Ở ví dụ 3 trang 132 SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao , người ta viết : 
" $lim\sqrt{9+\frac{cos2n}{n}}=3$ vì $lim(9+\frac{cos2n}{n})=9$ "

Mình thấy làm thế này là quá tắt

Viết $lim(9+\frac{cos2n}{n})=9$ ko sai , nhưng chưa đủ 

 

Lời giải đầy đủ phải là : 
(Vì đang ở định lí 1 nên ta phải làm như sau : )
Ta có $lim[(9+\frac{cos2n}{n})-9]=lim \frac{cos2n}{n}=0$ 

Suy ra $lim(9+\frac{cos2n}{n})=9$ (1)
Mà ta lại có $9+\frac{cos2n}{n}\geq 9+\frac{-1}{n}\geq 8>0$ với mọi n (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 

$lim\sqrt{9+\frac{cos2n}{n}}=\sqrt{9}=3$ !
Làm thế này mới đúng và đủ phải ko nhỉ ?!

Cho em hỏi câu b bài 22 trang 151 sgk đại số 11 nâng cao :
Cho hàm số $f(x)=cos\frac{1}{x}$ và 2 dãy $(x_n'),(x_n'')$ với 

$(x_n')=\frac{1}{2n\Pi }$ ,

$(x_n'')=\frac{1}{(2n+1)\frac{\Pi}{2} }$

 

a) Tìm giới hạn $(x_n'),(x_n''),f(x_n'),f(x_n'')$

b) Tồn tại hay không  $\lim_{x\rightarrow 0}cos\frac{1}{x}$  ? 
P/s : câu b em đọc giải mà cóc hiểu gì

Mình có thắc mắc về 1 bài tập nhỏ trong sgk , mong các bạn giúp
Bài toán 

Chứng minh rằng : 

1) Nếu có $m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}=\vec{0}$ và 1 trong 3 số m,n,p khác không thì 3 vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng
2) Nếu $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ là 3 vectơ không đồng phẳng và  $m\vec{a}+n\vec{b}+p\vec{c}=\vec{0}$ thì $m=n=p=0$

________________________________________________
Phần 1 mình làm thế này nhưng không biết đúng không ?

1) Giả sử $p\neq 0$ , khi đó ta có : $\vec{c}=\frac{-m}{p}\vec{a}-\frac{n}{p}\vec{b}$

Từ đó theo định lý 1 suy ra 3 vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đồng phẳng 
Tuy nhiên theo định lí 1 thì phải có điều kiện 2 vectơ $\vec{a},\vec{b}$ không cùng phương . Vậy thì làm sao chứng minh được điều này đây ???
Còn phần 2 bạn nào giúp mình với 

Xin hỏi cách chứng minh định lý 2 trang 129 SGK đại số và giải tích 11 nâng cao
Địng lí 1 : Cho 2 dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ .
Nếu $|u_n|\leq v_n $ với mọi n và lim $v_n$ =0 thì lim $u_n$ =0 .

Áp dụng định lý 1 để chứng minh định lý 2 sau đây :
Nếu $|q|<1$ thì lim $q^n$=0

Giả thiết : (P) // a , (Q) // a
(P) giao (Q) = b 
Chứng minh b//a 
_______________
Giả sử b không song song a , thì b cắt a tại I 
Khi đó I thuộc a 
I thuộc b thuộc (P)
Vậy a cắt (P) tại I ( vô lý )
Do đó b song song a 

 

Câu hỏi : Lời giải trên đúng hay sai ? Nếu không đúng hãy chỉ ra chỗ sai
 

$VT=x\sqrt{x}-1=(\sqrt{x})^3-1=(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$

Cho A(10;5) , B( 15; -5 ) , D(-20 ; 0 ) là 3 đỉnh của hình thang cân ABCD 
AB // CD
Tìm toạ độ điểm C
Bài này mình làm đến đoạn ra toạ độ 2 điểm C thì ko biết làm thế nào nữa ( vì chỉ có duy nhất 1 điểm C thoả mãn ) , mong các bạn giúp đỡ !

