3!$. Như vậy bạn đã tính trùng lặp : đã phân biệt vị trí thứ nhất và thứ hai rồi lại hoán vị nữa! Do đó theo câu b/ của ví dụ thì phải chia cho $2!$ tức là $\frac {C_{5}^{2}.C_{3}^{2}.3!}{2!}$ .
Đọc tới đây, chắc bạn cũng thắc mắc :" Ở TH2, cũng chia làm 2 vị trí, mỗi vị trí là 1 bạn lại không chia cho $2!$ mà kquả ở TH này lại đúng? ".
Vâng, TH2 đúng vì khi bố trí 2 bạn vào 2 vị trí này bạn đã không phân biệt vị trí thứ nhất và  vị trí thứ hai ( nếu phân biệt, bạn sẽ chọn $C_{2}^{1}$ bạn vào vị trí thứ nhất và $C_{1}^{1} $ bạn vào vị trí thứ hai).
Trên đây là ý kiến của mình về việc bạn đã tính trùng lặp và trùng lặp ở chỗ nào...
Mong rằng ý kiến này phần nào giải đáp thắc mắc của bạn.

Nói nôm na, có bao nhiêu cách đổi một số tiền $n$ ngàn đồng bằng các tờ $1000, 2000$ và $5000$

Theo đề bài, $n$ là số nguyên dương nên em nghĩ là nó không những là số tròn ngàn, tròn trăm, tròn chục...mà còn hơn thế nữa, nói chung là một số nguyên dương bất kỳ...

1/Xét phương trình $x_1+2x_2+5x_3=n$ với số nguyên $n\geq 1,x_i\geq 0.$ Hãy viết biểu thức $h(n)$ tính số bộ nghiệm nguyên thỏa phương trình trên.
2/ Hãy kiểm chứng rằng $19^{93}-13^{99}$là một số nguyên dương chia hết cho $81.$

2/ Một lời giải có dính dáng tí xíu đến tổ hợp :
$\begin {align*}
19^{93}=(1+6\cdot3)^{93}&\equiv 1+\binom{93}{1}(6\cdot3)^1+\binom{93}{2}(6\cdot3)^2\\
&\equiv 1+31\cdot2\cdot3^3\\
&\equiv\boldsymbol{ 55\pmod {3^4}}\\
13^{99}=(1+4\cdot3 )^{99}&\equiv 1+\binom{99}{1}(4\cdot3 )^1+\binom{99}{2}(4\cdot3 )^2\\
&\equiv 1+11\cdot4\cdot3^3\\
&\equiv \boldsymbol {55\pmod{3^4}}
\end{align*}$

1/ Ta có hàm sinh :
$\begin {align*}
f(x)&=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)}\\
&=\frac{(1+x+...+x^9)(1+x^2+...+x^8)(1+x^5)}{(1-x^{10})^3}\\
&=(1+x...+x^9)(1+x^2+...+x^8)(1+x^5)\sum_{k\geq 0}\binom{k+2}{2}x^{10k}
\end {align*}$
Cho nên :
$h(n)=
\begin{cases}
\binom{\frac{n}{10}+2}{2}+7\binom{\frac{n}{10}+1}{2}+2\binom{\frac{n}{10}}{2} \quad\quad\quad\quad n\equiv 0\pmod {10}\\
\binom{\frac{n-1}{10}+2}{2}+8\binom{\frac{n-1}{10}+1}{2}+\binom{\frac{n-1}{10}}{2}\quad\quad\quad n\equiv 1\pmod {10}\\
2\binom{\frac{n-2}{10}+2}{2}+7\binom{\frac{n-2}{10}+1}{2}+\binom{\frac{n-2}{10}}{2}\quad\quad n\equiv 2\pmod {10}\\
2\binom{\frac{n-3}{10}+2}{2}+8\binom{\frac{n-3}{10}+1}{2}\quad \quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 3\pmod {10}\\
3\binom{\frac{n-4}{10}+2}{2}+7\binom{\frac{n-4}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 4\pmod {10}\\
4\binom{\frac{n-5}{10}+2}{2}+6\binom{\frac{n-5}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 5\pmod {10}
\end{cases}$
(còn tiếp...
...tiếp theo )
$h(n)=
\begin {cases}
5\binom{\frac{n-6}{10}+2}{2}+5\binom{\frac{n-6}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 6\pmod {10}\\
6\binom{\frac{n-7}{10}+2}{2}+4\binom{\frac{n-7}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 7\pmod {10}\\
7\binom{\frac{n-8}{10}+2}{2}+3\binom{\frac{n-8}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 8\pmod {10}\\
8\binom{\frac{n-9}{10}+2}{2}+2\binom{\frac{n-9}{10}+1}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad n\equiv 9\pmod {10}\\
\end {cases}$

PS: Mặc dù rất cố gắng, nhưng liên tục bị báo lỗi. Chịu! Mất quá nhiều thì giờ...

