Vietfrog có người yêu là dân chuyên Văn cơ à . Hơn anh rồi đó nha, anh tủi quá .

Anh Thành post ảnh anh lên cho bọn em chấm điểm đê.
Khó khăn mỗi ảnh của anh với ảnh của cậu dark_templar thui đó.
Anh post ngay nha.
Mà anh tủi gì mà tủi? Chắc người yêu anh chuyên Toán nốt hả . Được cả đôi!

@to Khánh:Cậu Khánh sang I-Rắc chơi à .

@to Giang1994: Cậu còn định gạ gẫm mình post ảnh người yêu lên làm gì , người yêu mình học chuyên Văn, không phù hợp với VMF ta. .

@to Phúc: Bác Phúc post ảnh mau lẹ lên nhé, hội đồng nhiếp ảnh đang rất hồi hộp đấy.

Ec ec. Nhiều anh em đưa ảnh lên quá. .Tự tin phát.
Ảnh của mình đây. Đề nghị ông Phúc (dark_templar ) bắt trước tôi ngay.

Hix, lục lọi lại mới tìm thấy 1 cái trên Zing me @@

Anh vietfrog đẹp trai nhỉ ^^

Chú cứ quá khen. Anh bình thường thôi mà

Cắm trại hả anh?

Vậy thì anh Thế làm Bang chủ Cái bang rồi )

Kaka. Ca sĩ này là ai?? Ngọc Thế chứ ai

Cậu Giang với Toàn đẹp zai ghê.
-Mình thực sự bất ngờ về Giang. Trông rất Giang.... giang hồ. .
-Còn Toàn, lớp 8 gì mà to cao thế kia? .''Ăn gì to béo đẫy đà làm sao'' .

Tôi đề nghị anh Dark_templar ( Phúc) đưa ảnh lên ngay, tôi thách anh đấy!

Hôm nay up ảnh chụp chung với mấy đứa bạn cho mọi người cùng đánh giá

Mình ngồi góc ngoài cùng bên phải

Kaka. Cuối cùng cũng thấy cậu Phúc.
Trông lớn ghê. Gặp ngoài đường chắc mình chào bằng anh mất

Hỏi nhiều bài vậy em. Nhiều bài tương tự những bài em vừa hỏi rồi mà.
Em phải học gõ Latex đi nhé, không lần sau anh del bài đó!
Gợi ý:
Bài 1:
Chứng minh:
$\dfrac{a}{{a + b + c + d}} < \dfrac{a}{{b + c + a}} < \dfrac{{a + d}}{{a + b + c + d}}$
Tương tự sau đó công lại thấy $1<A<2$ suy ra A không nguyên!
Bài 2:
Áp dụng BĐT Shwarz có ngay:

$\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{b + a}} \ge \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{2(a + b + c)}} = 1$

Bài 3:
Thế ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$ vào và biến đổi là được.
Bài 4:
Giả thiết tương đương:
$ab + bc + ac = 0$
Bài 5:
....

Anh xin lỗi do không theo dõi từ đầu nên post lặp xin thay bằng bài khác (Không biết có lặp nữa không)
Bài 202:Cho các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng $3$.Chứng minh rằng
$$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) + 4abc \ge 13$$

Bài này không cần là $3$ cạnh tam giác đâu.
Lời giải ( Phương pháp Look at the end point )
Ta có: \[\begin{array}{l}
A = 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 4abc - 13 \\
\Leftrightarrow A = 3\left( {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2ab} \right) + 3{c^2} + 4abc - 13 \\
\Leftrightarrow A = 3{\left( {3 - c} \right)^2} - 6ab + 3{c^2} + 4abc - 13 \\
\Leftrightarrow A = ab\left( {4c - 6} \right) + 6{c^2} - 18c + 14 \\
\end{array}\]
Bằng BĐT $AM-GM$ ta dễ dàng có được: $ab \in \left[ {0;\frac{{{{\left( {3 - c} \right)}^2}}}{4}} \right]$
Xét:$A = f(ab) = ab\left( {4c - 6} \right) + 6{c^2} - 18c + 14\backslash \left[ {0;\frac{{{{\left( {3 - c} \right)}^2}}}{4}} \right]$
Đây là một hàm bậc nhất ẩn $ab$. Ta luôn có: $Minf(ab) = Min\left\{ {f(0);f\left( {\frac{{{{(c - 3)}^2}}}{4}} \right)} \right\}$
Ta chứng minh: $\left\{ \begin{array}{l}
f(0) \ge 0 \\
f\left( {\frac{{{{(c - 3)}^2}}}{4}} \right) \ge 0 \\
\end{array} \right.$
Thật vậy: \[\left\{ \begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 6{c^2} - 18c + 14 > 0 \\
f\left( {\frac{{{{(c - 3)}^2}}}{4}} \right) = {\left( {c - 1} \right)^2}\left( {c + \frac{1}{2}} \right) \ge 0 \\
\end{array} \right.\]
Như vậy thì : \[A \ge 0 \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 4abc - 13 \ge 0\]
Ta có được đpcm.
Dấu ''='' khi $a=b=c=1$.
------------------------------------------
P/s: Các em THCS hoàn toàn có thể sử dụng. Tuy đây là cách không ngắn gọn nhưng có thể áp dụng nhiều bài.
Đề lại một bài nhé.
Bài 203:
Cho $a,b,c$ là 3 số dương có tổng bằng 3. Tìm GTLN,GTNN nếu có của:

