1/Tìm Nghiệm nguyên tố:

$x^{y}+1= z$

2/ So sánh

A$= \sqrt{2008}+\sqrt{2009}+\sqrt{2010}$

B$= \sqrt{2005}+\sqrt{2007}+\sqrt{2015}$

p/s: làm rõ ràng giùm mình

THANKS

Tìm chữ số tận cùng của $\begin{bmatrix} (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{48} \end{bmatrix}$

 ( với $\begin{bmatrix} X \end{bmatrix}$ là kí hiêu phần nguyên - số lớn nhất không vượt quá X )

Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=4$

Chứng Minh :

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}> 4$

Ta có :

$\frac{1}{xyz}=\frac{4}{4xyz}=\frac{x+y+z}{4xyz}=\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xz}+\frac{1}{4yz}$

mà $\frac{1}{4xy}>\frac{1}{4xy+z^2}$ chứng minh tương tự với những phân thức còn lại

=> ĐPCM ( dấu = không xảy ra )

gt=> $\overline{aabb}=\overline{xx}.\overline{yy}.\overline{zz}$

=> 1100a+11b $\vdots 1331$

=> 100a+b $\vdots 121 \vdots 11$

=>a+b $\vdots 11$

 mà $1\leq a+b\leq 18$

=> a+b = 11

đặt 100a+b=121k

=>99a+11=121k

=>9a+1=11k $\vdots 11$

=> 9a+1=55 =>a=6 =>b=5

số đó là 6655

(x,y,z)=(5;1;1) và hoán vị

Cho 2 số hữu tỉ a, b thỏa mãn $a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}+2a+2b+1=0$

Chứng minh rằng (1-ab) là bình phương của một số hữu tỉ

gt <=> $ab\left ( a+b \right )^{2}+2(a+b)+1=0$

đặt a+b=x

=> $ab.x^{2}+2x+1=0$

$\Delta' = 1-ab\geq 0$

vì a,b là hai só hữu tỉ => a+b , a.b là các số hữu tỉ

=> $\sqrt{\Delta }$ là số hữu tỉ => ĐPCM

Cho $x,y>0$ sao cho $x+y=1$

Tìm max B= $x^2y^3$

Cho a,b,c>0 sao cho $6a+\sqrt{3b}+\sqrt[3]{2c}=3$

Tìm Min S= $\frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}$

$GT => x^3+x^2+x+1=4y^2+4y+1$

=> $(x+1)(x^2+1)=(2y+1)^2$

Ta có $x^2+x+1=x(x+1)+1$ là số lẻ mà $(x^2+x+1)x \vdots 2$

=> x là số chẵn => x+1, $x^2+1$ là số lẻ

Nếu x+1 và $x^2+1$ không nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯCLN của s+1 và $x^2+1$

 => $\begin{Bmatrix} x+1\vdots d\\ x^2+1\vdots d \end{Bmatrix}$

$x(x+1)\vdots d$ => $x^2+x\vdots d$ => $2\vdots d$

=> d=1;2

mà x+1, $x^2+1$ là số lẻ => d=1

Giải nghiệm nguyên tích như bình thường =>(x;y)=(0;-1);(0;0)

GT=> $a^{2000}(a-1)+b^{2000}(b-1)=0$ => $b^{2000}(b-1)=-a^{2000}(a-1)$

Lại có:  $a^{2000}(a-1)(a+1)+b^{2000}(b+1)(b-1)=0$

=> $a^{2000}(a-1)(a+1-1)=0$

=> a=0;1

a=0 (loại) (a,b >0 )

a=1 => b=1 ( loại b=0 )

=> S=2

cách này đã được trình bày trong sách của Vũ Hữu Bình rồi ( hơi khó hiểu )

có  cách nào khác không ?

