Chủ đề này có 1115 trả lời

[Cao Xuân Huy]

BĐT cần c/m tương đương:
$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(abc+2)\geq 9$
Có: $VT=ab+bc+cb+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq^{AM-GM} 9\sqrt[9]{ab.bc.cb.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}.\frac{1}{c}}=9<Q.E.D>$
Dấu bẵng xảy ra khi $a=b=c=1$

Ngắn gọn hơn mình làm thế này:
\[\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)(abc + 1 + 1) \ge \frac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}}}.3\sqrt[3]{{abc}} = 9\]

[Ispectorgadget]

Bài 284: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$abc=1$.Tìm GTLN của:
$$P=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}$$
Tổng quát bài 284: Cho $n$ số thực dương $x_1;x_2;...;x_n$ thỏa mãn:$x_1x_2...x_{n}=1$.Tìm GTLN của:
$$P=\frac{1}{x_1+n-1}+\frac{1}{x_2+n-1}+...+\frac{1}{x_{n}+n-1}$$.

Đặt $x=\frac{1}{a+2};y=\frac{1}{b+2};z=\frac{1}{c+2}\Rightarrow a=\frac{1-2x}{x};b=\frac{1-2y}{y};c=\frac{1-2z}{z}$
Ta có: $abc=1\Rightarrow \frac{(1-2x)(1-2y)(1-2z)}{xyz}=1\Leftrightarrow (1-2x)(1-2y)(1-2z)=xyz$
Do đó ta cần chứng minh $x+y+z\leq 1$
Giả sử ngược lại: $x+y+z>1$
$(1-2x)<(x+y+z)-2z=y+x-z$
$(1-2y)<(x+y+z)-2y=x+z-y$
$(1-2z)<(x+y+z)-2z=x+y-z$
Nhân lại ta có:$xyz=(1-2x)(1-2y)(1-2z)< (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$
Điều này mâu thuẫn với BĐT Schur $xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$
Do đó giả sử trên của ta là sai. Do đó BĐT ban đầu là đúng!
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

[Ispectorgadget]

Bài 285: Cho a,b,c thực dương thoả a,b,c>0
Tìm GTLN của biểu thức $M=\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+x}+\frac{z}{2z+x}$
HOMO 2010

[dark templar]

Đặt $x=\frac{1}{a+2};y=\frac{1}{b+2};z=\frac{1}{c+2}\Rightarrow a=\frac{1-2x}{x};b=\frac{1-2y}{y};c=\frac{1-2z}{z}$
Ta có: $abc=1\Rightarrow \frac{(1-2x)(1-2y)(1-2z)}{xyz}=1\Leftrightarrow (1-2x)(1-2y)(1-2z)=xyz$
Do đó ta cần chứng minh $x+y+z\leq 1$
Giả sử ngược lại: $x+y+z>1$
$(1-2x)<(x+y+z)-2z=y+x-z$
$(1-2y)<(x+y+z)-2y=x+z-y$
$(1-2z)<(x+y+z)-2z=x+y-z$
Nhân lại ta có:$xyz=(1-2x)(1-2y)(1-2z)< (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$
Điều này mâu thuẫn với BĐT Schur $xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$
Do đó giả sử trên của ta là sai. Do đó BĐT ban đầu là đúng!
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Cách làm này có thể giải cả luôn bài tổng quát,Kiên làm thử xem sao nhé

================================
em chịu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-02-2012 - 20:49

[dark templar]

Bài 285: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$a^6+b^6+c^6-3a^2b^2c^2=1$.Chứng minh rằng:
$$a^+b^3+c^3-3abc \le \sqrt{2}$$

Bài 286: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$a>0;b+c>0;a^2+b^2+c^2=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3+c^3}{a^2} \ge \sqrt{2}$$

[Ispectorgadget]

Bài 287: Cho x,y,z là các số thực dương xyz=1
CMR: $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$

[Ispectorgadget]

Topic này dừng được 1 tuần rồi
Bài 288: Cho 2 số thực x,y ( x khác 0) thỏa $8x^2+y^2+\frac{1}{4x^2}=4$
Xác định x,y để tích xy đạt GTNN
Đề thi HSG lớp 9 tính Thừa Thiên Huế
Bài 289: Cho các số thực a,b,c thuộc $(0;2)$. CMR có ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức sau là sai
$a(2-b)>1;b(2-c)>1;c(2-a)>1$

[Cao Xuân Huy]

Bài 288:
Ta có:
\[4 = 4{x^2} + 4{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{4{x^2}}} \ge 4\sqrt[4]{{4{x^2}{y^2}}} \Rightarrow {x^2}{y^2} \le \frac{1}{4} \Rightarrow xy \ge \frac{{ - 1}}{2}\]
Tới đây coi như xong

[dark templar]

Thêm 1 bài góp vui
Bài 290: Cho $x,y,z \in [1;3]$.Chứng minh rằng:
$$(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right) \le \frac{35}{3}$$

[Ispectorgadget]

Thêm 1 bài góp vui
Bài 290: Cho $x,y,z \in [1;3]$.Chứng minh rằng:
$$(x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right) \le \frac{35}{3}$$

Ủa hình như 2 bài này khác nhau hả anh?