\[A = 2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 3\left( {ab + ac + bc} \right) + 5abc\]

Bài 153:Cho tam giác có độ dài 3 cạnh là a,b,c chu vi bằng 2. Tìm GTNN của
$P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$

Giả thiết tương đương : $a+b+c=4$.
Sau đó dùng phương pháp Look at the end point là xong. Khá ngắn gọn
Có thể tham khảo phương pháp tại đây!

Bài anh Thành có xảy ra dấu = đâu?
Với cách chứng minh đó thì dấu bằng xảy ra tại $x;y;z \in \left\{ {1;3} \right\}$.
Dễ thấy không có bộ số nào thỏa mãn.
Theo anh, cách chứng đó phù hợp với bài của Phúc.
$x=y=1;z=3$ hoặc $x=y=3;z=1$ ra VP của Phúc

Góp vào Topic của Kiên một bài:

Bài 32 :
Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $a,b,c < 4$.
Chứng minh bất đẳng thức: $$\dfrac{1}{4-a}+\dfrac{1}{4-b}+\dfrac{1}{4-c}\geq \dfrac{3}{4}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{16}$$

Cứ đà này thì Hoàng đoạt giải rồi . Mình tham gia muộn quá .

Bài 171.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Lời giải
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz và AM-GM ta có:
\[a\sqrt b + b\sqrt c + c\sqrt a \le \sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + ac + bc} \right)} = \sqrt {ab + ac + bc} \le \sqrt {\frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
Dấu $=$ khi $a=b=c=1/3$

Lâu lắm không làm BĐT ở đây, dạo này cũng hơi bận . Cảm ơn Huy và Kiên cùng mọi người đã duy trì topic.
Xin góp vài bài.
Bài 172: ( Bài này chắc cũng quen nhưng chế đi tí )
Cho $a,b,c>0;a+b+c=k$ với $k$ là số thực.
Tìm GTNN của biểu thức: \[P = \frac{{a + 1}}{{{b^2} + 1}} + \frac{{b + 1}}{{{c^2} + 1}} + \frac{{c + 1}}{{{a^2} + 1}}\]
Bài 173: (Sưu tầm )
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác nhau. Chứng minh rằng:
\[3m < a + b + c - \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < a + b + c + \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} < 3M\]
Trong đó: $m = Min\{ a,b,c\} ;M = Max\{ a,b,c\} $

Cho x, y, z là các số thực không âm và $x + y + z = 1$. Tìm GTLN của hàm số $f(x,y,z) = x^n y + y^n z + z^n x\,\,,\,n \in N$.

----------------

KH�”NG THỬ SAO BIẾT!!!

Cảm ơn em đã tham gia topic này.
Bài làm
Ta có:
$f(x,y,z) = {x^n}y + {y^n}z + {z^n}x = \underbrace {x.x.x...x}_n.y + \underbrace {y.y.y...y}_n.z + \underbrace {z.z.z...z}_n.x$
Áp dụng AM-GM cho n+1 số:

$f(x,y,z) \le \dfrac{1}{{n + 1}}(nx + y) + \dfrac{1}{{n + 1}}(ny + x) + \dfrac{1}{{n + 1}}(nz + x)$
$= \dfrac{1}{{n + 1}}.(n + 1)(x + y + z) = 1$

Vậy $Maxf = 1 \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{1}{3}; n=1$

Thêm một BĐT nữa khá hay, mình đưa lên để mọi người cùng chém.

Bài 58:
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng:

$({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2) \ge 9(ab + ac + bc)$

P/s: Mọi người thử suy nghĩ trong trường hợp $a,b,c \in R$ nhé!

