Giải phương trình: $\sqrt{(x^{2}+1)(x+3)(x^{4}+5)(x+7)}=\sqrt{(x+2)(x^{4}+4)(x+6)(x^{2}+8)}$
Element hero Neos nội dung
Có 949 mục bởi Element hero Neos (Tìm giới hạn từ 10-05-2020)
#598191 Giải phương trình bậc 4
Đã gửi bởi Element hero Neos on 13-11-2015 - 21:18 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
#598193 Giải phương trình bậc 4
Đã gửi bởi Element hero Neos on 13-11-2015 - 21:23 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Bạn làm thế nào mà nghĩ ra dòng cuối vậy?
Phân tích đa thức thành nhân tử (đây)
#604753 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 22-12-2015 - 21:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm GTLN $B=xy+yz+xz$
$B=xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3$
Dấu "=" xảy ra $\left\{\begin{matrix} x=y=z & & \\ x+y+z=3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1$
#598680 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 16-11-2015 - 20:45 trong Bất đẳng thức và cực trị
25/2 ko là 12,5 ak pạn?
hai cái đấy là 1 và đều được coi là đúng!
#598402 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 15-11-2015 - 09:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
#605801 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 28-12-2015 - 20:41 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này cực dễ luôn
Cho $x,y,z$ dương sao cho $xyz=1$
Tìm max $A=\sum_{cyc}\frac{xy}{x^{5}+y^{5}+xy}$
#605806 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 28-12-2015 - 20:52 trong Bất đẳng thức và cực trị
mk chưa học về $\sum$ nha bạn! bạn ghi rõ dc ko
Mình cũng đã học đâu,đọc tài liệu thì biết thôi!
Cho $x,y,z$ dương thoả mãn $xyz=1$
Tìm max $A=\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}$
#609124 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 15-01-2016 - 19:41 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a+b+c=3$. Chứng minh: $\sum \frac{2\sqrt{2(a+b^{2})}}{3}\geq \sum\frac{2(b^{2}+b)}{9a}+\frac{8}{3}$
#606873 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 03-01-2016 - 08:12 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho mình hỏi ở cách 2 làm sao bạn có thể nghĩ đến tổng 3 bình phương như thế này
Còn đề gốc của nó làm thế nào bạn?
Chẳng phải ở đề bài câu này là tổng 3 bình phương sao?
#605816 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 28-12-2015 - 21:02 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ô! Bài này là đề thi GV giỏi trường em! Em làm thế này ko biết đúng ko?
Áp dụng BĐT $x^5+y^5\geq xy(x^3+y^3)$ và $x^3+y^3\geq xy(x+y)$ vào ta được:
$A\leq \sum \frac{ab}{ab(a^3+b^3)+ab}=\sum \frac{abc}{abc(a^3+b^3)+abc}= \sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+1}=\sum \frac{c}{abc(a+b)+c}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
Nó là bổ đề chứ không phải bđt và nó cần được chứng minh trước khi áp dụng
#605808 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 28-12-2015 - 20:55 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng BĐT schwarz, Cauchy có:
$\frac{1}{x^{3}(zy+zt+yt)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+xt)}+\frac{1}{z^{3}(xy+yt+xt)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+xz)}= \frac{\frac{1}{x^2}}{x(zy+zt+yt)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y(xz+zt+xt)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z(xy+yt+xt)}+\frac{\frac{1}{t^2}}{t(xy+yz+xz)}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{(xyz+xzt+xyt+yzt)^2}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{xyz+xzt+xyt+yzt}{3}\geq$ $\frac{4\sqrt[3]{(xyzt)^3}}{3}$ $=\frac{4}{3}$
Chỗ màu đỏ đã sai, phải là căn bậc $4$ mới đúng
#597892 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 11-11-2015 - 21:45 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho a,b,c>0.CMR$\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$
áp dụng bổ đề $(a+b)^{3}\geq ab(a+b)$
#597888 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 11-11-2015 - 21:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho a,b,c>0.CMR$\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$
Gợi ý: áp dụng bổ đề $(a+b)^{3}\geq ab(a+b)$
#589614 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 18-09-2015 - 15:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
ở đây có nè!
#589615 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 18-09-2015 - 15:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y,z>0 thỏa xyz=1. Tìm GTLN của $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}$
Bài trên có phải bài toán đảo của bài này không nhỉ?
#587802 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 07-09-2015 - 17:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh : $\frac{a^{3} - b^{3}}{\left ( a - b \right )^{3}} + \frac{b^{3} - c^{3}}{\left ( b - c \right )^{3}} + \frac{c^{3} - a^{3}}{\left ( c - a \right )^{3}} \geq \frac{9}{4}$ với $a , b , c$ từng đôi khác nhau
từng đôi khác nhau là sao?
#587801 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 07-09-2015 - 17:19 trong Bất đẳng thức và cực trị
Mình mở ra một topic mới để cùng mọi người trao đôit kinh nghiệm về BĐT. Lần này các bài toán dành cho THCS, 1 phần cũng dành cho các anh chị THPT. Đầu tiên xin nói lại về các BĐT để sử dụng truong topic này .
1. Bất đẳng thức Cô si (AM-GM): Với m số không âm $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ ta có:
$a_{1}+a_{2}+...+a_{m}\geq m\sqrt[m]{a_{1}a_{2}...a_{m}}$. Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}.$
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy - Schwazs): với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{m}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{m}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^{2}$
Đẳng thức xảy ra khi : $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ bất kì và $b_{1},b_{2},...,b_{m}\geq 0$ ta có :
$\dfrac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+...+\dfrac{a_{m}^{2}}{b_{m}}\geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}.$Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
4.Bất đẳng thức Mincopxki (Mincowski): Với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{m})^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi :$\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
5. Bất đẳng thức Holder: Xin chỉ nêu trường hợp dùng nhiều nhất , ko nêu dạng tổng quát:
Cho $a,b,c,x,y,z,m,n,p>0$ thì BĐT sau đúng : $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}.$
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
6. Bất đẳng thức Schur: Dạng tổng quát:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $t > 0$ ta có : $a^{t}(a-b)(a-c)+b^{t}(b-c)(b-a)+c^{t}(c-a)(c-b)\geq 0.$
Đẳng thức xảy ra khi : $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: $t=1$ và $t=2$
$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$ .
