Chào mọi người mình muốn có tài liệu chuyên của các trường ở tỉnh thành Hà Nội và Thành phố HCM ai có thì up lên nhé

Bài 198. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),H$ là trực tâm của tam giác. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn cắt $CH$ tại $P,$ kẻ phân giác $AD,PD$ cắt $AB$ tại $K.$ Chứng minh rằng $HK$ vuông góc với $AD.$

Bài 2.

- Viết phương trình đường thẳng $AH$ (có điểm đi qua là $H$ và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{DE}$)

- Tham số hóa được tọa độ điểm $A$ từ phương trình trên.

- Từ đó ta tính được tọa độ điểm của $B$ và $C$

- Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

Suy ra được ẩn, từ đó chú ý tọa độ của $A$ là nguyên. Đến đây xong rồi  

Bài 1.

Tham số hóa tọa độ điểm $G$, gọi $P$ là trung điểm của $BC$ suy ra tọa độ điểm $P$ (theo $G$)

Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ từ đó $\overline{PA}.\overrightarrow{PM}=0$ từ đó suy ra tọa độ điểm $P$.

Từ đó viết được phương trình đường thẳng $BC$

Bài 2.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.

Ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng $AH$, tham số hóa điểm $A$, từ đó suy ra tọa độ các điểm $B$, $C$  (theo $A$).

Ta có kết quả $AH//=2OM$ suy ra tọa độ điểm $O$ (theo $A$)

Mà $OD$ vuông góc với $AB$ từ đó suy ra tính tích vô hướng là xong

Bài 1. 

Khá dễ dàng, chúng ta có thể thực hiện hướng giải theo các bước sau:

- Tham số hóa tọa độ điểm $G$ từ phương trình $x-2y-2=0$ thành 1 ẩn

- Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $AG=2GH$ từ đó tính được tọa độ điểm $H$

- Do $GH$ vuông góc với $BC$ nên $\overrightarrow{HG}.\overrightarrow{HM}=0$. Đến đây ta suy ra được ẩn

- Có tọa độ điểm $G$ rồi, điểm đi qua là $M$ nên viết được phương trình cạnh $BC$

Bài 3.

Đoạn đầu có thể xử lý được bằng trực đẳng phương như sau:

Gọi $W,G$ lần lượt là trung điểm của $BC$, cung $BC$ chứa $A$.

Xét ba đường tròn $(DM)$, $(\varpi )$, $(ADWG)$ thì ta có trục đẳng phương của ba đường tròn đồng quy tại $S$

Do đó dễ chứng minh $SA$ là phân giác ngoài của tam giác ABC tại đỉnh A.

Còn đoạn sau mình xử lý giống bạn dogsteven.

Sử dụng AM-GM : 

(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.
Chứng minh rằng :
$\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

ai giải bài này đi

Chuẩn hóa abc=1 thi bdt tương đương với:
$(a+b+c)^2 \geq 4\sum\dfrac{a}{b+c} + 3$
theo BDT co si ta có:
$ 4\sum\dfrac{a}{b+c} \leq \sum \dfrac{a}{2\sqrt{bc}} = \dfrac{1}{2}\sum a\sqrt{a}$
ta sẽ chứng minh :
$(a+b+c)^2 \geq 2\sum a\sqrt{a}+ 3$
Theo BDT cô si:
$\sum \sqrt{a} \geq 3 \Rightarrow 6\sum a\sqrt{a} + 9 \leq 2\sum\sqrt{a}\sum a\sqrt{a} + 3\sum\sqrt{a}$
ta chỉ cần chứng minh:
$(a+b+c)^2 \geq 2\sum\sqrt{a}\sum a\sqrt{a} + 3\sum\sqrt{a}$
$ \Leftrightarrow \sum a(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2 + \sum (\sqrt{b}-\sqrt{c})^4 \geq 0 $
BDT  gié

<a href="https://www.fodey.co...atext.asp"><imgsrc="https://r11.fodey.com/2404/e9fdcb5b32d9466dbb18c705777aaf00.1.gif" border=0 width="749" height="117" alt=""></a>

ANH NHÂME SAI ĐIỂM RƠI RỒI ANH ƠI !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

