Có thể giải bằng cách xét hàm $f(t)=t-\dfrac{1}{t}$.
Dễ thấy $f(t)$ đồng biến với mọi $t$ thuộc tập xác định. Như vậy phương trình đầu của hệ chỉ xảy ra khi $x =y$.
Thay vào phương trình thứ hai ta được
$x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$ suy ra nghiệm $(x,y)$ như em huynhmylinh đã giải

Cách này không ổn, vì hàm số chỉ đồng biến trên từng khoảng xác định, chứ không đồng biến trên toàn TXD. Do đó không thể kết luận $x=y$ (có thể thấy rõ trên đồ thị hàm số này).

 

Ops! Post xong mới thấy bạn hungnp ở trên đã nói điều này rồi...

Đề thi thử Chuyên Lý Tự Trọng khối D năm 2012 có câu Giải PT này, mong ae giúp đỡ:
$$-2x^3+10x^2-17x+8=2x^2.\sqrt[3]{5x-x^3}.$$

Hàng loạt PT trong những kì thi đại học đây các bạn ơi:


6. $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$

Điều kiện $x\ge 2$
PT tương đương với $2(x-3)=3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}$

Với $x\ge 2$ thì $3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}>0$. Nhân đại lượng này (liên hợp vủa VP) vào 2 vế ta được pt tương đương:
$$2(x-3)(3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6})=8(x-3)$$
Từ đó suy ra pt tương đương với $x=3$ hoặc $3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=4$.

Phương trình sau giải bằng cách bình phương 2 vế (2 vế cùng dương).

Hàng loạt PT trong những kì thi đại học đây các bạn ơi:

7. $x^{2}-3x-4=\sqrt{x-1}(x^2-4x-2)$

Điều kiện $x\ge 1$.

Pt tương đương với $(\sqrt{x-1}-1)(x^2-4x-2)=x-2$.

Nhân 2 vế của pt với $\sqrt{x-1}+1>0$ được $(x-2)(x^2-4x-2)=(x-2)(\sqrt{x-1}+1)$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x^2-4x-3=\sqrt{x-1}$.

Phương trình sau đặt $a=\sqrt{x-1}\ge 0$ đưa về $a^4-2a^2-a-6=0\Leftrightarrow (a-2)(a^3+2a^2+2a+3)=0$.

Đến đây OK rồi, chú ý là $a\ge 0$ nhé!

Em cảm ơn thầy Hùng ạ. làm theo cách thầy thì số trang đã dàn về 2 bên lề dưới

 

Tuy nhiên không hiểu sao ở trang đầu của Mục lục nó lại hiện vào chính giữa ạ? (Các trang khác thì dàn vè hai bên như thường)

 

Các trang đầu tiên của mỗi Chương cũng vào chính giữa thầy ạ. Có phải đây là mặc định của Tex không ạ? Có thể khắc phục cho nó về hai phái không ạ?

 

Tiện đây xin thầy giải thích giúp em là hai cái lệnh này nó khác nhau như thế nào ạ:

 

\pagestyle{plain}

 

\pagestyle{fancy}

 

Em cảm ơn thầy nhiều ạ.

Mình soạn sách (dùng lớp books), muốn đánh trang chẵn, lẻ về hai góc của lề duới (trang chẵn ở góc trái, trang lẻ ở góc phải). Nếu để theo mặc định thì nó sẽ đánh số trang ở lề trên, kèm theo là nó hiện ra tên các chương, mục ở lề trên. Hơn nữa, mình muốn ở Mục lục xuất hiện là Chương 1. ... Chương 2. ... Thay vì nó chỉ hiện 1. ... 2. ... Mong mọi người chỉ bảo giúp ạ.

Cảm ơn bạn, tuy nhiên:

1. Khi dùng lệnh  \pagestyle{plain} thì số trang lại vào chính giữa trang, chứ không dàn sang 2 bên.

2. Làm mục lục như vậy, vì chỉ dịch được 1 lần nên chỉ có Chương 1 là hiện ra chữ Chương, còn các chương sau vẫn chỉ có 2,3,... thôii!

(mình dùng Texmaker). Thường thì phải dịch 2 lần trở lên nó mới load hết mục lục được bạn ạ.

Hic... dù sao cũng cảm ơn bạn đã nhiệt tình.