Gọi $S_n$ là số lượng xâu nhị phân có có độ nài $n$ trong đó tồn tại ít nhất 1 xâu con $01$. Tìm hệ thức truy hồi của $S_n$.

Các xâu thỏa đề bài chỉ có 2 dạng:
- xA: với A là xâu thỏa đề bài dài n-1 bít, do x có thể là 0 hoặc 1 $\rightarrow$ số xâu dạng này là $2S_{n-1}$.
- 01B: với B là xâu dài n-2, không chứa xâu con 01$\rightarrow$ số xâu dạng này là $2^{n-2}-S_{n-2}$.
Vậy ta có HTTH:
$S_{n}=2S_{n-1}-S_{n-2}+2^{n-2}$, giá trị khởi tạo $ S_{1}=0, S_{2}=1 $.
Nhận xét : các xâu không thỏa đề bài phải có dạng 111....000, nên $S_{n}=2^{n}-(n+1)$.

Nhận thấy vì có 4 đại biểu nên sẽ có 2 đại biểu (đb) thuộc cùng 1 nước .
- Cả 4 đb là nam : có $C_{4}^{2}\left(C_{5}^{1}\right)^2+2C_{4}^{1}C_{5}^{2}C_{5}^{1}$
- Cả 4 đb là nữ: có $3C_{2}^{2}\left(C_{2}^{1}\right )^2$
Số cách chọn 4 đb thỏa yêu cầu là :
$C_{20}^{4}-\left[C_{4}^{2}\left(C_{5}^{1}\right )^2+2C_{4}^{1}C_{5}^{2}C_{5}^{1}+3C_{2}^{2}\left (C_{2}^{1}\right )^2\right]$

cho X là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số. xác xuất để tìm đc số với các chữ số đứng sau lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước và 3 chữ số ở giữa đôi 1 khác nhau .

Nếu các số có dạng $\overline{abcde}$ thì theo đề bài ta có
$$1\leq a\leq b<c<d\leq e \leq 9\Leftrightarrow 1\leq a< b+1<c+1<d+1< e+2 \leq 11$$
Do đó XS cần tính là :
$$\frac {\binom {11}{5}}{9\cdot10^4}=\frac {462}{90000}=\frac {77}{15000}$$

1/ Một bãi đậu xe có một hàng 12 chỗ đậu liền kề nhau. Hiện có 9 xe con đậu trong bãi. Sau đó có 1 xe khách đến. Hỏi xác suất để xe khách này đậu được trong bãi biết rằng mỗi chỗ chỉ đậu được 1 xe con và xe khách cần 2 chỗ đậu trống kề nhau.
2/ Hộp đựng 2 bi đỏ , 3 bi xanh , 4 bi vàng, tất cả đều khác nhau đôi một. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn 3,4,5,6 bi sao cho các bi ở mỗi cách chọn có đủ 3 màu.
3/ Có bao nhiêu cách xếp 11 cuốn sách khác nhau vào kệ sách có 3 ngăn sao cho nhiều nhất là 1 ngăn trống.

1/ Một cách lập luận khác :
TH1: 3 chỗ trống kề nhau : ghép lại thành một "chỗ đậu lớn" :$\frac {10!}{9!}=10$ cách đậu xe
TH2: giữa 3 chỗ trống (được phân làm hai) có ít nhất 1 chỗ đã có xe đậu: ta loại chỗ có xe đậu này đi thì ta có $\frac {(2+8)!}{8!}=90$ cách đậu xe
Vậy XS cần tìm là :
$\frac {10+90}{C_{12}^{9}}=\frac {5}{11}$
2/ Cách khác : dùng hàm sinh.
Hàm sinh cho số cách chọn bi đỏ : $2x+x^2$
Hàm sinh cho số cách chọn bi xanh : $3x+3x^2+x^3$
Hàm sinh cho số cách chọn bi vàng : $4x+6x^2+4x^3+x^4$
Vậy ta có :
$f(x)=(2x+x^2)(3x+3x^2+x^3)(4x+6x^2+4x^3+x^4)=(6x^2+9x^3+5x^4+x^5)( 4x+6x^2+4x^3+x^4) $
Xét các hệ số của số hạng chứa $x^3,x^4,x^5,x^6$ trong khai triển của $f(x)$:
$(4.6)x^3+(9.4+6.6)x^4+(6.4+9.6+5.4)x^5+(6.1+9.4+5.6+1.4)x^6$
$\Longrightarrow 24+72+98+76= 270$
3/ Cách lập luận khác :
Giả sử ta có 2 cuốn sách giống hệt nhau dùng làm vách ngăn.
Số cách xếp 11 cuốn sách và 2 vách ngăn là :
$\frac {13!}{2!}$
Số cách xếp 11 cuốn sách sao cho có 2 ngăn trống là :
$3.11!$
Số cách xếp thỏa yêu cầu là :
$\frac {13!}{2!}-3.11!=(\frac {1}{2}.13.12-3)11!=75.11!$