Giải phương trình sau:
$\frac{3x^{4}+9x^{3}+17x^{2}+11x+8}{3x^{2}+4x+5}=(x+1)\sqrt{x^{2}+3}$

Cách giải tổng quát ptvt có nghiệm căn trong căn do mình - Đức Nghĩa nghĩ ra :

http://k2pi.net.vn/s...ead.php?t=28337

Rút y theo x từ PT1 rồi thế vào PT(2) là OK

Cho tứ giác ABCD . Gọi M(-1;2) , N , P , Q(4;3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA , AD . Xác định toạ độ điểm C biết điểm $G(\frac{5}{3};\frac{1}{3})$ là trọng tâm tam giác ANP

CA nhé ! Đề ko sai đâu

Giải phương trình sau :

$7x^{2}+13x+8=2x^{2}\sqrt[3]{x(3x^{2}+3x-1)}$

 Đặt $a=x+2 ; b=\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}$

$PT\Leftrightarrow (a^2+ab+b^2+2x^2)(x-\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}+2)=0$
Dễ thấy $a^2+ab+b^2+2x^2>0$ nên suy ra $x-\sqrt[3]{x(3x^2+3x-1)}+2=0$ ...

Cho a và b là 2 số hữu tỉ. Biết đa thức $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+6x+2=0$ có nghiệm là $1+\sqrt{3}$. Tìm a và b.

Gợi ý : Dễ thấy đa thức đã cho có nghiệm là $1+\sqrt{3}$ , các hệ số đều hữu tỷ nên nó phải có nhân tử $x^2-2x-2$

Vậy đặt $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+6x+2=(x^2-2x-2)(x^2+cx+d)$ ( c,d hữu tỷ )
Đồng nhất đa thức ta tìm được c,d từ đó suy ra $a=-4,b=1$

Ấn vào link dưới dòng chữ " Tác phẩm đầu tay " 

 

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2018 - 2019

Câu 1:

a) Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt{x}+1}{4-x}:\frac{1}{2\sqrt{x}-x}+\frac{1}{2-\sqrt{x}}$ với $x>0$ và $x\neq 4$.

Rút gọn biểu thức $P$. Tìm giá trị của x để $P>\frac{1}{7}$

b) Cho phương trình $x^2+6x-6m-m^2=0$(1)  (với m là tham số). Tìm giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2=6x_1+x_2$

Câu 2:

a) Giải phương trình $\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^2+x-6$

b) Giải phương trình $\left\{\begin{matrix} y^2-xy-2x^2=6(x+y)\\ (4x+1)^2=3(4y-21) \end{matrix}\right.$

Câu 3: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm D,E (D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của BC và AO.

a) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Trên cung nhỏ CD của đường tròn (O) lấy điểm F tùy ý (F khác C,D).Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với lần lượt cắt FC, FE lần lượt tại M,N.

Chứng minh rằng $\frac{AB}{AE}=\frac{BD}{BE}$ và $\frac{NF}{NE}=\frac{BD^2}{BE^2}$

c) MB cắt (O) tại P (P khác B). chứng minh rằng NH song song với PD.

Câu 4:

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $abc=2$. Chứng minh rằng

$a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

Câu 5:

a) Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $S_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2$ .Chứng minh rằng $24(2n+3)S_n+1$  là số chính phương.

b) Đặt tùy ý 2018 tấm bìa hình vuông canh bằng 1 nằm trong một hình vuông lớn có cạnh bằng 131. Chứng minh rằng trong hình vuông lớn,  ta luôn đặt được một một hình tròn bán kính 1 sao cho hình tròn trên không có điểm chung với bất cứ hình vuông nào.

---------Hết----------

 

Phần a câu 5 khá dễ 
Mình chính là người đã đặt vấn đề và nghĩ ra cách tính tổng dãy số này bằng máy tính năm lớp 11
Thật ra đề bài chỉ yêu cầu nhớ được công thức $1^2+2^2+...+n^2=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n$
Thế vào là ra $24(2n+3)S_n+1=24(2n+3)(\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n)+1=(4n^2+6n+1)^2$

Gợi ý : Dùng phép rút thế từ PT(1) 

Giải phương trình:

$y^{2}-2y+3=\frac{6}{x^{2}+2x+4}$

Gợi ý : Dùng bđt Cô si , $y=1,x=-1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$x^2+y^2+xy-5x-4y+2002$

 

$x^2+y^2+xy-5x-4y+2002=\frac{1}{2}(x+y-3)^2+\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{1}{2}(y-1)^2+1995\ge 1995$