Cho x,y,z thuộc [1,3]

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})\leq 12$
Do $x,y,z \in \left[ {1;3} \right]$ nên $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 \leqslant 0 \Leftrightarrow x + \dfrac{3}{x} \leqslant 4$

Tương tự, ta có: $y + \dfrac{3}{y} \leqslant 4\,\,\,,\,\,\,\,\,\,z + \dfrac{3}{z} \leqslant 4$. Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12$$
Mặt khác, theo BĐT AM - GM :$$x + y + z + 3\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \geqslant 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} $$
$$\Rightarrow 2\sqrt {3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)} \leqslant 12 \Leftrightarrow 3\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 36$$
$$\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \leqslant 12\,\,\,\,đpcm$$

[dark templar]

2 bài này đẳng thức xảy ra khác nhau.Mà hiển nhiên là bài anh cho chặt hơn bài của anh Thành rồi

[vietfrog]

Bài anh Thành có xảy ra dấu = đâu?
Với cách chứng minh đó thì dấu bằng xảy ra tại $x;y;z \in \left\{ {1;3} \right\}$.
Dễ thấy không có bộ số nào thỏa mãn.
Theo anh, cách chứng đó phù hợp với bài của Phúc.
$x=y=1;z=3$ hoặc $x=y=3;z=1$ ra VP của Phúc

[Nguyễn Hữu Huy]

Bài 287: Cho x,y,z là các số thực dương xyz=1
CMR: $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$

Gọi ẩn !
$x = \dfrac{a}{b}$

$y = \dfrac{b}{c}$

$z = \dfrac{c}{a}$

$VT \Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{a^2 + 2b^2} \leq \sum \dfrac{ab}{2ab + b^2} = \dfrac{3}{2} - \sum \dfrac{b}{2(2a + b)} = \dfrac{3}{2} - \sum \dfrac{b^2}{4ab + 2b^2} \leq \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1$

[Nguyễn Hữu Huy]

Topic này dừng được 1 tuần rồi
Bài 288: Cho 2 số thực x,y ( x khác 0) thỏa $8x^2+y^2+\frac{1}{4x^2}=4$
Xác định x,y để tích xy đạt GTNN
Đề thi HSG lớp 9 tính Thừa Thiên Huế
Bài 289: Cho các số thực a,b,c thuộc $(0;2)$. CMR có ít nhất 1 trong 3 bất đẳng thức sau là sai
$a(2-b)>1;b(2-c)>1;c(2-a)>1$

Bài 289 :
Từ gt suy ra
$abc(2 -a)(2 - b)(2 -c) > 1$

$a(2 - a) = -a^2 + 2a < 1$

Nhân 3 vế vào thì thấy liền điều vô lý => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 05-03-2012 - 17:44

[Ispectorgadget]

Bài anh Thành có xảy ra dấu = đâu?
Với cách chứng minh đó thì dấu bằng xảy ra tại $x;y;z \in \left\{ {1;3} \right\}$.
Dễ thấy không có bộ số nào thỏa mãn.
Theo anh, cách chứng đó phù hợp với bài của Phúc.
$x=y=1;z=3$ hoặc $x=y=3;z=1$ ra VP của Phúc

Nếu được anh chứng minh dùm em được không

[yeutoan11]

Lúc mới vào thì ghiền cái topic này nhất mà sao giờ chán thế
291 Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác
CMR : $\frac{a^4}{b+c} + \frac{b^4}{c+a} +\frac{c^4}{a+b} < 2(a^2b+b^2c+c^2a)$

[Ispectorgadget]

Bài 292: Cho các số a,b,c thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

[Nguyễn Hữu Huy]

Bài 292: Cho các số a,b,c thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

$VT + a + b + c \geq 2VP$

Mà $VP \geq a + b +c$ (theo schwarz)

suy ra điều phải minh chứng ! hjhjhj

[Junz]

Góp vui 1 chút.
Bài 293
$a,b,c,d\geqslant 0$. Chứng minh
$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geqslant 2$

[Ispectorgadget]

Góp vui 1 chút.
Bài 293
$a,b,c,d\geqslant 0$. Chứng minh
$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+d}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geqslant 2$

$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$
Chứng minh tương tự rồi cộng lại ta có:
$VT\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2$
Đẳng thức không xảy ra .$\blacksquare$