C2 :
$2(\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{1}{2ab} + \dfrac{1}{2bc} + \dfrac{1}{2ac})$ $2(\dfrac{1,5 + 3}{(a + b + c)^2}) = 40,5$

Mặt khác $\dfrac{\dfrac{7}{2}}{a^2 + b^2 + c^2}$ $\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{1}{3}} = 10,5$

Trừ 2 vế OK

Điểm rơi sai bét kìa 

Xin up lại bài toán hay sau của anh Dragon, bài này thấy anh up mà chưa có giải nên em xin up lại vào topic luôn

Bài toán. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3abc$. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a^{3}+bc}}\leq \frac{3}{2}$

Bài 3. (9) VMO 2010 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định $B,C$  và $A$ di chuyển trên $(O)$. Gọi phân giác trong và ngoài của tam giác lần lượt là $AD$ và $AE$ với $D,E$ thuộc $BC$. $M$ là trung điểm của $DE$. $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AM$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển trên $(O)$.

Bài 2.

Ta có: $MB.MK=ML.MC$ suy ra $M$ thuộc trục đẳng phương của $(CFL)$ và $(KBE)$.

Do đó $MP$ cũng là trục đẳng phương của hai đường tròn này nên $T$ cũng thuộc đường thẳng đó. 

Do đó $TB.TE=TC.TF$ suy ra $T$ thuộc trục đẳng phương của $(ABE)$ và $(ACF)$ nên giao điểm khác $A$ của hai đường tròn nằm trên $AT$.

Bài 4. (China TST 2002) 

Cho tứ giác lồi $ABCD$, gọi $E, F, P$ lần lượt là giao điểm của $AD$ và $BC$, $AB$ và $CD$,  $AC$ và $BD$. Gọi $O$ là chân đường cao hạ từ $P$ xuống $EF$. Chứng minh rằng $\angle AOD=\angle BOC$ 

có vẻ đề câu 13 sai bác ạ

E gõ nhầm đã fix ạ  

Bài 13 có thể giải được bằng hàng điểm. Còn đây là lời giải bài 14!

Bài 14. 

Gọi $S$ là giao điểm của $MN$ là $BC$.  Dễ thấy rằng các tứ giác $BNMC$ và $BFEC$ nội tiếp và bốn điểm $D, I, E, F$ cùng nằm trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$.

Ta có rằng: $SD.SI=SE.SF=SB.SC=SM.SN$ nên bốn điểm $D, I, M, N$ cùng nằm trên một đường tròn!

Gọi $L$ là giao điểm của $AK$ và $BC$. Theo kết quả quen thuộc $OA$ vuông góc với $EF$ nên suy ra $A$ là điểm chính giữa cung $MN$.

Suy ra $AN^{2}=AE.EC=AH.AD\Rightarrow \bigtriangleup ANH$ ~ $\bigtriangleup ADN$.

Suy ra $\widehat{ANH}=\widehat{ADN}\Rightarrow AK$ vuông góc với $MN$.

Bài 13. (Bzasil MO 2017) Cho tam giác $ABC$, trên $AB$ lấy điểm $M$, $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $BM=MN=NC$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt $MN$ tại $P$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AMN$. Chứng minh rằng $PA=PI$.

Bài 14. (Sưu tầm) Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp $(O)$, kẻ ba đường cao $AD, BE, CF$. đồng quy tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $M, N$ ($M$ thuộc cung nhỏ AB, $N$ thuộc cung nhỏ $AC$). Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, $MI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$. Chứng minh rằng $AK$ vuông góc với $HN$.  

Không biết cách vẽ hình nên bác thông cảm

P/s: Bài 5 các bác thử áp dung phép nghịch đảo đx qua điểm $A$ sẽ thu đc bài quen thuộc

P/s: Chiều đánh không hoàng ( @Nhoang1608)

Mấy bác đánh cờ tướng ạ     . Bài 11 em có ghi xác định P, Q mà bác !

Lời giải bài 8 trong tài liệu của thầy Hùng :http://khoia0.com/Th...-tron-Euler.pdf

xin đề xuất bài tiếp
Bài 9(sưu tầm): Cho $\triangle ABC$ $E,F$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $EF||BC$.$BF\cap CE\equiv D$. Đường tròn $(DBE)\cap (DCF)\equiv G$. Chứng minh $AG$ là đường đối trung.