[Casio] :
$A=(x+\frac{y-5}{2})^2+\frac{3}{4}(y-1)^2+1995\geq 1995$

 

 

 

 

phương pháp là như thế này

- Cái căn bậc hai thì dễ rồi

- Cái căn bậc ba thì ta làm như sau:

  cần tìm $a,b$ sao cho $\left ( a+b\sqrt{5} \right )^3=9-4\sqrt{5}\Leftrightarrow a^3+3a^2b\sqrt{5}+3ab^2.5+b^3.5\sqrt{5}=9-4\sqrt{5}\\ \Leftrightarrow \left ( a^3+15ab^2 \right )+\left ( 3a^2b+5b^3 \right )\sqrt{5}=9-4\sqrt{5}\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^3+15ab^2=9\\ 3a^2b+5b^3=-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1,5\\ b=-0,5 \end{matrix}\right.$

Như vậy $9-4\sqrt{5}=\left ( 1,5-0,5.\sqrt{5} \right )^3$

 

 

Giỏi quá

Vấn đề phân tích căn bậc 3 được người ta giải quyết từ lâu rồi , lên google search " Cách phân tích căn bậc 3 " nhé !

Giải phương trình: $(x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$

(Giải bằng cách lập hệ)

ĐK :$x\geq -1$ 
Từ điều kiện ta suy ra : $x+5 > 0 ; 3x+4 > 0$

PT đã cho tương đương với : $\frac{(x+5)[(\sqrt[3]{3x+4})^2+\sqrt[3]{3x+4}]+(\sqrt{x+5}-\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}}{(\sqrt[3]{3x+4})^2+\sqrt[3]{3x+4}+1}.\sqrt{x+1}=0$

Suy ra $x=-1$

OK !

Sau đây là một thủ thuật khai triển đa thức 2 biến bằng máy tính bỏ túi , và có thể bạn cũng nghĩ ra được nó nếu bạn đã học qua về lim ( giới hạn ) ...


 

CÁCH KHAI TRIỂN ĐA THỨC 2 BIẾN HỆ SỐ NGUYÊN

BẰNG MÁY TÍNH CASIO

 

Tác giả : Lương Đức Nghĩa K47 Tin THPT CSP 

( Tham khảo ghi rõ nguồn thay lời cảm ơn tác giả )

Yêu cầu : Vẫn là hiểu biết sơ bộ về thủ thuật CALC 1000
Bạn nào chưa biết cái này thì mình khuyên nên tìm hiểu về nó đi , ứng dụng của CALC 1000 là rất lớn vì ở đâu có $x$ thì ở đó có CALC 1000 !
Ý tưởng : Dùng lim ( giới hạn )
______________________________________________________
VÍ DỤ 1 : $(x+2y-1)^2(x+y+1)$

Nhận xét : Ta thấy bậc của x , y bằng nhau và bằng 3

Bước 1 :
Tính $(x+2y-1)^2(x+y+1):x^3$ tại $y=1000$ , $x=10^{10}$
Kết quả : 1,0000005
Bước 2 :
Tính $((x+2y-1)^2(x+y+1)-x^3):x^2$ tại $y=1000$ , $x=10^{10}$
Kết quả : $4999,0008 \approx 4999=5y-1$
Bước 3 :
Tính $(x+2y-1)^2(x+y+1)-x^3-(5y-1)x^2$ tại $x=0$ , $y=1000$
Kết quả : $3999997001=4y^3-3y+1$
Bước 4 :
Tính $((x+2y-1)^2(x+y+1)-x^3-(5y-1)x^2-4y^3+3y-1):x$ tại $x=1000$ , $y=1000$
Kết quả : $7997999=8y^2-2y-1$

Như vậy kết quả là : $(x+2y-1)^2(x+y+1)=x^3+(5y-1)x^2+(8y^2-2y-1)x+4y^3-3y+1$

VÍ DỤ 2 : $E=\frac{6x^3y+x^3+9x^2y^2-14x^2y+x^2-6xy^3-15xy^2+17xy-3x+4y^3+4y^2-5y+1}{x+2y-1}$

Nhận xét : Bậc bằng nhau và bằng 2
Ví dụ này khó hơn vì phép tính tràn màn hình , do đó ta phải dùng phương pháp " chia để trị " ( tức là chia nhỏ thành từng phần để trị )

