Hàm dưới dấu tích phân là $\tan^2\left( \frac{x}{2}\right)$ nên việc tính toán không có vấn đề gì!
An Infinitesimal nội dung
Có 155 mục bởi An Infinitesimal (Tìm giới hạn từ 12-05-2020)
#704924 $$\int_{0}^{\frac{\pi }...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 04-04-2018 - 22:37 trong Giải tích
#704926 $$\int_{0}^{9}\sqrt{1+ \sqr...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 04-04-2018 - 22:41 trong Giải tích
Đặt $u$ là hàm đưới dấu tích phân. Khi đó, chuyển sang biến $u$, ta nhận được tích phân hàm đa thức.
#713162 $\displaystyle \lim_{x\to 0}(\displaystyle...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 24-07-2018 - 18:42 trong Giải tích
Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!
Nháp:
Ta có
$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$
$A^n-E=B+ \sum_{k=2}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$
Sao lại tiến về ma trận không?
Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!
Nháp:
Ta có
$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$
$A^n-E= \sum_{k=1}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$
Đặt $S_n= E+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}B^k.$
Nhận xét:
1) Dãy $\left\{S_n\right\}$ hội tụ về $S:=e^{B}.$
2) Dãy $\left\{A^n-S_n\right\}$ hội tụ về $0.$
(Cần kiểm tra 2.)
$A^n-S_n= \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(\displaystyle\prod_{i=1}^{n-k}(1-\frac{k}{n})-1\right)B^k.$
#713051 $\displaystyle \lim_{x\to 0}(\displaystyle...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 22-07-2018 - 21:04 trong Giải tích
Tìm
$\displaystyle \lim_{x\to 0}(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\dfrac{1}{x}(A^n-E)))$
trong đó $E$ là ma trận đơn vị
và $A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}, n \in \mathbb{N^*}$
Giới hạn bên trong tiến về ma trân không (ma trận vuông cấp 2).
#703301 $\displaystyle {{U}_{n+1}}=\sqrt...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 11-03-2018 - 19:21 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy số $U_n$ được xác định bởi $(1)$ và $(2)$
Tính giới hạn $U_n$:
$(1)$ $u_1=1$
$(2)$ $\displaystyle {{U}_{n+1}}=\sqrt{{{U}_{n}}^{2}+\frac{2n+1}{{{2}^{n}}}}$ $n\geq 1$
$u_{n+1}^2+a_{n+1}=u_n^2+a_n$, trong đó $a_{n}=\frac{4n+6}{2^n}.$
...
#702284 $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 25-02-2018 - 21:26 trong Dãy số - Giới hạn
xin lỗi bạn mình đã sửa
Đề câu thứ nhất nên là tồn tại duy nhất nghiệm trong $ (0,1).$
#702235 $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 25-02-2018 - 13:11 trong Dãy số - Giới hạn
Cho phương trình; $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-2}+...+\frac{1}{x^{n}-n}=0$
a) chứng minh rằng $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ phương trình có nghiệm $x_{n}\in (0;1)$
b) tìm lim Un
Không hề chăm chút cho đề gì cả!
#707377 $\frac{U_{n+2}}{n+2}=\frac{...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 30-04-2018 - 12:25 trong Dãy số - Giới hạn
Cho $\left \{ U_n \right \}$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} & U_1=2013, U_2=2026 & \\ & \frac{U_{n+2}}{n+2}=\frac{U_{n+1}}{n+1}+\frac{2U_n}{n} & \end{matrix}\right.$. Tìm $lim\frac{U_n}{U_{n-1}}$
Giải dãy truy hồi tuyến tính $\left\{ \frac{u_n}{n}\right\}$ để tìm $u_n.$
#716792 $\int_{0}^{2} \frac{x.sin(x)}...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 21-10-2018 - 20:35 trong Tích phân - Nguyên hàm
$\int_{0}^{2} \frac{x.sin(x)}{1+2cos(x)^2}dx$
Basara nên xem lại đề.
