Mọi người tìm cho em càng nhiều cách cho bài này thì càng tốt nha (Em cần 3 cách)

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ sao cho $A= 30^{o}$. Trên tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ lấy M sao cho $AM=BC$. Tính $\widehat{ABM}$

Dựng  tam giác ABI đều(I nằm trên cùng một nửa mp bờ AB chứa C)

Gọi O là giao AC với BI

Cminh tam giác ABC=tam giác AIC(c.g.c)=> CI=BC=AM

và góc ACB=góc ACI

Tam giác ABI đều có AC là phân giác nên AC cũng là đường cao=>AC vuông với BI tại O

=>góc MAC=góc BIC

Cminh tam giác AMC=tam giác ICB(c.g.c)=>MC=BC=AM

=>tam giác AMC cân tại M=>góc MAC=góc MCA=15 độ

=>góc ABM=15 độ 

Mọi người tìm cho em càng nhiều cách cho bài này thì càng tốt nha (Em cần 3 cách)

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ sao cho $A= 30^{o}$. Trên tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ lấy M sao cho $AM=BC$. Tính $\widehat{ABM}$

Cách 2

Dựng ra ngoài tam giác ABC tam giác ABI đều

CMinh tam giác AIM=tam giác BAC(c.g.c)=>IM=AC=AB=IB=IAvà góc AIM=góc BAC=30 độ

CMinh tam giác IMB=tam giác IMC(c.g.c)=>AM=MB

=>góc ABM=góc BAM=15 độ

Các bạn làm 1 bài toán về bất đẳng thức tiếp nhé!

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh rằng:$\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}\leq \frac{9}{4}$

*Bổ đề $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx) $

Chứng minh:biến đổi tương đương

$BĐT\Leftrightarrow x^2y+y^2x+y^2z+z^2y+x^2z+z^2x\geq 6xyz$ (đúng theo Cauchy 6 số)

Ta có $\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}$

          $=\frac{x}{x(x+y+z)+yz}+\frac{y}{y(x+y+z)+xz}+\frac{z}{z(x+y+z)+xy}$

          $=\frac{x}{(x+y)(x+z)}+\frac{y}{(y+x)(y+z)}+\frac{z}{(z+x)(z+y)}$

          $=\frac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

          $=\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{2(xy+yz+zx)}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)}=\frac{9}{4} $

Dấu bằng xảy ra $x=y=z=\frac{1}{3} $

Các bạn ơi giải giúp mình bài toán cực trị:

Cho a,b,c>0 thỏa mãn biểu thức a+b+c=1.Chứng minh rằng 

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+}ac+\sqrt{c+ab}\leq 2$

Áp dụng AM-GM dạng $\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2} $

Ta có $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}$

          $=\sqrt{a(a+b+c)+bc}+\sqrt{b(a+b+c)+ac}+\sqrt{c(a+b+c)+ab}$

          $=\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(b+c)(b+a)}+\sqrt{(c+a)(c+b)}$

          $\leq \frac{a+b+a+c}{2}+\frac{b+a+b+c}{2}+\frac{c+a+c+b}{2}$

          $=\frac{4(a+b+c)}{2}=2 $

Dấu bằng xảy ra $a=b=c=\frac{1}{3} $

 

7/ Cho x,y>0 thỏa mãn x+y$\geq 5$. Tìm min P=$5x+4y+\frac{8}{x}+\frac{9}{y}$

$P=3x+3y+(2x+\frac{8}{x})+(y+\frac{9}{y} \geq 3(x+y) +2 \sqrt{2x.\frac{8}{x}}+2\sqrt{y.\frac{9}y{}}=29$

Dấu bằng xảy ra <=> x=2;y=3

Các bạn ơi giải giúp mình bài toán về bất đẳng thức :

Cho 3 số dương x,y,z có tổng =1.CM $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

Ta có  $ \sqrt{x+yz} $

           $=\sqrt{x(x+y+z)+yz}$

           $=\sqrt{(x+y)(x+z)}$

           $\geq \sqrt{(\sqrt{x}.\sqrt{x}+\sqrt{y}.\sqrt{z})^2}$ (Cauchy Schwarz)

           $=x+\sqrt{yz} $

$\Rightarrow \sqrt{x+yz}\geq x+\sqrt{yz}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng theo vế đươc

$VT\geq x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}= 1+\sqrt{yz}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}=VP$

=> đpcm

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3} $

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cùa $x^2+y^2$ .Biết $x^2+y^2-xy=4$

$4=x^2+y^2-xy\geq \frac{x^2+y^2}{2}\Rightarrow 8\geq x^2+y^2$.

