Bài 70. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $9x^{2}+3y=y^{2}+8$

Ta có: $9x^{2}+3y=y^{2}+8\Leftrightarrow y^{2}-3y+8-9x^{2}=0(1)$

Xét phương trình $(1)$ có $\Delta =36x^{2}-23$

Để phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta$ là số chính phương 

Đặt $36x^{2}-23=t^{2}\Leftrightarrow (6x-t)(6x+t)=23$

Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $(6x-t)(6x+t)$ là tích $2$ số nguyên 

Mà $23$ viết thành tích $2$ số nguyên có các trương hợp là $23=1.23=-1.(-23)$

$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=1 & \\ 6x+t=23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ t=11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=-1 & \\ 6x+t=-23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ t=-11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có $4$ nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(2;-4);(2;7);(-2;-4);(-2;7)$

Bài 72:

Tìm $x,y,z$ nguyên để $xyz=x^{2}-2z+2$

Bài 26. Tìm nghiệm nguyên dương phương trình $$5(x+y+z+t)+15=2xyzt$$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z\geq t> 0$
phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2=\frac{5}{yzt}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{xyz}+\frac{15}{xyzt}\leq \frac{35}{t^{3}}$
$\Rightarrow t^{3}\leq \frac{35}{2}\Rightarrow t\leq 2\Rightarrow t\in \left \{ 1;2 \right \}$
+) Với $t=1$ ta có $2=\frac{5}{yz}+\frac{5}{xz}+\frac{5}{xy}+\frac{5}{xyz}+\frac{15}{xyz}\leq \frac{35}{z^{2}}$
$\Rightarrow z^{2}\leq \frac{35}{2}\Rightarrow z\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$
Với $z=1$ ta có $5(x+y)+25=2xy$$\Leftrightarrow (2x-5)(2y-5)=75\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5 & \\ y=10& \end{matrix}\right.$
hoặc $\left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=15 & \end{matrix}\right.$
Ta có nghiệm là $(5;10;1;1);(4;15;1;1)$ và tất cả các hoán vị của chúng
Với $z=2;z=3;z=4$ phương trình vô nghiệm nguyên dương
+) Với $t=2$ ta có $5(x+y+z)+25=4xyz$
$\Leftrightarrow 4=\frac{5}{xy}+\frac{5}{yz}+\frac{5}{xz}+\frac{25}{xyz}\leq \frac{40}{z^{2}}\Leftrightarrow z^{2}\leq 10\Leftrightarrow z\in \left \{ 1;2;3 \right \}$
Với $z=1$ ta có $t\leq z\Rightarrow t=1$ (vô lý)
Với $z=2$ ta có $(8x-5)(8y-5)=305$
Vì $x\geq y\geq z\geq t\geq 2$ nên $8x-5\geq 8y-5\geq 11$
Mà $305$ không viết được thành tích 2 số nguyên thỏa mãn ĐK trên
Vơi $z=3$ cũng không có số nguyên nào thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là $(5;10;1;1);(4;15;1;1)$ và tất cả các hoán vị của chúng

Bài 18. Tìm $x,y \in \mathbb{N}^*$ sao cho $6x+5y+18=2xy$.

Ta có phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2x(3-y)-5(3-y)=-23\Leftrightarrow (2x-5)(3-y)=-23$
Vì $x;y\in \mathbb{N}^{*}$ nên $(2x-5)(3-y)$ là tích 2 số nguyên
Mà $-23$ viết thành tích của 2 số nguyên có các trường hợp là $-23=1.(-23)=-1.23=23.(-1)=-23.1$
Tới đây thử các trường hợp ta tìm được phương trình có 2 nghiệm tự nhiên $(x;y)$ là $(3;26);(14;4)$

Nhận xét. Lời giải của bạn đang còn thiếu nghiệm. Bạn kiểm lại coi sao nhé!

