Áp dụng bổ đề , kể cả khi thực hiện liên tiếp $2$ loại bước chuyển như trên thì luôn $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=1$ và $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=-1$
Khi đó sau một số hữu hạn thực hiện thay phiên các bước chuyển thì từ $1$ điểm $(x;y)$ bất kì có thể tạo ra được các điểm $(x+1;y+1);(x+1;y-1);(x-1;y+1);(x-1;y-1)$

Bạn có thể giải thích chỗ này cho mk đc ko ?

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: 

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$

$<=> \sum {\frac{a^{2}}{b+c} } \geq \frac{{(a+b+c)^2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{{(a+b+c)}}{2}\geq \frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}$

(BĐT Cauchy-Schwarz dạng thông thường)

Tại sao lại có $a+b+c\geq \sqrt{3(a+b+c)}?$

$\Gamma$ 

Cách khác:

Vì $x^2-1\geq 0($Theo ĐKXĐ$)$

$=>x^4\geq x^4-x^2+1>0<=>x^2\geq \sqrt{x^4-x^2+1}$

$=>$ Ta có: $VT=x^2+3\sqrt{x^2-1}\geq \sqrt{x^4-x^2+1}=VP($Vì $\sqrt{x^2-1}\geq 0)$

Mà dấu $"="$ phải xảy ra(Theo gt)

$=>x^2-1=0<=>x=\pm 1$

Vậy, ...

 

 

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

 

 

 

ĐKXĐ: $x^2-1\geq 0$

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

$<=>x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}+3\sqrt{x^{2}-1}=0$

$<=>\frac{x^4-(x^4-x^2+1)}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\sqrt{x^{2}-1}=0($ Do $x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}\neq 0)$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}(\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3)=0$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}=0($Do $\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\geq 3> 0)$

$<=>x^2-1=0<=>x=\pm 1($ T/m ĐKXĐ $)$

Vậy, ...

tìm x,y thỏa mãn phương trình 

xy²+2xy+x=32y

x,y nguyên hay có đk gì ko vậy???

rồi ạ

Pt đã cho $<=>\frac{32y}{(y+1)^2}=x$ là số nguyên dương

                   $<=>32y\vdots (y+1)^2$

                   $=>32y\vdots y+1$ 

                   $<=>32(y+1)-32\vdots y+1$

                $<=>32\vdots y+1$

                $<=>y+1$є{2;4;8;16;32}(Vì y là số nguyên dương $=>y+1\geq 2$)

                $<=>y=1=>x=8$(t/mãn)

                hoặc $y=3=>x=6$(t/mãn)

                hoặc $y=7=>x=\frac{7}{2}$(loại)

                hoặc $y=15=>x=\frac{15}{8}$(loại)

                hoặc $y=31=>x=\frac{31}{32}$(loại)

Vậy,.....

cho x,y,z là 3 số dương x+y+z$\leq 1$

cm$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:

$(x^2+\frac{1}{x^2})(1^2+9^2)\geq (x.1+\frac{1}{x}.9)^2$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{1+81}}=\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{82}}$

CMTT

$=>\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\geq\frac{y+\frac{9}{y}}{\sqrt{82}} ;\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq\frac{z+\frac{9}{z}}{\sqrt{82}}$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}[(x+\frac{1}{9x})+(y+\frac{1}{9y})+(z+\frac{1}{9z})+\frac{80}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})]$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(2\sqrt{x.\frac{1}{9x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{9y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{9z}}+\frac{80}{9}\frac{9}{x+y+z})($Do $a+b\geq2\sqrt{ab};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$ 

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{80}{1})($Do $x+y+z\leq 1$ theo gt $)$

$=\sqrt{82}=>$ĐPCM

Dấu $"="$ xảy ra $<=>...<=>x=y=z=\frac{1}{3}$

$2^{x}=x+1$

Áp dụng BĐT Bernoulli

$=>2^x=(1+1)^x\geq 1+x.1 \forall x \in \mathbb{N}$

Dấu $"="$ phải xảy ra

$=>x=0;x=1$

5, $\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}=x^3+x^2-4x-4+|x|+|x-1|$

ĐKXĐ: $-2\leq x\leq 3$

Pt đã cho

$<=>(x+2)(x^2-x-2)+\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}-\sqrt{2+x}+\begin{vmatrix}x-1\end{vmatrix}-\sqrt{3-x}=0$