Thầy ơi, ở đây là em vẫn để kiểu trang fancy ngay từ đầu ạ. Nhưng hình như mặc định là trang đầu của mục lục và trang đầu của mỗi chương phải đánh số trang ở giữa hay sao ý ạ.

 

Tại em thấy một số sách nước ngoài họ cũng để như thế.

 

Vì bên Nhà xuất bản muốn đánh số trang như thông thường mà người ta vẫn làm (chỉ có trái và phải) nên em chưa biết làm thế nào ạ.

 

Thầy có cách nào giúp em khắc phục không ạ? (Em dùng lớp book, chọn twoside để căn lề trái phải).

Mình muốn viết chữ hoặc cả công thức Toán (có nhiều dòng) trong một khung có kẻ viền thì phải làm thế nào?

Nếu dùng \fbox thì chỉ được một dòng thôi.

 

Hơn nữa, nếu mình muốn tô màu cho cả khung đó thì dùng lệnh như thế nào?

 

Mong mọi người chỉ bảo giúp. Rất cảm ơn mọi người.

Nếu học lớp 12 rồi thì có thể làm bằng pp hàm số:

PT tương đương với $(2x)^3+(2x)=(\sqrt{2x+1})^3+\sqrt{2x+1}$.

 

Xét hàm số $f(t)=t^2+t$ thấy đồng biến trên $\mathbb{R}$, mà $f(2x)=f(\sqrt{2x+1})$ nên $2x=\sqrt{2x+1}$.

 

Đến đây dễ rồi. @@

 

 

Nếu chưa học về đạo hàm cũng không sao. Biến đổi như trên rồi đặt $a=2x$, $b=\sqrt{2x+1}$, pt trở thành

$$a^3+a=b^3+b$$

tương đương với

$$(a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0$$

tương đương $a=b$ do $a^2+ab+b^2+1>0$ với mọi $a, b$.

 

 

Phương trình có dạng ma^2+nab+pb^2=0 được gọi là đẳng cấp (hoặc thuần nhất, hay đồng bậc), vì bậc của mỗi số hạng vế trái đều bằng 2 bạn ạ!

 

Ở bài toán trên nếu đặt $a=x^2+x+4$ thì trở thành đồng bậc với $a$ và $x$.

Nên làm cách này: Nhận xét $x\neq 0$, chia 2 vế cho $x^2$, đặt $t=\dfrac{x^2+x+4}{x}$ thì được ngay pt bậc 2 ẩn $t$, đó là $t^2+3t+3=0$.

 

Còn nếu thành thạo rồi thì nên tách thành tích ngay cho nhanh.

 

 

Tóm lại, pt đẳng cấp $ma^2+n(ab)+pb^2=0$ có thế giải bằng cách chia 2 vế cho $a^2$ hoặc $b^2$ rồi đặt $t=\dfrac{a}{b}$ hoặc $t=\dfrac{b}{a}$ (thường dùng cho Cấp 2).

 

Với Cấp 3 thì nên bấm máy tính (nhập hệ số lần lượt là $m$, $n$, $p$ như khi giải 1 pt bậc hai), máy cho ra 2 nghiệm là $k$ và $h$ thì tách ngay pt thành $m(a-kb)(a-hb)=0$ do đó $a=kb$ hoặc $a=hb$.

Sử dụng liên hợp thôi! Sau khi mò được nghiệm $x=-1$ thì ta làm như sau:

 

PT tương đương với một trong các pt sau:

$$(x+1)+4(\sqrt{2-2x}-2)+2(\sqrt{x+2}-1)=0$$

$$(x+1)+4\dfrac{2-2x-4}{\sqrt{2-2x}+2}+2\dfrac{x+2-1}{\sqrt{x+2}+1}=0$$

$$(x+1)\left [1-\dfrac{8}{\sqrt{2-2x}+2}+\dfrac{2}{\sqrt{x+2}+1}\right ]=0$$

 

Đến đây chứng minh được biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $-2\le x\le 1$.