Bài 16. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^4+4x^3+7x^2+6x+4=y^2$$

Mình xin giải bằng phương pháp kẹp:
Với $x< -2$ và $x> 0$ ta có: $(x^{2}+2x+1)^{2}< x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+4< (x^{2}+2x+2)^{2}$
$\Rightarrow (x^{2}+2x+1)^{2}< y^{2}< (x^{2}+2x+2)^{2}$
Nên trường hợp này không xảy ra
Suy ra $-2\leq x\leq 0$ và $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left \{ -2;-1;0 \right \}$
+) Với $x=-2$ ta có: $y=\pm 2$
+) Với $x=-1$ ta có $y=\sqrt{2}$ (không thỏa mãn)
+) Với $x=0$ ta có: $y=\pm 2$
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(-2;-2);(-2;2);(0;2);(0;-2)$

Bài 86 : Chứng minh rằng phương trình $x^{2}-2mx+2.1993^{1994}=0$ không có nghiệm nguyên với mọi số nguyên m

 

Ta có: $x^{2}-2mx+2.1993^{1994}=0(1)$

Xét phương trình $(1)$ có $\Delta '=m^{2}-2.1993^{1994}$

Ta có: $2.1993^{1994}\equiv 2(mod4)$

Vì $m^{2}$ là số chính phương nên ta có: $\begin{bmatrix} m^{2}\vdots 4 & \\ m^{2}\equiv 1(mod4) & \end{bmatrix}$

$\bigstar$ Nếu $m^{2}\vdots 4$ ta có: $\Delta '\equiv 2(mod4)$ nên $\Delta '$ không là số chính phương

$\bigstar$ Nếu $m^{2}\equiv 1(mod4)$ ta có: $\Delta '\equiv 3(mod4)$ nên $\Delta '$ không là số chính phương 

Vậy $\forall m\in \mathbb{Z}$ thì phương trình $(1)$ không có nghiệm nguyên

Chứng minh : $n^{4} - 14n^{3} + 71n^{2} - 154n + 120$ $\vdots$ $24$ với $n \in \mathbb{N}$.

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích đa thức đã cho thành
$(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$
Vì $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$ là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho 4; ít nhất 1 số chia hết cho 2 nên tích chia hết cho 8; ít nhất 1 số chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 3.
Mà $(3;8)=1$ nên $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\vdots 24$ (đpcm)

Chứng minh rằng :
$11^{10} - 1$ $\vdots$ $100$.

Ta có: $11^{10}-1=(11^{5}-1)(11^{5}+1)=10.(11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1).12.(11^{4}-11^{3}+11^{2}-11+1)$
Vì $11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1$ tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
$\Rightarrow 12(11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1)\vdots 10\Rightarrow dpcm$

thêm 1 cái nữa!

Hơi xấu zaj,mọi người đừng chê nhé!

Giải phương trình :
$\sqrt[n]{\left ( x + 1 \right )^{2}} - 3\sqrt[n]{\left ( x - 1 \right )^{2}} = -2\sqrt[n]{x^{2} - 1}$ (với $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$)

Rõ ràng $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình
Chia $2$ vế phương trình cho $\sqrt[n]{(x-1)^{2}}$ ta được
$\sqrt[n]{\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )^{2}}-3=-2.\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}$
Đặt $\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=y$
Ta có: $y^{2}-3=-2y\Leftrightarrow (y-1)(y+3)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=1\\ y=-3 \end{bmatrix}$
$+)\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=1\Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1}=1\Leftrightarrow 0x=-2$ (vô nghiệm)
$+)\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=-3$
$\bullet$ Với $n$ lẻ ta có: $\frac{x+1}{x-1}=(-3)^{n}\Leftrightarrow x=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}$
$\bullet$ Với $n$ lẻ thì vô nghiệm
Vậy nếu $n$ lẻ thì $x=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}$
nếu $n$ chẵn vô nghiệm.

Giải pt:$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{7-x}=3$

Đặt $\sqrt[3]{x+2}=a;\sqrt[3]{7-x}=b$, ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ a^{3}+b^{3}=9 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ ab=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} a=2 & \\ b=1 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

Từ đây tìm được $\left\{\begin{matrix} x=-1 & \\ x=6 & \end{matrix}\right.$

Em vote cho bạn khonggiadinh   

Đăng theo kiểu .jpg hoặc png nhé bạn, .bmp nặng lắm !