$<=>...<=>x^2-x-2=0<=>...$

6, $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

ĐKXĐ: $0<x\leq 1$

Pt đã cho

$<=>(1-x)(1+x^2)^2=x(2x+x^2)^2<=>...<=>(2x-1)(x^4+2x^3+4x^2+x+1)=0<=>...$

Giai phuong trinh

1, $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1})(x^2+\sqrt{x^2+4x+3})=2x$

ĐKXĐ: $x\geq -1$

Pt đã cho

$<=>\frac{2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}[x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}]=2x$

$<=>x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}=x\sqrt{x+1}+x\sqrt{x+3}<=>(x-\sqrt{x+1})(x-\sqrt{x+3})=0<=>...$

Giai phuong trinh

2, $2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}=x^2+6x+13$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-4}{3}$

Pt đã cho

$<=>x^2+x+2[(x+2)-\sqrt{3x+4}]+3[(x+3)-\sqrt{5x+9}]=0$

$<=>x(x+1)[1+\frac{2}{x+2+\sqrt{3x+4}}+\frac{3}{x+3+\sqrt{5x+9}}]=0<=>...$

4, $\sqrt{2x^2+16x+18}+\sqrt{x^2-1}=2x+4$

ĐKXĐ: ...

Pt đã cho

$<=>2x^2+16x+18+x^2-1+2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=(2x+4)^2$

$<=>x^2-1-2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=0<=>\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1}-2\sqrt{2x^2+16x+18})=0<=>...$

3, $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$

ĐKXĐ: $x\geq -8$

Vì $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4>0=>x+1>0<=>x>-1$

Pt đã cho

$<=>(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2<=>...<=>(x-1)(x^3+2x^2+x-8)=0$

$<=>x=1 hoặc x^3+2x^2+x-8=0$

Xét $x^3+2x^2+x-8=0$

Đặt $x=t-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2}>1<=>t> \frac{-1}{3})$

Thay vào

$=>...<=>27t^3-9t=218$

Đặt $3t=y(t>\frac{-1}{3}<=>y>-1)$

$=>y^3-3y=218

$+)$Xét $-1y<2=>y^3-3y=(y-2)(y+1)^2+2<2<218 ( Loại )$

$+)$Xét $y\geq 2$

Lúc này, ta có thể đặt $y=a+\frac{1}{a}(a>0)$

Thay vào

$=>(a+\frac{1}{a})^3-3(a+\frac{1}{a})=0<=>a^3+\frac{1}{a^3}=218$

$<=>a^6-218a^3+1=0$

$<=>...<=>a^3=109\pm 6\sqrt{330}$

$<=>a=\sqrt[3]{109\pm 6\sqrt{330}}$

$<=>...<=>x=\frac{\sqrt[3]{109-6\sqrt{330}}+\sqrt[3]{109+6\sqrt{330}}-2}{3}$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy$,...$

4,1/x+1/y=z

Từ pt đã cho $=>\frac{x+y}{xy}=z\epsilon \mathbb{Z}<=>x+y\vdots xy$

                     $<=>x\vdots y;y\vdots x<=>x=y\neq 0$

                                                    hoặc $x=-y\neq 0$ 

$+)x=-y=>(x;y;z)=(a;-a;0)\forall a\epsilon \mathbb{Z},a\neq 0$

$+)x=y=>\frac{2}{x}=z<=>xz=2<=>...<=>(x;y;z)=(...)$

Vậy, ...

5,x^-25=y^2

Có vấn đề với đề bài

1, x^2-5y^2=17

Từ pt đã cho $=>x^2$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 -> Ko có nghiệm nguyên x,y

2,x^2+2x+1=37

Từ pt đã cho $=>(x+1)^2=37$ -> Ko có nghiệm nguyên x

3,x^2+x+1=xyz

Từ pt đã cho $=>xyz=x^2+x+1\neq 0<=>x^2+x+1\vdots x<=>1\vdots x<=>x\pm =1$

Thay vào pt ban đầu $=>$ tìm đc $y,z$ tùy theo $x=1$ hay $x=-1$

$\left\{\begin{matrix} (m+1)x &+ (m+1)y &=4m \\ x& + (m-2)y &2 \end{matrix}\right.$ , với m thuộc R 

tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó

Dễ thấy m=-1 thì phương trình đầu vô nghiệm.