Sẽ không có gì đáng bàn lắm trong TH a,b,c là các số thực vì
$VT \ge 9(\left| {ab} \right| + \left| {bc} \right| + \left| {ca} \right|) \ge VP$

Cậu nêu cách chứng minh rõ ràng ra đi.Mình và mọi người đều muốn biết cách làm của Hoàng.
Viết vắn tắt như vậy có vẻ không hay cho lắm.
Topic cần những lời giải rõ ràng bạn ạ!
Thanks.

Tú không post bài thì để anh tiếp chiêu vậy.

Chứng minh rằng: $\forall n$ nguyên dương ta có:

$\sqrt[n]{{(n + 1)!}} \ge 1 + \sqrt[n]{{n!}}$
p/s:Có ai chém không?

Bài này do mình đọc được trong 1 cuốn sách nhưng rất tiếc không có lời giải.
Mình xin trình bày hướng giải quyết, tuy nhiên vẫn còn 1 số điểm trục trặc.
Giả sử: $\sqrt[n]{{(n + 1)!}} \ge 1 + \sqrt[n]{n}$
$ \Leftrightarrow 1 \ge \dfrac{1}{{\sqrt[n]{{(n + 1)!}}}} + \sqrt[n]{{\dfrac{{n!}}{{(n + 1)!}}}} $
Áp dụng BĐT AM-GM cho n số : $\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};...;\dfrac{1}{{n + 1}}$ ta được:
$\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + ... + \dfrac{1}{{n + 1}}}}{n} \ge \sqrt[n]{{\dfrac{1}{{(n + 1)!}}}}{\rm{ (1)}}$
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM cho n số $\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4};...;\dfrac{n}{{n + 1}}$ ta được:
$\dfrac{{\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} + ...\dfrac{n}{{n + 1}}}}{n} \ge \sqrt[n]{{\dfrac{{n!}}{{(n + 1)!}}}}{\rm{ }}(2)$
Cộng theo vế (1) ; (2) ta được:
$1 \ge \dfrac{1}{{\sqrt[n]{{(n + 1)!}}}} + \sqrt[n]{{\dfrac{{n!}}{{(n + 1)!}}}}$ (đpcm)
Vấn đề còn lại là dấu =... vẫn chờ mọi người giải quyết!!
Theo ý kiến của hoangduc mình xin phép bổ sung:
Dấu = xảy ra khi n=1

Đây là 2 bài trong Thử sức trước kì thi của THTT

Bài 84:
Cho 2 số thực $x,y$ thỏa mãn: ${x^2} + y{}^2 = 4$
Tìm GTNN của:
\[P = \sqrt {5 - 2x} + \sqrt {54 - 2x - 14y} \]


Bài 85
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn:$xy + yz + xz \le 3$
Chứng minh rằng:
\[\dfrac{2}{{\sqrt {xyz} }} + \dfrac{{27}}{{(2x + y)(2y + z)(2z + x)}} \ge 3\]

Xin phép chỉnh lại đề 47:

Bài 47 (Một BĐT nhẹ nhàng)

Cho $a;b;c;x;y;z \ge 0$ thỏa mãn: $a + x = b + y = c + z=k$
Tìm Max của:
$P=ax + by + cz$

Túm lại là topic của chúng ta còn nhưng bất đẳng thức sau đang chờ. Mọi người cố gắng chém cho hết nhé. Bài ngày một khó rồi .
XIn phép tổng hợp những bài chưa có lời giải đề mọi người tiện theo dõi.
Bài 33. Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng:

$( \sqrt{a}+\sqrt{b} +\sqrt{c} )( \dfrac{1}{ \sqrt{a+1} }+\dfrac{1}{ \sqrt{b+1} } +\dfrac{1}{ \sqrt{c+1} } ) \le \dfrac{9}{2}$

Bài 34. Cho $a,b,c >0$ và $a+b+c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.

Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le 1$

Bài 35: Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\sum\limits_{cyc} {\left( {\dfrac{a}{{\sqrt {a^2 + 8bc} }}} \right)} ^k \ge \dfrac{3}{{3^k }}\,\,\,,\,\,k = 0,8$.

P/s: Tại hạ tài hèn không đủ khả năng, mong các cao thủ chém hộ!

Dấu = xảy ra khi $n=1$
Với $n\ge 2$ thì dấu bằng ko thể xảy ra do $\dfrac{1}{2}\ne \dfrac{1}{3} $ (AM-GM)

Rất cảm ơn ý kiến của hoangduc. Bạn có thể post vài bài BĐT lên để mọi người cùng làm được không?
Thanks!