tuyển tập 50 bài BĐT và cực trị

Áp dụng BĐT Holder với ba số dương a,b,c ta có:

S³ =($\sqrt[3]{a+b}.1.1+\sqrt[3]{b+c}.1.1+\sqrt[3]{c+a}.1.1$)³

     $\leq$(a+b+b+c+c+a)(1³+1³​+1³​)(1³​+1³​+1³​)

     =2(a+b+c).9=18

Do đó: S$\leq$$\sqrt[3]{18}$

Dấu ''='' xảy ra khi va chỉ khi: a=b=c=$\frac{1}{3}$

Với a,b,c>0 và a+b+c$\geq$20 ta có:

 4P=4a+4b+4c+$\frac{12}{a}+\frac{18}{b}+\frac{16}{c}$

      =$a+2b+3c+(3a+\frac{12}{a})+(2b+\frac{18}{b})+(c+\frac{16}{c})$

      $\geq$20+3.2.2+2.2.3+2.4=52

Do đó:Min P=13 khi và chỉ khi a=2,b=3,c=4

 ĐK: $x\geq 7$

   $\inline \sqrt{7x^{2}+25x+19}=7\sqrt{x+2}+\sqrt{(x-7)(x+5)} 6x^{2}-22x-44=14\sqrt{(x^{2}-5x-14)(x+5)} Đặt \sqrt{x^{2}-5x-14}=a\geq 0,\sqrt{x+5}=b\geq 0 \Rightarrow 6a^{2}+8b^{2}=14ab \Leftrightarrow (3a-4b)(a-b)=0 Nếu a=b\Rightarrow x=3+2\sqrt{7}(t/m) hoặc x=3-2\sqrt{7}(l) Nếu 3a=4b\Rightarrow ..$

Bài 6: giải phương trình:...

$\Delta =4b^{2}-4b+4> 0\vee b$

$\Rightarrow$ PT luôn có 2 no pb

Theo đ/l Vi-et:   

     $\alpha +\beta =-2b$

     $\alpha .\beta =b-1$

$\Rightarrow \alpha ^{2}+\beta ^{2}=4b^{2}-2b+1$

$\Rightarrow (\alpha -\beta )^{2}=4b^{2}-4b+4=(2b-1)^{2}+3\geq 3$

$\Rightarrow Min(\alpha -\beta )^{2}=3\Leftrightarrow b=1$

đề thi chọn HSG lớp 9 năm 2011-2012 tỉnh Vĩnh Phúc

không biết có đúng không nữa.

Cho tam giác ABC cân tại A, đường tròn (O) tiếp xúc với AB và AC tại B và C. Lấy M thuộc cung BC nhỏ. Kẻ MD vuông góc với BC, MẸ  vuông góc với AC,MF vuông góc với AB. Xác định vị trí điểm M để MD.ME.MF đạt giá trị lớn nhất.

Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn toán 9 năm 2015-2016( tài liệu)

Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn toán 9 năm 2015-2016( tài liệu)

Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC). Đường cao AH. O là trung điểm của BC. Đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC lần lượt tại M và N. AO cắt MN tại D.

a. Chứng minh: Tứ giác BMCN nội tiếp

b. MN cắt BC tại P, AP cắt (I) tại K. Tính góc BKC.

Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $7(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=6(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+2015$

  Tìm Min: P=$\frac{1}{\sqrt{3(2a^{2}+b^{2})}}+\frac{1}{\sqrt{3(2b^{2}+c^{2})}}+\frac{1}{\sqrt{3(2c^{2}+a^{2})}}$

Bài 2: Cho x,y là 2 số thực dương t/m x+y$\geq$3. Chứng minh: 

       $x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\geq \frac{9}{2}$.

Bài 3: Cho a,b,c>0 t/m: a² +b² +c² =3. Tìm Min $P= 2(a+b+c)+ (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$.

Bài 4: Cho a,b $\geq$0 t/m a² +b² =4. Tìm Max: M=$\frac{ab}{a+b+2}$.

Bài 5: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn $2x+y+\sqrt{5x^{2}+5y^{2}}=10$. CM: x⁴ y$\leq$ 16.

Bài 6: Cho a,b là các số thực dương. CM:

   $(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{2}) \geq 2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$.

Bài 7: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CM:

  $\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}} \geq \sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{c+a-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}$

1. Cho tam giác ABC nhọn, trung tuyến CM, đường cao AH,BD,CF cắt nhau tại I. E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C song song với AH,BD cắt BD,AH lần lượt tại P và Q.

a, Chứng minh: PI.AB=AC.CI

b, Gọi (O) ngoại tiếp tam giác CDH. CM: MD là tiếp tuyến của (O).

c, CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R. CM cắt (O) tại K. CM: AB là đường trung trực của KR.

2. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O). Gọi CD là đường kính cua (O). Qua D kẻ tiếp tuyến với (O) cắt đường thẳng AB tại E, OE cắt BC và AC lần lượt tại M và N. CM: O là trung điểm của MN.

13. Giải pt nghiệm nguyên: x⁴ +x² +4=y² -y

4x⁴ + 4x² +16=4y² -4y

Nếu x²  $\geq$ 3 ta có: (2x² +1)² < 4x⁴ + 4x²+ 16 < (2x² +2)²

Mà x là số nguyên nên không tìm được x

Do đó x²  $\leq$ 3 $\Rightarrow x \in \left ( -1;0;1 \right )$

Nếu x=-1 $\Rightarrow$...

Nếu x=0 $\Rightarrow$...

Nếu x=1 $\Rightarrow$....

10

4.

Mình cũng nghĩ thế.

.

1.b, Với x, y, z>0  áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Scharw ta có:

$\sum \frac{1}{3x+3y+2z}=\sum \frac{1}{(y+x)+(y+z)+(x+z)}$

                                        $\leq \frac{1}{16} \sum (\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{4}{2(x+z)})$

                                        =$\frac{1}{4} \sum \frac{1}{x+y}= \frac{3}{2}$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=0.25$

2.a, x⁶ -7x³ -8=0

$\Leftrightarrow (x^{3}-8)(x^{3}+1)=0$

$\rightarrow x^{3}=8 hoặc x^{3}=-1$

$\Leftrightarrow x=2 hoặc x=-1$

3. $a^{2}+b^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}$

=$(a+b)^{2}+(\frac{ab+1}{a+b})^{2}-2ab$

$\geq 2(ab+1)-2ab=2(đpcm)$

1. Cho a,b,x>0. CM: $\sum \frac{a^{2}}{b} \geq \sum \sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}$.

2. Cho a,b,c $\in \left [ -2;2 \right ]$  thỏa mãn: $a+b+c=3$. CM: $\sum \sqrt{4-a^{2}} \leq 3\sqrt{3}$.

3. Cho a,b $>0. CM: (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}}) \leq 2$.

Cho tứ giác ABCD có các cạnh là $a,b,c,d$; diện tích là $S$. CM $a+ b+ c+ d \geq 4\sqrt{S}$.

công thức này ở đâu vậy?

Đề bạn gõ sai rồi!