Sao em tải về mà ko đọc được

Các bạn giải giúp mình 2 phương trình nghiệm nguyên này nhé !

a) $3x^{2}+4y^{2}=6x+13$

 

Ta có $PT\Leftrightarrow 4y^2=-3x^2+6x+13=-3(x-1)^2+16\leq 16 $

Nên suy ra $y^2\leq 4 $

Mà y nguyên nên $y^2\epsilon \left \{ 0;1;4 \right \}$

Tới đây thay vào phương trình tìm ra nghiệm

Giải phương trình nghiệm nguyên:

X²- XY + Y²  = 3

 Ta có $PT\Leftrightarrow \left ( x-\frac{1}{2} y\right )^2+\frac{3}{4}y^2=3$

           $\Rightarrow \frac{3}{4}y^2\leq 3$

           $\Leftrightarrow y^2\leq 4$

          $\Rightarrow y^2\epsilon \left \{ 1;-1;0;1;2 \right \}$

Đến đây xét các trường hợp

 

2, cho cac so abc không âm thoả mãn abc=1 cmr

       * (a+b)(b+c)(c+a) $\geqslant$2(a+b+c+1)

 

 

   

Ta có $VT=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)-1$

 Áp dụng bdt AM-GM cho 3 số ko âm=>$ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3$

                                                             $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

=>$VT\geq3(a+b+c)-1=2(a+b+c)+(a+b+c)-1\geq2(a+b+c)+3-1=2(a+b+c)+2=2(a+b+c+1)$

=>$VT\geqVP$<=> a=b=c=1

48. Cho a; b; c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh:

                        $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$

 

P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!

Áp dụng bất đẳng thức Iran 96 có

$(ab+bc+ca)\left ( \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(a+c)^2} \right )\geq \frac{9}{4}=>\left (  \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2} +\frac{1}{(a+c)^2}\right )\geq \frac{9}{4} $

Lại có $2\sum \frac{1}{(a+b)(b+c)}=\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4 $

=>$=>VT\geq \sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{5}{2} $

Dấu bằng xảy ra $<=>(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị

 

59. Cho a; b; c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

                        $\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$

 

 

P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!

Có $a^3+b^3 \geq a^2b+b^2a <=> (a-b)^2(a+b) \geq 0$

=>$\frac{a^3+b^3}{b^2}\geq \frac{a^2b+b^2a}{b^2}\Leftrightarrow \frac{a^3}{b^2}+b\geq \frac{a^2}{b}+a $

Thiết lập các BĐT tương tự cộng lại có đpcm

Cho a,b,c dương, abc=1.CMR:

   $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}\leq 1$

Câu 12

Trong cốc thủy tinh ko có nước, đồ uống, hỏi trong cốc có gì?

Câu 13:
1 ng` nhảy từ cửa sổ của tòa nhà 100 tầng xuống đất. Ặc!!!!!!!! Gió lồng lộng, hun hút, thổi vào người đó. Lá quốc kì trên nóc tòa nhà bị gió giật mạnh như dằng xé. Dưới đất ko có vật đệm nào, nhưng ng` đó chả bị thương, chả chết, tại sao lại thế? Biết rằng, khi ng` đó nhẩy xuống, đám đông phía dưới đã hét lên thảm thương, sau đó họ chạy tới ng` vừa nhảy…
 

12,có không khí

13,Người đó nhảy từ cửa sổ thấp nhất của tầng 1,lúc ấy trời nổi gió rất to nên gió thổi lồng lộng vào người ấy,còn mịo người hò hét vì có người khác nhảy từ tầng cao xuống và bị thương

Nhưng mọi người hò hét thảm thương thì mình ko nghĩ người nhảy từ tầng cao xuống đc toàn mang đâu

Bạn ơi cho mình hỏi đây là dạng nào của bất đẳng thức Bu-nhi-a?Bạn có thể viết công thức tổng quát cho mình không?