#717816 $\left [ f(ax+b) \right ]^{(n)}=a^{n}f^...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 25-11-2018 - 18:19 trong Giải tích
Chứng minh rằng nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp n thì:
$\left [ f(ax+b) \right ]^{(n)}=a^{n}f^{(n)}(ax+b)$
Dùng quy nạp sẽ thu được đpcm!
#721721 $\left\{ \begin{array}{l} y + x...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 28-04-2019 - 12:16 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
b) $\left\{ \begin{array}{l}
y + xy^2 = - 6x^2 \\
1 + x^3 y^3 = 19x^3 \\
\end{array} \right.$
Hiển nhiên $x\neq 0,$ từ phương trình thứ nhất chia $x^2$ hai vế, từ phương trình thứ hai chia $x^3$ hai vế ta có hệ phương trình đối xứng loại 1 đối với $u=\frac{1}{x}$ và $y.$
#721720 $\left\{ \begin{array}{l} y + x...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 28-04-2019 - 12:14 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
a) $\left\{ \begin{array}{l}
2y(x^2 - y^2 ) = 3x \\
x(x^2 + y^2 ) = 10y \\
\end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l}
y + xy^2 = - 6x^2 \\
1 + x^3 y^3 = 19x^3 \\
\end{array} \right.$c) $\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + 1 + y^2 + xy = y \\
x + y - 2 = \frac{y}{{1 + x^2 }} \\
\end{array} \right.$
Bài a)
Vì $2y(x^2 - y^2 ) = 3x$ và $ 10y=x(x^2 + y^2 ) $ nên 20y^2(x^2-y^2)=3x^2(x^2+y^2)
#703299 $\left\{\begin{matrix} & U_1=2 &...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 11-03-2018 - 18:59 trong Dãy số - Giới hạn
Tìm công thức tổng quát của $\left \{ U_n \right \}$ thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} & U_1=2 & \\ & n^2U_n=U_1+U_2+...+U_n & \end{matrix}\right.$ .
#701974 $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 23:17 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Thêm một hướng tiếp cận khác: Hệ này là hệ phương trình đẳng cấp.
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0\\ 5x^2+5y^2+2xy+5x+13y=0\\ \end{matrix}\right.$
P/s: Bài này mình có thấy một lời giải là pt (1) + pt(2).3 nhưng mình vẫn không hiểu được làm sao để biết nhân 3 vào 2 vế pt (2). Nếu các bạn cũng giải theo cách như vậy thì giải thích giúp mình với ạ!!
Đổi biến $x=\frac{u+v}{2}, y=\frac{u-v}{2}.$
Hệ phương trình tương đương
$\left\{\begin{matrix} u^3 - v^3 + 35=0\\ 3u^2 + 9u + 2v^2 - 4v=0.\end{matrix}\right.$
Liên kết với $(u+3)^3, (v-2)^3$, ta sử dụng: $PT1+3\times PT(2)$: $(u+3)^3-(v-2)^3=0.$
Phần còn lại không phức tạp mấy!
#701959 $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 21:36 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2y+2y^3+35=0\\ 5x^2+5y^2+2xy+5x+13y=0\\ \end{matrix}\right.$
P/s: Bài này mình có thấy một lời giải là pt (1) + pt(2).3 nhưng mình vẫn không hiểu được làm sao để biết nhân 3 vào 2 vế pt (2). Nếu các bạn cũng giải theo cách như vậy thì giải thích giúp mình với ạ!!
Thêm một hướng tiếp cận khác: Hệ này là hệ phương trình đẳng cấp.