Trong trường hợp $t=1$ thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a).$
$4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{3}+9abc.$
Hệ quả rất thông dụng: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc.$
Với $t=2$ ta có dạng quen thuộc hơn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)$.
7. Bất đẳng thức Trêbưsep Chebyshev): Với $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{m}$ thì:
$m(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{n}+...+a_{m}b_{m})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{m})(b_{1}+b_{2}+...+b_{m}).$
Đẳng thức xảy ra khi : $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}$ và $ b_{1}=b_{2}=...=b_{m}.$
Nếu $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $ b_{1}\leq b_{2}\leq ...\leq b_{m}$ thì BĐT trên đổi chiều.
8. Bất đẳng thức Nét bít (Nesbitt): Mình chỉ nêu ra 2TH hay dùng nhất đối với THCS :
BĐT Nesbitt 3 biến : Với $ a,b,c >0$ thì $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}.$
BĐT Nesbitt 4 biến : với $a,b,c,d >0$ thì :$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a} +\dfrac{d}{a+b}\geq 2.$
ĐẲng thức xẩy ra khi các biến bằng nhau.
9. Các hằng bất đẳng thức thường dùng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$ và $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac).$
$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+...+\dfrac{1}{a_{m}}\geq \dfrac{m^{2}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}$ ( với $a_{i}>0$)
$\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{n}$ (Với $a+b\geq 0$ và $n\in N*$)
$a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}.b^{n}+a^{n}.b^{m}.$
Còn rất nhiều BĐT nữa nhưng ở mức độ THCS mình chỉ nêu ra như vậy thôi.
P\s: Các anh chị THPT không giải bài của THCS, mà các anh chị sẽ có bài riêng dành cho mình để làm. Mong các bạn hưởng ứng. Cảm ơn.
Hero Math _ Hiếu.
Thế còn phương pháp dùng hàm số thì sao?
#585220 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 26-08-2015 - 21:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b} + \frac{b^{2}+c^{2}}{b+c} + \frac{c^{2}+a^{2}}{c+a} \leq \frac{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$
Bài này dùng C.B.S dạng cộng mẫu là ra!
#596417 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 01-11-2015 - 15:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này đã có lời giải trên tạp chí TTT
Sau đây mình xin trình bày cách khác
$A=\frac{x^{2}+12}{x+y}+y+x-x \geq 2\sqrt{\frac{x^{2}+12}{x+y}.(x+y)}-x=2\sqrt{x^{2}+12}-x$
Dự đoán $Min A=6$ $\Leftrightarrow x=y=2$
Ta cần chứng minh: $2\sqrt{x^{2}+12}-x \geq 6$
$\leftrightarrow 4x^{2}+48 \geq (x+6)^{2}$
$\leftrightarrow 3(x-2)^{2} \geq 0$ :Đúng
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=2$
cơ sở đâu để dự đoán được min
#596442 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 01-11-2015 - 16:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bấm máy thôi bạn
Giả sử min ở dạng vô tỷ thì làm thế nào?
#597887 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 11-11-2015 - 21:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác thỏa mãn
$\frac{c^{2013}}{a+b-c}+\frac{b^{2013}}{a-b+c}+\frac{a^{2013}}{b+c-a}=a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}$
chứng minh tam giác đó là tam giác đều
Chuyển vế, rút $a^{2012},b^{2012},c^{2012}$ ra được $\left\{\begin{matrix} a=b & \\ b=c & \\ c=a & \end{matrix}\right.$
Vậy ta có đpcm
#597884 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 11-11-2015 - 21:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x,y thỏa mãn $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4$ (x khác 0)
Tìm min xy.
Bài trên gần giống bài này
#597755 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 10-11-2015 - 21:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho$x,y> 0,x+y=1.tìm GTNN của$
$A=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{y} \right )^{2}$
MinA=$\frac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
#596443 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 01-11-2015 - 16:07 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có:$\large A \doteq \frac{X^{4}-2x^{2}+1 +2x^{2}}{ x(x^{2}-1)}\doteq \frac{X^{2}-1}{x}+\frac{2x}{x^{2}-1}$
Do x$\large \geq 1$ nên ad bất đẳng thức cô si cho 2 số dương$\large \frac{x^{2}-1}{x}$ và$\large \frac{2x}{x^{2}-1}$ ta có:
$\large \frac{x^{2}-1}{x} +\frac{2x}{x^{2}+1}\geq 2\sqrt{2}$
Dấu '=' xảy ra $\large \Leftrightarrow \frac{x^{2}-1}{x}\doteq \frac{2x}{x^{2}-1}\Leftrightarrow x^{4}-4x+1 \doteq 0 \Leftrightarrow x=\sqrt{2+\sqrt{3}} \left \langle x\geq 1 \right \rangle$
Vậy Amin = $\large 2\sqrt{2}$ tại x= $\large \sqrt{2+\sqrt{3}}$
Dòng 3, mẫu của số thứ 2 phải là $x^{2}-1$ chứ
#585218 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Element hero Neos on 26-08-2015 - 21:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1 dấu "=" xảy ra khi nào?
- Diễn đàn Toán học
- → Element hero Neos nội dung