$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} +  \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a}   \leq  \frac{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$ 

Vì

\[\frac{(a+b+c)(a^2+b^2)}{a+b} = a^2+b^2+c(a+b)-\frac{2abc}{a+b}.\]

Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[a^2+b^2+c^2+2abc\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right) \geqslant 2(ab+bc+ca).\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Schur.

Chứng minh : $\frac{a^{3} - b^{3}}{\left ( a - b \right )^{3}} + \frac{b^{3} - c^{3}}{\left ( b - c \right )^{3}} + \frac{c^{3} - a^{3}}{\left ( c - a \right )^{3}} \geq \frac{9}{4}$ với $a , b , c$ từng đôi khác nhau

Xét hiệu hai vế ta có \[\sum \frac{a^{3} - b^{3}}{\left ( a - b \right )^{3}} - \frac{9}{4} = \frac{3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc]^2}{4(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2} \geqslant 0.\] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\[\left\{\begin{aligned} & ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) = 6abc \\ & (a-b)(b-c)(c-a) \ne 0 \end{aligned}\right.\] Bài toán được chứng minh.

Cho a,b,c là các số không âm trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: $\sum \frac{3a^{3}+abc}{b^{3}+c^{3}}\geq 6$

Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:

                           $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

Vì \[(a^2+b^2+c^2)^2 - 3(a^3b+b^3c+c^3a) = \frac{1}{6} \sum (a^2-2b^2+c^2+3bc-3ca)^2\] nên ta có điều phải chứng minh.

Bài 45 (Turkey NMO First Stage). Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $abc=2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$a^2+2b^2+4c^2-6b.$$
 

Bài 40 (Syrian MO). Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng
\[\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2} \geqslant 2.\]
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
 

Bài 46 (JBMO). Cho $a,b,c $ là ba số thực dương. Chứng minh rằng
\[\frac{8}{(a+b)^2 + 4abc} + \frac{8}{(b+c)^2 + 4abc} + \frac{8}{(a+c)^2 + 4abc} + a^2 + b^2 + c ^2 \ge \frac{8}{a+3} + \frac{8}{b+3} + \frac{8}{c+3}.\]
 

Bài 35 (Turkey JBMO TST). Chứng minh rằng
\[(x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \geqslant (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2),\]
trong đó $x, y, z$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $xyz \geqslant 1.$

Bài 52 (Taiwan TST). Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất để bất đẳng thức

\[\frac{x^2y^2}{1-z}+\frac{y^2z^2}{1-x}+\frac{z^2x^2}{1-y}\leq k-3xyz,\]

luôn đúng với mọi số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1.$

Bài 57 (KMO Winter School). Cho $n$ số thực dương $x_1,x_2,\ldots,x_n.$ Chứng minh rằng
\[(1+x_1)(1+x_1+x_2)\cdots(1+x_1+x_2+\cdots+x_n)\geq\sqrt{(n+1)^{n+1} x_1x_2\cdots x_n}.\]
P/s. Bài này khá hay nhưng không mới, là một đề thi cũ của Nga.

Bài 55 (2016 CWMO). Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm và đặt $\displaystyle S_k= \sum\limits_{i=1}^{k}a_i,\;(1\le k\le n).$  Chứng minh rằng

$$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_i \cdot S_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right)\le \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2.$$

Bài 56 (MEMO). Cho số nguyên dương $n \ge 2$ và $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là các số thực thỏa mãn đồng thời

• $x_j > -1$ với mọi $j = 1, 2,  \ldots, n.$
• $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = n.$

Chứng minh rằng

$$ \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{1 + x_j} \ge \sum_{j = 1}^{n} \frac{x_j}{1 + x_j^2}.$$
Đẳng thức xảy ra khi vào ?

Bài 57 (Iran MO 3rd Round Finals). Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $abc=1.$ Chứng minh rằng
$$\frac {a+b}{(a+b+1)^2}+\frac {b+c}{(b+c+1)^2}+\frac {c+a}{(c+a+1)^2} \geqslant \frac {2}{a+b+c}.$$



 

Bài 34 (Serbia Junior TST). Cho $a,b,c$ là ba số thực dương. Chứng minh rằng $$\frac{2a}{\sqrt{3a+b}}+\frac{2b}{\sqrt{3b+c}}+\frac{2c}{\sqrt{3c+a}}\leq \sqrt{3(a+b+c)}.$$
 