Bài 9 là đề thi Balkan MO 2009 nhé bạn!

đánh liên minh bác ạ mà bài 8 không có cách khác ngoài cách của nhện chúa ạ,

Bài 8 xem trong file mà bác Hoàng đưa thôi! Em không dám giải +    

em yêu trẩu quá cơ       

Bài 8: Cho $\triangle{ABC}$ tâm nội $I$ . CMR 4 đường thẳng Euler của $BIC,AIB,AIC,ABC$ đồng quy $(Schiffler)$

Bác show lời giải bài 5 được không ạ , tiện thể khi nào giải bác up hình đi kèm với lời giải ạ    như vậy bạn đọc sẽ tiện theo dõi hơn!

Bài mới:

Bài 11. (USA TST 2011) Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp là $O$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Các đường thẳng $MH, NH$ cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$. Giả sử $MN$ cắt $PQ$ tại $T$. Chứng minh rằng $TA$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Bài 12. (Đề chọn HSG Duyên Hải Lớp 11 Chuyên Thái Bình 2013-2014) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Hình chữ nhật $MNPQ$ thay đổi sao cho $M$ thuộc $AB$, N thuộc $AC$, $P, Q$ thuộc $BC$. ${K}=BN\cap MQ, {L}=CM\cap NP, {X}=MP\cap NQ, {Y}=KP\cap LQ$. Chứng minh rằng:

• a) $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$
• b) $XY$ đi qua một điểm cố định.   

Lời giải bài 14 https://diendantoanh...ông-góc-với-hn/

Đây là lời giải của 1 đứa bạn sử dụng tam giác đồng dạng và tứ giác nội tiếp đơn thuần, hồi lớp 9 cũng nghĩ lâu phết nhưng không ra bây giờ thử cách khác xem sao.  

Bài 14 không cần trâu bò thế đâu bác, chỉ đơn giản sử dụng kết quả quen thuộc và đường tròn Euler thôi! Tối em up giải giờ có việc rồi           

@@: Bác Hoàng up vài bài nữa đi cho nó sôi nổi nào

Lời giải bài 9  Đây là được coi là $1$ bổ đề cơ bản của đường đối trung. Chứng minh:

Kẻ $GM,GN$ vuông góc với$AB,AC$ thì ta cần chứng minh $\frac{AB}{AC}=\frac{d(G,AB)}{d(G,AC)}=\frac{GM}{GN}$. Mặt khác ta có tam giác $EBG$ đồng dạng tam giác $CFG$ (g.g) nên $2$ đường cao tương ứng có tỉ lệ bằng $\frac{BE}{CF}=\frac{AB}{AC}$. Ta có điều phải chứng minh.

 

Liên quan đến đường đối trung thì mình sẽ đề suất tiếp $1$ bài cũng về đối trung.

Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn $(O)$ và $(I)$.$(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $(ABD)$ cắt $AC$ tại $E$ và $(ACD)$ cắt $AB$ tại $F$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $DE,DF$. Chứng minh rằng $OI \perp AD$ khi và chỉ khi $AD,BN,CM$ đồng quy. 

Bài 10. 

Ta có bổ đề quen thuộc sau: $OI$ vuông góc với $AD$ khi và chỉ khi $AD$ là đường đối trung

Ta xét trường hợp thuận: $OI$ vuông góc với $AD$ ta sẽ chứng minh $AD, BN, CM$ đồng quy. Trường hợp còn lại chứng minh tương tự!

Từ bổ đề trên suy ra $AD$ là đường đối trung của tam giác $ABC$ ứng với đỉnh $A$ suy ra $\frac{DB}{DC}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$

Dễ thấy tam giác $BFD$ ~ tam giác $ECD$ . Suy ra $\frac{BF}{CE}=\frac{DF}{CD}=\frac{DB}{ED}$.

Đến đây dùng định lý Ceva sin là xong 

Lời giải có vẻ thiếu sót ! bác xem lại thử.

Thiếu sót ở đâu bác nhỉ? Nếu đoạn cuối thì xoay góc tí là ra thôi!