Bước 1 :
Tính $E$ tại $x=10^{10},y=1000$ lưu vào $A$
Tính $E$ tại $x=0,y=1000$ lưu vào $B$
Tính $E$ tại $x=1000,y=1000$ lưu vào C
Bước 2 :
Tính $A:x^2$ tại $x=10^{10}$ ta được $6000,999699\approx6001=6y+1$
$B = 2002999=2y^2+3y-1$
Tính $(C-(6y+1)x^2-2y^2-3y+1):x$ tại $x=1000,y=1000$ ta được $-3009998=-3y^2-10y+2$

Như vậy kết quả là $E=(6y+1)x^2-(3y^2+10y-2)x+2y^2+3y-1$

VÍ DỤ 3 : $F=\sqrt{9x^4y^6 + 6x^3y^4 - 6x^3y^3 + 6x^2y^3 + x^2y^2 - 2x^2y + x^2 + 2xy - 2x +1}$


Nhận xét : Bậc của y là cao hơn ( bằng 3 ) , do đó ta sẽ cho $y=1000$ rồi chia theo $x$

Bước 1 :
Tính $E$ tại $x=10^{10},y=1000$ lưu vào $A$
Tính $E$ tại $x=0,y=1000$ lưu vào $B$
Tính $E$ tại $x=1000,y=1000$ lưu vào $C$
Bước 2 :
Tính $A:x^2$ tại $x=10^{10}$ ta được $3000000000=3y^3$
$B=1$
Tính $(C-3y^3x^2-1):x$ tại $x=1000,y=1000$ ta được $999=y-1$

Như vậy kết quả là $F=\left|3y^3x^2+(y-1)x+1 \right|$


_______________________________________

P/s : Like và share thay lời cảm ơn tác giả !

$(1)+3.(2)$
$\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+3xy^{2}-24xy+3y^{2}-24y+51x+49=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x^{2}+2x+3y^{2}-24y+49)=0$
Đến đây chắc đc rồi

Làm kiểu này thì oai thật , nhưng đi thi k có thời gian mà oai đâu
Vì cách này phải tìm 2 cặp nghiệm của hpt -> đường thằng đi qua $x=-1$ -> (1) + 3 (2) -> lại phải giải tiếp 1 hpt $\left\{\begin{matrix}x^2+2x+3y^2-24y+49=0 \\ x^2-8xy+y^2-8y+17x=0 \end{matrix}\right.$
Sau đấy mới tìm ra x=ay+b rồi lại thế vào pt để tìm nghiệm ... Đi thi không khuyến khích dùng cách này vì nó mất quá nhiều thời gian ( dễ thọt lắm ! )

Thì mình đã bảo là phải hiểu biết sơ bộ về CALC 1000 rồi 

Nó chính là thủ thuật 1 trong link này nhé : http://diendantoanho...oán-bằng-casio/

 

Giải các PT và hệ PT sau:

1. $\begin{Bmatrix} x^{3}+3xy^{2}=-49\\x^{2}-8xy+y^{2}= 8y-17x  \end{Bmatrix}$

2. $\begin{Bmatrix} \sqrt[4]{x}(\frac{1}{4}+\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y})=2\\\sqrt[4]{y}(\frac{1}{4}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y})=1  \end{Bmatrix}$

3. $x^{4}-32x+8=0$

4. $x^{4}=3x^{2}+10x+4$ 

Mình cảm ơn nhiều!

 

Câu 4 trước nhé :
$PT\Leftrightarrow (x^2+1)^2-[\sqrt{5}(x+1)]^2=0$ $\Leftrightarrow  ...$

Câu 3 chắc sai đề

Câu 1 :  Nếu $x=-1$ thì $y=\pm 4$ 

Nếu $x\neq -1$ thì ta tính được $y=\frac{2x^3+51x^2-49}{24x(x+1)}=\frac{2x^2+49x-49}{24x}$

Đến đây dễ rồi ...
Thay vào PT đầu ta được : $x^3+\frac{(2x^2+49x-49)^2}{192x}+49=0(1)$

Vì $x=0$ không phải là nghiệm của hpt nên :
$(1)\Leftrightarrow (x+1)^2(196x^2-196x+2401)=0$
Từ đó ta được $x=-1$ ( loại vì đang xét $x\neq -1$ )

Vậy hpt có nghiệm $(x;y)=(-1;4);(-1;-4)$