Xét $m\neq -1 , HPT $<=>\begin{matrix} (m+1)x &+ (m+1)y &=4m \\ (m+1)x& + (m+1)(m-2)y &=2(m+1) \end{matrix}

$<=>(m+1)(m-3)y=-2m+2$ (1) ( lấy 2 phương trình trên trừ vế theo vế )

Vì m =3 thì (1) vô nghiệm nên với $m\neq 3$ thì $y=\frac{-2m+2}{(m+1)(m-3)}<=>x=\frac{4m^2-10m-2}{(m+1)(m-3)}$

Vậy, với $m\neq 3$, $m\neq -1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(\frac{4m^2-10m-2}{(m+1)(m-3)};\frac{-2m+2}{(m+1)(m-3)})$

sau khi trừ thì kết quả sao lại = -2m +2

$2(m+1)-4m=-2m+2$, đúng ko nhỉ

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-3}{2}$

Pt đã cho $<=>(x^2+4x+5)^2=4(2x+3)$

                $<=>x^4+8x^3+26x^2+32x+13=0$

                $<=>(x+1)^2(x^2+6x+13)=0$

                $<=>x=-1$(t/m ĐKXĐ)

Vậy,...

minhf sửa rồi ạ

OK vậy bạn thay $a=2b$ vào thì tính đc $\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}=\frac{-4}{21}$ thế là xong

cho a>b>0 và a³-a²b+ab²-6b³=0

$\frac{a^{4}-4b^{4}}{b^{4}-4a^{3}}$

Từ gt suy ra $(a-2b)(a^2+ab+3b^2)=0$ mà a>b>0 suy ra a=2b

--> Thay vào ...

Mà đề bài sai sai thì phải

$\left\{\begin{matrix} x^{3}= &2x +& y \\ y^{3}= &2y +& x \end{matrix}\right.$

Từ phương trình đầu suy ra $y=x^3-2x$

Thay vào phương trình thứ 2, ta có:

 $(x^3-2x)^3-2(x^3-2x)-x=0$ 

$<=>x^9-6x^7+12x^5-10x^3+3x=0$

$<=>x(x^2-3)(x^2-1)^3=0$

$<=>$ x=0 thì y=0

           $x=\sqrt{3}$ thì $y=\sqrt{3}$ 

           $x=-\sqrt{3}$ thì $y=-\sqrt{3}$

           x=1 thì y=-1

           x=-1 thì y=1

Vậy,..............

$ 2017^{x}+2019^{x}=2.2018^{x}$

$2.4^{\frac{1}{x}}+6^{\frac{1}{x}}=9$

Điều kiện của $x$ là gì?

cho P(x) = x³-3x²+14x -2

tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 sao cho P(x) chia hết cho 11 

$P(x)\vdots 11<=>(x-1)^3+11x-1\vdots 11<=>(x-1)^3\equiv1(mod 11)$

Dễ thấy lập phương của một số tự nhiên chia 11 dư 1 khi và chỉ khi số tự nhiên đó chia 11 dư 1 (tự chứng minh bằng cách lần lượt xét các số dư của số tự nhiên đó cho 11)

$=>x-1\equiv1(mod 11)$

$<=>x\equiv2(mod 11)$

$<=>x=2,13,24,...,90$

cho x,y,z đôi 1 khác nhau thõa mãn x³=3x-1 , y³=3y-1, z³=3z-1

CMR x²+y²+z²=6

Từ giả thiết suy ra x,y,z lần lượt là 3 nghiệm khác nhau của phương trình $a^3-3a+1=0$

=>$(a-x)(a-y)(a-z)=0$

$<=>a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-xyz=0=a^3-3a+1$

Quy đồng hệ số 

$=>x+y+z=0$

      $xy+yz+zx=-3$

$<=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=6$

Vậy ta có ĐPCM.

Tìm các số tự nhiên m,n và số nguyên tố p thỏa mãn: p^m +pⁿ =  p^m.n

Dễ thấy nếu m hoặc n bằng 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Xét $m,n\neq 0$

$=>m,n\geq 1 <=>p^m+p^n\vdots 2<=>p^{mn}\vdots 2<=>p\vdots 2<=>p=2$(Vì p là số nguyên tố)

Ko mất tính TQ, giả sử $m\geq n\geq 1$

=> Pt ban đầu $<=>2^n(1+2^{m-n})=2^{mn}<=>1+2^{m-n}$ là một lũy thừa của 2 

$<=>2^{m-n}=1<=>m=n=>2^m+2^m=2^{m+1}=2^{m^2}$

$<=>m^2=m+1$ ---> Ko có nghiệm nguyên m

Vậy, pt vô nghiệm

Cho a là 1 nghiệm dương của pt: $4x^{2}+2\sqrt{x}-\sqrt{2}=0$. Tính giá trị của biểu thức A=$\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$

Số xấu quá, coi lại đề bài phần giả thiết.