Mình chỉ biết một dạng Bu-nhi-a là: a+b$\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

Cám ơn nhiều 

*Với hai số $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \geq (ax+by)^2$

                 $\sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}\geq ax+by $

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

* Với 3 số $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq ax+by+cz\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z} $

*Với n số $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+...b_{n}^{2}) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_ {2}+a_{3}b_{3}+...a_{n} b_{n})^2 $

Các bạn giải giúp mình bài toán này nhé!

 

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x$\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$

Chứng minh rằng :$x^{2}+y^{2}=1$

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a có $VT=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y \leq \sqrt{(x^2+1-x^2)(1-y^2+y^2)}=1=VP $

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}\Leftrightarrow x^2y^2=(1-x^2)(1-y^2)\Leftrightarrow x^2+y^2=1 $

Vậy ta có đpcm

Ảnh thay cho lời nói  chú ý mình không có mặt trong ảnh đâu 

Tưởng chú là anh đeo cái gì xanh xanh ở tay :v

 

cho hỏi thêm bài này:

1. Trong tất cả các hình chữ nhật có chiều dài đường chéo không đổi bằng d,hãy tìm hình có diện tích lớn nhất?

 

Đặt độ dài 2 cạnh hcn là x,y=>$x^2+y^2=d^2$(py-ta-go)

=>$d^2=x^2+y^2\geq2xy=2S$

=>$S\leq\frac{d^2}{2}$

 

Bài toán 58. Cho $d$ là đường thẳng không cắt $(O)$ và $M\in d$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MC, MB$ đến $(O)$ ($B,C\in (O)$). Gọi $A$ là hình chiếu của $O$ trên $d$. $E, F$ lần lược là hình chiếu của $A$ trên $MB, MC$. Chứng minh $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi.

Gọi I,P lần lượt là giao điểm của OM , OA với CB

Hạ AK vuông góc với CB tại K

Do OCMB nội tiếp,OCMA nội tiếp nên CMAB nội tiếp

=>E,F,K thẳng hàng(đường thẳng Simson của tam giác CMB)

Ta có $\Delta OIP\sim \Delta OAM\rightarrow OI.OM=OP.OA $

          $\rightarrow OP=\frac{OI.OM}{OA}=\frac{OC^2}{OA}=\frac{r^2}{OA} $ không đổi (do CI là đường cao của tam giác OCM vuông tại C)

=>P là điểm cố định

Gọi H là giao của FE với OA

Do EAKB nội tiếp nên $\widehat{EKA}=\widehat{EBA} $

Do OMAB nội tiếp nên $\widehat{MBA}=\widehat{MOA} $

=>$\widehat{EKA}=\widehat{MOA} $

Lại có $OM//AK \rightarrow \widehat{MOA}=\widehat{HAK} $

=>$\widehat{HAK}=\widehat{HKA} $

Mà tam giác PKA vuông tại K

Nên H là trung điểm PA=>H cố định

Vậy FE đi qua H cố định

Họ tên:Đoàn Tiến Anh

Nick trên diễn đàn:Không có

Năm sinh: 1999

Hòm thư:[email protected]

Dự thi cấp:THPT

Họ tên :Vũ Tấn Khang

Nick trên diễn đàn:Không có

Năm sinh :2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp :THCS và THPT

Họ tên:Vũ Thị Vân Anh

Nick trên diễn đàn: Chung Anh

Năm sinh: 2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THCS,THPT

Mình đăng khí hộ bạn

Họ và tên:Doãn Trung Đức

Nick trong diễn đàn:Không có

Năm sinh:2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THCS và THPT