vd 1( mình chỉ có thể mò nghiệm rồi giải thôi)

$x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 10x+3 =0 \\\Leftrightarrow x^4 + 3x^3 + x^2 + x^3 + 3x^2 + x + 3x^2 +9x+3=0 \\\Leftrightarrow x^2(x^2+3x+1) + x(x^2+3x+1) + 3(x^2+3x+1)=0 \\\Leftrightarrow (x^2+x+3)(x^2+3x+1)=0 \\\Leftrightarrow x^2+3x+1=0 \\\Leftrightarrow x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2};x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$

$P= \frac{a^4}{a^3+a^3bc} + \frac{b^4}{b^3+b^3ac} + \frac{c^4}{c^3+c^3ab}\\ \Leftrightarrow P \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+a^3bc+b^3ac+c^3ab}\geq\frac{1}{a^3+b^3+c^3+abc}$

làm tới đây rồi sao nữa vậy ??? (chắc không ra do a khác b khác c)

còn có thể nhân cả tử cả mẫu của \frac{a}{1+bc} với a^{3} rồi dùng bất đẳng thức Cauchy Schwarz

Đặt $\sqrt{1+x^2}=a$ , $\sqrt{1-x^2}=b$ , ĐKXĐ : Nhác tìm , bạn chịu khó nhé       
Pt tương đương :
$4a-2b-ab=2a^2-b^2$
$\Leftrightarrow -(2a-b)(-2+a+b)=0$
Vậy suy ra $b=2a$ hoặc $b=2-a$
Đến đây bạn tự làm tiếp vậy 
P/s : Không biết có đúng không nữa     

bạn có ghi dư dấu - không vậy??? chỗ $ -(2a-b)(-2+a+b)=0$

đền bước $\leq 2(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1})$

bạn chỉ cần chứng minh $\frac {1}{x^2+1}+ \frac{1}{y^2+1}\leq \frac{2}{xy+1}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{y^2+1}-\frac{1}{xy+1}\leq 0\\ \Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\leq0$

do $xy \leq0$ nên ta được đpcm

bạn tự khai triển nha, phần đó không khó, quy đồng rồi đặt nhân tử

bài này bạn có thể dùng tính chất của hàm số bậc nhất, không biết đúng không:

không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y \geq z$, khi đó $x \geq \frac{1}{3}; y+z \leq \frac{2}{3};\\$

khi đó $P= x^2 + y^2 +z^2 + 4xyz =(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+4xyz\\=1+2x(2yz-y-z)-2yz$.

đặt $f(x)=2x(2yz-y-z)-2yz+1$

xét $2yz-y-z=0$, khi đó $2yz=y+z\leq 2.\frac {(y+z)^2}{4}\Leftrightarrow (y+z) \leq \frac{(y+z)^2}{2}\Leftrightarrow (y+z)^2-2(y+z)\geq 0\Leftrightarrow (y+z)\geq 2; (y+z)\leq 0$; mà $0\leq (y+z)\leq\frac{2}{3}$ nên $2yz-y-z\neq 0$, xét $f(\frac{1}{3})= \frac{-2}{3}.(y+z+yz)+1\geq\frac{-2}{3}.(\frac{2}{3}+\frac{(y+z)^2}{4})+1\geq\frac{13}{27}$, đạt $min = \frac{13}{27}$, tương tự tại $x=1$ thì  $f(1)=1$ đạt $min = 1$.

mà do hàm bậc nhất, có dạng đường thằng, nên min hoặc max luôn ở tại biên (thì phải ) nên giá trị nhỏ nhất là $\frac{13}{27}$ tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

Cho $x,y \epsilon \mathbb{R}$ thỏa điều kiện : $x^2+xy+y^2\leq3$. Chứng minh :

$-4\sqrt{3}-3\leq x^2-xy-3y^2\leq 4\sqrt{3}-3$

0<=x,y<=1 mà bạn, làm gì có thể nào xy<=0??

ghi lộn bạn ơi thì $xy\leq1$

đề đầy đủ là sao bạn ??? mình ghi ra thấy nó sao sao á

Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất:

$P= \frac{\sqrt{1+2 cos^2A}}{sinB}+ \frac{\sqrt{1+2cos^2B}}{sinC}+ \frac{\sqrt{1+2cos^2C}}{sinA}$

Áp dụng C-S , ta có

A $\geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{3(ab + bc + cd + da)} = \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{3} \geq \frac{(ab + bc + cd + da)^2}{3} = \frac{1}{3}$