Có phải bị thiếu ngoặc ở 3 chố lô ga không bạn ơi?

$$\begin{cases}x^3-y^3=9\\x^2+2y^2=x-4y\end{cases}$$

Mình giải như thế này không biết có đúng không nữa

Điều kiện $x \ge -8$

Ta có:

$(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$

$\Longleftrightarrow (x+1)\sqrt{x+8}-3(x+1)=x^2-2x+1$

$\Longleftrightarrow (x+1)(\sqrt{x+8}-3)=(x-1)^2$

Nhân lượng liên hợp của $\sqrt{x+8}-3$,ta được:

$\dfrac{(x+1)(x-1)}{\sqrt{x+8}+3}=(x-1)^2$

$\Longrightarrow x=1$ hoặc

$\dfrac{x+1}{\sqrt{x+8}+3}=x-1$

$\Longleftrightarrow x\sqrt{x+8}-\sqrt{x+8}=-2x+4$

Tới đây thì ta đặt $t=\sqrt{x+8}$,pttt:

$t^3+2t^2-9t-20=0$

Tới đây ta áp dụng CTTQ và tìm ra được $t$

$\Longrightarrow$ Tìm được $x$

Nếu làm theo cách này thì hơi phức tạp.

 

Từ đầu có thể đặt $t=\sqrt{x+8}$ thì được ngay pt

$$(t-3)(t^3+2t^2-9t-20)=0.$$

Liệu có cách nào khác mà không dùng đến công thức nghiệm pt bậc 3 không các bạn nhỉ?

Giải phương trình: $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$.

Bạn Longqnh bị nhầm dấu 1 chút.

 

Có thể làm như sau nhé: Đặt $y=\sqrt{x-1}$ thì $y^2=x-1$. Ta có bpt

$$x^3-(3x^2-4y^2)y\le 0$$

hay $$x^3-3x^2y+4y^3\le 0.$$

Đây là bpt đẳng cấp bậc 3 hoặc gọi là bpt đồng bậc 3 gì đó...

Có thể bấm máy tính (nhập hệ số như bpt bậc 3 ẩn $x$ - cụ thể là 1, -3, 0, 4) để thấy nghiệm là $-1$ và $2$.

Thế thì có thể đoán $2$ là nghiệm kép (nhờ vào hệ số 4 cuối cùng) và  phân tích bpt thành

$$(x+y)(x-2y)^2\le 0.$$

Hoặc nếu là hs cấp 2 thì có thể phân tích thành

$$x^3+x^2y-4x^2y-4xy^2+4xy^2+4y^3\le 0$$

tương đương với

$$x^2(x+y)-4xy(x+y)+4y^2(x+y)\le 0,$$

đấy, có nhân tử chung là $(x+y)$ rồi.

Câu b) ở đây nhé!

 

http://diendantoanho...i-học/?p=380020

 

Cảm ơn bạn MIM một lần nữa!

1) Nên làm cách này:

PT tương đương với $x^2-6x+9+x+1-4\sqrt{x+1}+4=0$ hay $(x-3)^2+(\sqrt{x+1}-2)^2=0$. Từ đó tìm được $x=3$ là nghiệm duy nhất.

Giải các phương trình:

3) $2(x^2+2x+3)=5\sqrt{x^3+3x^2+3x+2}$

Pt tương đương với

$$2(x^2+x+1)+2(x+2)=5\sqrt{(x+2)(x^2+x+1)}.$$

Đặt (cho dễ nhìn) $a=\sqrt{x^2+x+1}$, $b=\sqrt{x+2}$ thì pt trở thành

$$2a^2-5ab+2b^2=0$$

tương đương $$(a-2b)(2a-b)=0.$$

Do đó $a=2b$ hoặc $b=2a$. Đến đây dễ rồi.

$$2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}=3(5x+1).$$

Nếu được thì từ sau mình mong bạn

N H Tu prince

sẽ viết nhiều hơn 1 chút, cụ thể là giải thích cho mọi người tại sao lại tách được như vậy (ở câu 1)...

 

Thế thì lần sau mọi người mới có thể tự mày mò được nếu gặp bài tương tự chứ!

 

Cảm ơn bạn rất nhiều!

 

Bài này nên chia 2 vế cho $x$, rồi đặt $t=\sqrt{2+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}}$ thì dễ hơn.

 

Tuy nhiên, làm cách này thì cần xét 2 trường hợp $x>0$ và $x<0$ nhé!

còn $x^{2}-xy+2y^{2}=0$ thì sao bạn?

$x^{2}-xy+2y^{2}=(x-\frac{y}{2})^2+\dfrac{7y^2}{4}=0$ khi $x=y=0$.