Bài 51.1. (Tuymaada, Junior). Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2 \geqslant 3.$ Chứng minh rằng
\[(a+b+c)^3 \geqslant 9(ab+bc+ca).\]
Bài 51.2. (Tuymaada, Seniors). Cho ba số thực $x, y, z\in \left ( \frac{3}{2},+\infty \right ).$ Chứng minh rằng
\[x^{24} + \root 5\of {y^{60}+z^{40}} \geqslant \left(x^4 y^3 + {1\over 3} y^2 z^2 + {1\over 9} x^3 z^3 \right)^2.\]
 

Bài 48 (Japan MO Final). Cho bốn số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+cd =1.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P (a^2+ac+c^2)(b^2+bd+d^2).$$
 

Bài 27 (Iran Second Round). Cho ba số thực $0<a \leqslant b \leqslant c.$ Chứng minh rằng
$$\frac{(c-a)^2}{6c}\leq \frac{a+b+c}{3}-\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}.$$
 

p.s nhờ anh huyện sửa bài em thành latex nha em dùng dtdd nên ko viết latex dc

Anh không phải DHV nên không có quyền can thiệp vào bài viết của các thành viên khác nhưng em cứ viết bằng di động khi nào online bằng điện thoại thì em vào bài của mình để sửa lại cũng được chứ nhỉ.

Bạn Huyện cho mình hỏi là bài này có ký hiệu $a_{n+1}=a_1$ và $b_{n+1}=b_1$ không vậy ?

Đề gốc mình không thấy có ký hiệu này.

Không biết giải bài ở đây có vi phạm không anh nhỉ

Đúng rồi em, mình giải ở đây luôn.

Đang cập nhật ...

13)(koreanMO2016 ngày2 )cho $x,y,z$ là số thực thỏa $x^2+y^2+z^2=1$, tìm max $$P=(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)$$

Cho $x=\frac{1}{\sqrt{2}},y=-\frac{1}{\sqrt{2}},z=0$ thì $P = \frac{1}{8}$ do đó nếu ta chứng minh được

\[8(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy) \leqslant (x^2+y^2+z^2)^3,\]

thì $\frac{1}{8}$ chính là giá trị lớn nhất cần tìm.

Ta thấy rằng rằng trong ba số $x^2-yz,y^2-zx,z^2-xy$ sẽ có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử $(x^2-yz)(y^2-zx) \geqslant 0,$ khi đó

• Nếu $z^2-xy \leqslant 0$ thì \[8(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy) \leqslant 0 \leqslant  (x^2+y^2+z^2)^3.\]
• Nếu $z^2-xy \geqslant 0$ theo bất đẳng thức AM-GM, ta được \[4(x^2-yz)(y^2-zx) \leqslant (x^2-yz+y^2-zx)^2.\] Cho nên ta chỉ cần chỉ ra \[(x^2+y^2+z^2)^3 \geqslant 2(x^2-yz+y^2-zx)^2(z^2-xy),\] thu gọn thành \[\left [2(x^2+y^2)(z^2-xy)+(x^2+y^2+z^2)(x+y-z)^2 \right ](x+y+z)^2 \geqslant 0.\] Hiển nhiên đúng.

Từ đó dẫn đến kết luận của bài toán.

Bài này đề gốc là tìm cả min cả max chứ anh?

Cám ơn em, anh đã cập nhật.

 Bài này quen thuộc

Bất đẳng thức này đúng là quen thuộc, có thể tham khảo thêm đề Việt Nam MO 1998.

Bài 19 (Cyprus TST). Giả sử $a,\,b,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác $ABC$ và thỏa mãn điều kiện
$$a\sqrt{8}+b\sqrt{6}+c\sqrt{2}\ge 4\sqrt{a^2+b^2+c^2},$$
Chứng minh rằng $ABC$ là tam giác vuông.
 

Bài 29 (EMMO). Tìm số thực dương $\lambda$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức
$$\frac{\sqrt[3]{a^3+b^3}}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt[3]{b^3+c^3}}{b^2+c^2}+\frac{\sqrt[3]{c^3+a^3}}{c^2+a^2}\le \lambda\left(1+\frac{1}{ab+bc+ca}\right),$$

luôn đúng với mọi số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1.$

Bài 25 (Croatia TST). Cho số nguyên $n \geqslant 1$ và $x_1,x_2, \ldots, x_n$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng \[\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \cdots + \frac{x_n}{n}\right)\left(x_1 + 2x_2 + \cdots + nx_n\right) \leqslant \frac{(n+1)^2}{4n} (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2.\]
 

Bài 22 (China Zhejiang High School Mathematics Competition). Cho ba số nguyên $a, b, c $ khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của $4(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2.$
 

Bài 33 (Saudi Arabia TST). Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng \[\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{\sqrt{abc}} \geqslant \frac{4}{3}.\]