1/ Tung n con xúc xắc. Tính xác suất để tích các số xuất hiện trên n con xúc xắc là một số chính phương.
2/ Tung 10 con xúc xắc giống hệt nhau. Hỏi có bao nhiêu cách để tổng các số xuất hiện là một số chẵn.

1/ Một đoàn tàu 4 toa tiến vào ga . Tại ga có 7 ng` chờ tàu . Giả sử mọi ng` lên các toa 1 cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau . Tính xs để toa nào cũng có ng` lên ?

2/ Tại 1 địa phương ng` ta thống kê có 7 vụ tai nạn giao thông trong 1 tuần . Tính xs để mỗi ngày trong tuần đó có đúng 1 vụ tai nạn giao thông xảy ra

Gọi A là biến cố cần tính xác suất.
1/ Mỗi người có 4 cách lên tàu nên theo nguyên lý bù trừ ta có :
$$n(A)=4^7-\binom{4}{1}3^7+\binom{4}{2}2^7-\binom{4}{3}1^7\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{4^7}$$
2/ Tương tự, mỗi tai nạn có thể xảy ra vào một trong 7 ngày ( nôm na là mỗi tai nạn có 7 cách chọn ngày) :
$$n(A)= 7^7-\binom{7}{1}6^7+\binom{7}{2}5^7-\binom{7}{3}4^7+\binom{7}{4}3^7-\binom{7}{5}2^7+\binom{7}{6}1^7
\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{7^7}$$

1/ Em đề nghị thêm : " Dễ thấy $p\neq 0$ và $p\neq 1 $ nên chia 2 vế cho $p(1-p)...$
2/ Lập luận khác :
Tiến hành rút thì xác suất để A, B, C rút được lá cơ lần lượt là $1/4, \,3/4\cdot 1/4,\, (3/4)^2\cdot 1/4. $ Xác suất cần tìm chính là xác suất tương đối để B rút được lá cơ :
$\frac {3/4\cdot 1/4 }{ 1/4+ 3/4\cdot 1/4+(3/4)^2\cdot 1/4 }=\frac {12}{37}$

1/ Khi tung đồng xu 4 lần, do chế tạo bị lỗi, người ta thấy rằng xác suất xuất hiện 2 mặt ngửa và 2 mặt sấp (thứ tự bất kỳ) và xác suất xuất hiện 3 mặt ngửa và 1 mặt sấp (thứ tự bất kỳ) là như nhau.
Vậy thì khi tung đồng xu này 1 lần thì xác suất xuất hiện mặt ngửa là bao nhiêu?
2/ Ba bạn A, B, C chơi 1 trò chơi :lần lượt mỗi bạn (theo thứ tự A, B, C) rút 1 lá bài từ bộ bài 52 lá rồi hoàn lại. Trò chơi kết thúc khi có bạn  rút được lá cơ. Hỏi xác suất để B rút được lá cơ.
3/ Có bao nhiêu số tự nhiên $\overline{abcde}$ sao cho $b=a+c$ và $d=c+e.$
4/ Có bao nhiêu tập con khác trống của $\left \{1,2,...,12  \right \}$ có tính chất tổng phần tử nhỏ nhất và lớn nhất là 13.

_{Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong 1 chiếc hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. xác suất của biến cố:'tích của 2 số trên các thẻ được chọn là 1 số chia hết cho 3"} 

Số các số (từ 1 đến 20) không là bội của 3 :
$20-\left \lfloor \frac{20}{3} \right \rfloor=14$
XS cần tìm là :$1-\frac{C_{14}^2}{C_{20}^2}$

Em có linh cảm là $B$ có XS thắng lớn hơn! $\left (P(B)\approx 0,5967 \right )$

Theo ràng buộc của bài toán ta có hàm sinh cho số cách lên tàu là :
$f(x)=\left (x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}\right )^4\\
\Longrightarrow 6!\left [ x^6 \right ]f(x)= 
\left [ x^6 \right ]\left ( ...+7560x^7+1560x^6+240x^5+...\right)$
Vậy số cách lên tàu thỏa yêu cầu là  $1560$ cách
Suy ra XS: $\frac {1560}{4^6}=\frac {195}{512}$
Hoặc áp dụng nguyên lý bù trừ, số cách lên tàu là :
$4^6-4\cdot 3^6+6\cdot 2^6-4\cdot 1^6=\boldsymbol {1560}$

Làm tương tự bài này nhé :
https://diendantoanh...-khách-lên-tàu/

Có gì sai hả anh ?

