$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a} \leq \frac{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$
Vì
\[\frac{(a+b+c)(a^2+b^2)}{a+b} = a^2+b^2+c(a+b)-\frac{2abc}{a+b}.\]
Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[a^2+b^2+c^2+2abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right) \geqslant 2(ab+bc+ca).\]
Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Schur.