#701743 $\left\{\begin{matrix} u_{1}=201...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 17-02-2018 - 12:12 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy số $\begin{Bmatrix} u_{n} \end{Bmatrix}$ được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2011\\ u_{n-1}=n^{2}(u_{n-1}-u_{n}) \end{matrix}\right.$ với mọi $n\epsilon N^{*}, n\geq 2$
Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Ta có
\[u_{n}= \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}u_{n-1}= \dfrac{\displaystyle \prod_{k=2}^n (k-1) \prod_{\ell =2}^n (\ell+1)}{\displaystyle\prod_{k=2}^n k^2} u_1=\dfrac{\displaystyle 2(n+1) }{4n^2} u_1.\]
Suy ra $\lim u_n=0. $
#701735 $\left\{\begin{matrix} u_{1}=201...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 17-02-2018 - 09:50 trong Dãy số - Giới hạn
Xét $u_{n-1}=n^2(u_{n-1}-u_{n})\Leftrightarrow u_{n}=(\frac{n^2-1}{n^2})u_{n-1}$
Vậy ${u_{n}}$ là cấp số nhân với công bội $q=\frac{n^2-1}{n^2}$
CTTQ của dãy số là $u_{n}=(\frac{n^2-1}{n^2})^{n-1}2011$
$\Rightarrow lim_{u_{n}}=lim(\frac{n^2-1}{n^2})^{n-1}.lim(2011)=0$
P/s: Cách CM 1 dãy số có giới hạn theo định nghĩa nhìn loạn lắm, nếu bạn thi HSG thì hỏi người khác, còn thi THPT QG thì không cần quan tâm chi cho mệt , mình thì biết tính chứ CM thì mù
Làm sai vì không chú ý đến "cấp số nhân"!
#701736 $\left\{\begin{matrix} u_{1}=a;...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 17-02-2018 - 10:00 trong Dãy số - Giới hạn
Cho các số thực a, b (a>b) và hai dãy số $\begin{Bmatrix} u_{n} \end{Bmatrix}$ và $\begin{Bmatrix} v_{n} \end{Bmatrix}$ xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a; v_{1}=b\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}+v_{n}}{2}; v_{n+1}=\sqrt{u_{n}v_{n}} \end{matrix}\right.$ với mọi $n\in N^{*}$
Chứng minh rằng hai dãy trên co giới hạn hữu hạn và $\limu_{n}=\lim v_{n}$
Một số nhận xét dẫn đến lời giải cho bài toán:
1) Dùng qui nạp và bất đẳng thức Cauchy, ta nhận được $u_n\ge v_n \forall n\in \mathbb{N},$
2) Từ 1), ta thu được $ \left\{u_n\right\} $ là dãy giảm bị chặn dưới bởi $v_1=b$ và $\left\{v_n\right\}$ là dãy tăng bị chặn trên bởi $u_1=a.$
3) Từ 2), ta thu được cả hai dãy hội tụ. Từ hệ thức truy hồi $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$, ta suy ra hai dãy hội tụ về cùng giới hạn.
#703439 $\left\{\begin{matrix}U_{1}=1...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 13-03-2018 - 18:37 trong Dãy số - Giới hạn
Thử với $u_{n}=\cot \alpha_{n}, 0<\alpha_n<\frac{\pi}{2}. $
#701965 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 22:44 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
xet pt $(2) \iff 2x^2=2+2xy^3 \iff x^2-y^2=2xy^3 (3)$Nhận vế của pt$(1)$ voi $(3)\iff (x^2-y^2)(x^2+y^2)=4xy^3$................................................................................................
Tiếp cận này cho cần giải PT bậc 4 theo $t=\frac{x}{y}$ "đẹp".
Ngược lại, hướng tiếp cận bên dưới dẫn đến giải PT bậc 4 khó hơn!
Đặt $a=x^2, b=y^2$, Hệ không hoàn toàn theo $a, b:$
\begin{cases} \begin{matrix} a+b=2,\\ a-xy b=1. \end{matrix}\end{cases}
Khi đó, $a=\frac{2 xy + 1}{xy + 1}, b=\frac{1}{xy+1}.$
Từ đó, ta dẫn về phương trình theo $xy$:
$(xy)^2=ab= \frac{2 xy + 1}{xy + 1}.\frac{1}{xy+1}.$
Đặt $t=xy,$ ta có
$$ t^4 + 2t^3 + t^2 - 2t - 1=0.$$
#702030 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 21-02-2018 - 20:06 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Cảm ơn huynh đài ^^!