Anh giải ra được không ?

Dễ thấy số đũa "zin" tối đa là 20 chiếc ( lấy ra 10 chiếc xài hoài; cất tủ 20 chiếc, khóa lại).
-Từ " ít nhất 10 chiếc zin" đến "nhiều nhất 20 chiếc zin"-->có $11$ "khả năng thuận lợi ".
- Trong khi đó, có thể giữ từ 0 đến 20 chiếc đũa còn "zin " --> có $21$ "khả năng có thể có ".
Vậy XS cần tìm là :$\frac {11}{21}$

Em lướt diễn đàn thấy có bài xác xuất hay. Ai giải quyết mấy cái đũa ik 

Mình nghĩ XS là $\frac{11}{21}$.

1/Trò chơi thứ nhất:  Bạn chọn ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài  52 lá. Nếu bạn rút được một con Xì, bạn hoàn toàn giành chiến thắng.  Nếu không, bạn nhìn vào giá trị của lá bài (K, Q và J được tính là 10), nếu con số là 7 hoặc ít hơn, bạn sẽ thua hoàn toàn.  Các trường hợp khác, bạn sẽ chọn tiếp (ngẫu nhiên, không hoàn lại) số lá bài bổ sung theo giá trị lá bài trước đó. (Ví dụ, nếu lần đầu tiên bạn chọn lá 8, bạn sẽ chọn thêm  8 lá nữa.) Lúc này,  trong 9 lá bài bạn có, nếu ít nhất có  một Xì thì bạn thắng.  Hỏi xác suất bạn thắng trò chơi này là bao nhiêu?
2/Trò chơi thứ hai : Người chơi tung một con xúc xắc.  Nếu anh ta được 3 hoặc ít hơn thì anh ta thua, ngược lại anh ta tiếp tục chọn ngẫu nhiên số lá bài (từ một bộ bài 52 lá) bằng số xuất hiện trên con xúc xắc. Người chơi sẽ thắng nếu cả bốn lá  Xì đều nằm trong số các lá bài đã chọn.
(a) Tính xác suất thắng trong trò chơi này
(b) Một tay trùm cờ bạc nói với bạn rằng anh ta đã chơi trò chơi này một lần và đã thắng.  Hỏi xác suất để anh ta được số 6 trên con xúc xắc là bao nhiêu?

Bài 1 :
Gọi $W$ là biến cố người chơi thắng cuộc.
$P(W)=\frac{1}{13}+\frac{1}{13}.\left ( 1-\frac{C_{47}^8}{C_{51}^8} \right )+\frac{1}{13}.\left ( 1-\frac{C_{47}^9}{C_{51}^9} \right )+\frac{4}{13}.\left ( 1-\frac{C_{47}^{10}}{C_{51}^{10}} \right )\approx 0,341330$.
 
Bài 2 :
a) Gọi $Q$ là biến cố nhận được mặt $4$
           $C$ là biến cố nhận được mặt $5$
           $S$ là biến cố nhận được mặt $6$
           $G$ là biến cố người chơi thắng cuộc.
   $P(Q)=P(C)=P(S)=\frac{1}{6}$
   $P(G/Q)=\frac{C_4^4}{C_{52}^4}=\frac{1}{C_{52}^4}$
   $P(G/C)=\frac{C_4^4C_{48}^1}{C_{52}^5}=\frac{48}{C_{52}^5}$
   $P(G/S)=\frac{C_4^4C_{48}^2}{C_{52}^6}=\frac{1128}{C_{52}^6}$
   $P(G)=P(Q).P(G/Q)+P(C).P(G/C)+P(S).P(G/S)\approx 0,000013$
 
b) Xác suất cần tính là $P(S/G)=\frac{P(S).P(G/S)}{P(G)}\approx 0,714286$.

Chính xác! Rất cám ơn anh đã nhiệt tình hưởng ứng.
Em cũng xin góp chút ý kiến về bài 2, câu a/:
(Để giảm bớt 1 tí khối lượng tính toán), do ta chỉ quan tâm đến 4 lá Xì nên có thể viết :
$P(G/C)=\frac{C_5^4}{C_{52}^4}$
Tương tự :
$P(G/S)=\frac{C_6^4}{C_{52}^4}$
Chỉ có vậy thôi, anh ạ.