Dấu = xảy ra <=> a = b = c = d = $\sqrt{\frac{1}{3}}$

sai rồi bạn ơi

Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh :

$\frac{1}{a^4+b^4+c^4+abcd}+\frac{1}{b^4+c^4+d^4+abcd}+\frac{1}{c^4+d^4+a^4+abcd}+\frac{1}{d^4+a^4+b^4+abcd}\leq \frac{1}{abcd}$

$\left\{\begin{matrix} (x+y)^2+y=3 \\ 2(x^2+y^2+xy)+x=5 \end{matrix}\right. \\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(x+y)^2+2y=6 \\2(x+y)^2+x-2xy=5 \end{matrix}\right.$

Lấy $(1)-(2)$ ta được$2y-x+2xy=1 \\ \Leftrightarrow (2y-1)(x+1)=0$, đến đây làm từng trường hợp.

với $x=-1$ giải ra $x=-1;y=2$ hoặc $x=-1;y=-1$, cái còn lại bạn tự làm nha , ra là $x= \pm \sqrt\frac{5}{2}-\frac{1}{2}; y = \frac{1}{2}$

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh :

$\frac {a^2}{b}+\frac {b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \sqrt{a^2-ab+b^2} + \sqrt{b^2-bc+C^2} +\sqrt{c^2-ca+a^2}$

bài này mình dùng xét khoảng   không biết đúng không nha:

Với $x \leq 3$, lúc đó $P = (3-x) + (5-x) (7-x) = 15-3x$, đạt min tại $x=3$, khi đó $P=6$

Với $3 \leq x \leq5$, lúc đó $P = (x-3) + (5-x) + (7-x)=9-x$, đạt min tại $x=5$, khi đó $P=4$

Tương tự xét các khoảng còn lại, suy ra giá trị min của $P = 4$ khi $x=5$

bài 1: $S = (4x^2+3y)(4y^2+3x) +25xy\\ =16(xy)^2 + 12(x^3+y^3) +34xy\\=16(xy)^2+12[(x+y)(x^2-xy+y^2)]+34xy\\=16(xy)^2 +12 [(x+y)^2-3xy]+34xy\\ =16(xy)^2-2xy+12$

ta đánh giá $xy$, dễ thấy $xy\geq0$, áp dụng bất đẳng thức $Cauchy,\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\leq \frac{1}{4}$, vậy giá trị max và min đạt tại $xy=\frac{1}{16}$ và $xy=1/4$, (do đỉnh của hàm số thuộc khoảng này)

vậy $min =11,9375$ tại $x.y=\frac{1}{16} $ , còn $max=12,5$ khi $x=y=\frac{1}{2}$

thế giải thế nào vậy bạn ???, phân tích nhầm .

$P= (5^{25})^4+(5^{25})^3+(5^{25})^2+(5^{25})+1$, tới đây không biết làm sao ,mà hình như chia hết cho 11

cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=6$. tìm $Min$:

$P=\frac{a}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{b}{\sqrt{1+c^3}}+\frac{c}{\sqrt{1+a^3}}$

$\Leftrightarrow 3(x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x}) < 2(x-\frac{1}{x})(x^2+1+\frac{1}{x^2})\\\Leftrightarrow 3(x+\frac{1}{x})<2[(x+\frac{1}{x})^2-1]$

đặt $x+\frac{1}{x}=t\Rightarrow t>2$,(do$x>1$) khi đó $3t<2(t^2-1)\Leftrightarrow 2t^2-3t-2>0\Leftrightarrow t>2;t<-\frac{1}{2}$, mà $t>2$

vậy ta có $đpcm$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3xy^2=x^2y^2+2\\3yx^2=y^2x^2+2 \end{matrix}\right.$

lấy $(1)-(2)$, ta được $3xy(y-x)=0$. do $x,y\neq 0$ nên $x=y$, thay lại vào $(1)$, ta có:

$x^4-3x^3+2=0\Leftrightarrow x^3(x-1)-2(x^3-1)=0\Leftrightarrow (x-1)(x^3-2x^2-2x-2)=0$

ý bạn là tới đây khó?

Đúng rồi bạn, mình không giải quyết được pt bậc 3 đó bằng cách thủ công.

rồi, mình cũng không biết luôn

Cho $a,b >0$ và $a+b=2$. Tìm $Min$:

$P=\frac{1}{4a^2+2}+\frac{1}{4b^2+2}+\frac{1}{ab}$