Đăng thế nào z chị? em đăng toàn ở dạng bmp nên không được!

em cũng xin đóng góp vài bài!
Bài 7:
Chứng minh rằng $x-\frac{x^{3}}{6}< sinx< x$ $(\forall x> 0)$
Bài 8:
Chứng minh rằng: Nếu $0< x< \frac{\pi}{2}$ thì $2^{\sin x}+2^{\tan x}\geq 2^{x+1}$

mn thấy có xinh k?

Mình xin đóng góp một đề:
ĐỀ 8: ĐỀ THI HSG TP Hồ Chí Minh
Năm học: 1989 - 1990
Vòng 1:
Bài 1: Cho hai số nguyên dương $a$ và $b$ ($a \geq b$) đều không chia hết cho $5$. Chứng minh rằng $a^4-b^4$ $\vdots$ $5$.

Vì 1 số chính phương khi chia cho 5 chỉ có 3 trường hợp là chia hết, dư 1 và dư 6
Mà a và b không chia hết cho 5 ; a và b bình đẳng nên $a^{4}$ và $b^{4}$ khi chia cho 5 luôn có 2 trường hợp
+) TH1: $a^{4}\equiv 1(mod5);b^{4}\equiv 1(mod5)\Rightarrow (a^{4}-b^{4})\vdots 5$
+) TH2: $a^{4}\equiv 1(mod5); b^{4}\equiv 6(mod5)\Rightarrow a^{4}-b^{4}\vdots 5$
Vậy...............

Họ tên: Trần Thiện Nam

Nick trong diễn đàn (nếu có): duaconcuachua98

Năm sinh: 1998

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THPT

 

 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 

$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

Cách khác: BĐT tương đương $\sum \frac{4}{1-c}\leq \sum \frac{1}{c}+9$

Ta chứng minh: $\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\leq 18c-3$ $(1)$

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 5c-1\leq -18c^{3}+21c^{2}-3c\Leftrightarrow 18c^{3}-21c^{2}+8c-1\leq 0\Leftrightarrow \left ( 3c-1 \right )^{2}(2c-1)\leq 0$

Do $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên $a+b>c\Leftrightarrow c< \frac{1}{2}$

Vậy bđt cơ sở là đúng 

Tương tự $\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\leq 18a-3$ và $\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\leq 18b-3$

Cộng 3 bđt lại suy ra đpcm 

Cho x=$\underset{2011 c/s 1}{11...1}$

        y=$1 \underset{2010 c/s 0}{00...0}5$

CMR $\sqrt{xy+1}$ là số tự nhiên

Ta có:$y=9x+6\Rightarrow xy+1=9x^{2}+6x+1=(3x+1)^{2}\Rightarrow \sqrt{xy+1}=3x+1=333...34(2010c/s3)$

Cặp đôi nào 98-99 thế ????

Là em đó ạ! mong mn ủng hộ nhiệt tình!

BGK cho em hỏi em có được thi toán văn ko ạ??
mà đề ở đâu z ah??

Cho em thi với ạ!
Trần Thiện Nam Nguyễn Lê Phương Anh

1/ Từ các chữ số 1;2;3;...;9 lập được bao nhiêu số tự nhiên , mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục,hàng trăm,hàng nghìn bằng 8.

 

Gọi tập hợp số cần tìm là $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$

Ta có: $8=1+3+4=1+2+5$ suy ra $a_{3},a_{4},a_{5}$ là hoán vị của $1,2,5$ hoặc $1,3,4$

Suy ra có 12 cách chọn $\overline{a_{3}a_{4}a_{5}}$

Với mỗi cách chọn $\overline{a_{3}a_{4}a_{5}}$ thì có $6$ cách chọn $a_{1}$ 

$5$ cách chọn $a_{2}$

$4$ cách chọn $a_{6}$

Vậy có tất cả $6.5.4.12=1440$ cách chọn