2. $y=\left | x-1 \right |+\left | x-3 \right |$

Vẽ đồ thị : chia thành 3 TH ( có giới hạn )

$y=\left | x-1 \right |+\left | 3-x \right |\geq \left | x-1+3-x \right |=2$

min y= 2

Dấu = xảy ra khi $(x-1)(3-x)\geq 0$

<=> $1\leq x\leq 3$

Ta có : $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+ac+bc}$

$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{(ab+ac+bc)}+\frac{1}{(ab+ac+bc)} \geq\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}= \frac{9}{(a+b+c)^2}=9$ (*)

$\frac{21}{3(ab+ac+bc)}\geq \frac{21}{(a+b+c)^2}=21$ (**)

Cộng (*)+(**) => $P\geq 21+9=30$

dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cho phương trình $x^{4}+bx^{3}+x^{2}+bx+1=0$. Tìm b để phương trình có không ít  hơn 2 nghiệm âm phân biệt

Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế cho $x^{2}$

ta được $x^2+bx+1+\frac{b}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

Đặt $x+\frac{1}{x}=a$

=> $a^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$

=> Pt <=> $a^2+ab-1=0$

Tính a theo b bằng $\Delta$

Giới hạn a bằng pt $x^2+1=ax$

từ đó giới hạn b

1. $A(\sqrt{2013}+\sqrt{2012})=1$

=> A$= \frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2012}}$

$B(\sqrt{2014}+\sqrt{2013})=1$

=> B$= \frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}$

vì $\sqrt{2012}<\sqrt{2014}$

=> A>B

Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=1$

Chứng minh :

    $\sum \frac{ab}{c+1}\leq \frac{1}{4}$

Sử dụng BĐT   côsi cho 3 số dương ta có

$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(a+c)(b+c)\leq \frac{24(x+y+z)^3}{27}=\frac{8(x+y+z)^3}{9}$

=> ĐPCM

Với $n\epsilon N ,n\geq 2$

Chứng minh A không phải là số nguyên

A= $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n}$

cảm ơn bạn

        d)5x - 3y=2xy -11

 

=>  $x(2y-5)+3y-11=0$

=> $2x(2y-5)+3(2y-5)=7$

=> $(2x+3)(2y-5)=7$

Tìm nghiệm x,y nguyên

Bạn ơi dấu * ở đây nghĩa là dấu gì vậy?

chắc dấu nhân !!!!

Đặt $(x-a)(x-10)+1=(x-b)(x-c)$

<=> $x^2-x(a+10)+10a+1=x^2-x(b+c)+bc$

Đồng nhất hệ số

=>$\left\{\begin{matrix} a+10=b+c\\ 10a+1=bc \end{matrix}\right.$

=> $10b+10c-bc=99$

=> $(b-10)(c-10)=1$

=>(b;c)=(9;9);(11;11)

=> a=8;12

Xét TH :

Với x=0 (loại)

X=1 (TM)

$x\geq 2$

=> $x^{1975}-x=x(x^{1974}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$

$x^{1973}-x^2=x^2(x^{1971}-1)\vdots (x^3-1)\vdots (x^2+x+1)$

$x^2+x+1\vdots (x^2+x+1)$

=> $x^{1975}+x^{1973}+1\vdots x^2+x+1$

mà $x^{1975}+x^{1973}+1\neq x^2+x+1$

=> Loại

Vậy chỉ có một nghiệm là x=1

mình nghĩ chỉ cần dùng những thứ đơn giản thôi

Ta có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 24

=> $n(n+1)(n+2)(n+3)=n^4+6n^3+11n^2+6n\vdots 24$

=> $n^4+6n^3+11n^2+6n+24(n-1)\vdots 24$

=> ĐPCM

Đặt VT=P

Áp dụng BĐT Cauchy-Swart (c/m dựa vào Bđt Bunhiacopki)

$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

$P= \frac{x^{2}}{x^{3}-xyz+2013x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)+(x+y+z)(3xy+3xz+3yz)}= \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}=\frac{1}{x+y+z}$ (đpcm)

Hay dùng BCS cho nhanh bạn à . 

$A^2=(\sqrt{x-2005}+\sqrt{2006-x})^2\geq (1+1)(x-2005+2006-x)= 2.1=2$

=> $A\geq \sqrt{2}$

Dấu = xảy ra khi $\sqrt{x-2005}=\sqrt{2006-x}$ <=> $2x=4011<=>x=\frac{4011}{2}$