Huynh có thể chỉ cho đệ rằng nếu gặp một số hệ khác đưa về pt t=x/y xấu thì có kinh nghiệm gì & phương pháp gì để giải không ạ ^^
Ví Dụ đệ gặp bài hệ này $\left\{\begin{matrix}
4x^2+y^2=5 & & \\
15y^4+y^4+12x^2y^2-40xy=0& &
\end{matrix}\right.$ đệ cũng đưa về đ.c đồng bậc 4 nhưng k bt làm thế nào nữa @[email protected]
Có phải em gõ nhầm ở PT thứ 2 không?
#702160 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 24-02-2018 - 02:08 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Đề đúng ạ ^^
$15y^4+y^4$???
#702720 $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=2 & & \...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 04-03-2018 - 07:30 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Dạ đúng là như vậy huynh ạ ^^
Hình như người ra đề không biết "cộng". Không biết $15+1=?$.
Từ phương trình thứ 2, ta thu được $y=0 \vee 4y^3+3xy^2-10x=0.$
TH1: $y=0$. Khi đó, $x=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
TH2: $4y^3+3xy^2-10x=0$. Kết hợp PT thứ nhất, ta được phương trình đẳng cấp
$4y^3+3xy^2-2x(4x^2+y^2)=0$.
Dễ thấy $x\neq 0$. Đặt $t=\frac{y}{x},$ ta thu được phương trình
$4t^3-2t^2+3t-8=0.$
Giải phương trình bậc ba theo cách giải tổng quát, ta thu được
\[t=\frac{\sqrt[3]{12 \sqrt{18633} + 1628}}{12} - \frac{\sqrt[3]{12 \sqrt{18633} - 1628}}{12} + \frac{1}{6}.\]
(Xấu thì làm theo "cách xấu" thôi!)
#707314 $\lim_{n\rightarrow+\infty }\left ( 1 -...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 29-04-2018 - 19:49 trong Dãy số - Giới hạn
Chưa rõ chỗ này, bạn giải thích thêm nhé.
Bài giới hạn trên mình có đọc được lời giải chi tiết, bạn giải như vậy không thể nhìn ra vấn đề tại sao lại rút gọn được vậy, bài này rút gọn khó nhận ra, từ đầu mình có nghĩ đến khai triển nhưng lại nhìn không ra.
1) Bạn có quen với BĐT $e^u \ge \frac{u^k}{k!}, \forall u>0, k\in \mathbb{N}.$
Khi đó, $3^n= e^{n\ln 3} \ge \frac{n^2\ln^2 3}{2!}.$
Do đó, \[\left|\frac{n}{3^n} \right| \le \frac{2}{n \ln^2 3}, \forall n\in \mathbb{N}.\]
Sử dụng định lý kẹp, ta suy ra đpcm.
Nếu không thì bạn dùng khai triển nhị thức Niuton và giữ lại số hạng thứ chứa mũ 2.
2)
Vì $1-\frac{1}{k^2}= \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} \forall k=\overline{2,n}$ nên
\[\prod_{k=2}^n \left( 1-\frac{1}{k^2}\right)=\dfrac{ \displaystyle \prod_{k=2}^n (k-1)\prod_{k=2}^n (k+1)}{\prod_{k=2}^nk^2}= \dfrac{(n-1)! . \frac{(n+1)!}{2}}{(n!)^2}=\frac{n+1}{2n}.\]
#707376 $(x_{n}):x_{1}=a,x_{n+1}=\frac{n(n+3)x_{n}+8}{(n+1)^{2}} (\for...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 30-04-2018 - 12:23 trong Dãy số - Giới hạn
Cho:($(x_{n}):x_{1}=a,x_{n+1}=\frac{n(n+3)x_{n}+8}{(n+1)^{2}} (\forall n\geq 1)$
1.Tìm Số hạng tổng quát
1.Tìm a để dãy hội tụ.Khi đó tính lim $x_{n}$
Đặt $v_n= x_n-(2n+6), \, n\in \mathbb{N}.$
Ta có $v_1=a-8, \, v_{n+1}= \frac{n(n+3)}{(n+1)^2}v_n, n\in \mathbb{N}.$
Suy ra $$ v_{n}= \frac{(n-1)!(n+2)}{2(n!)^2}v_1 =\frac{(n+1)(n+2)}{2n} v_1.$$
- Diễn đàn Toán học
- → An Infinitesimal nội dung