146)Cho $\Delta ABC$ vuông tại C có AB=c; AC=b; BC=a.Kẻ các trung tuyến AE và BF có độ dài là AE=m và BF=n. Đặt bán kính đường tròn nội tiếp là r. CMR:
a)$\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}< \frac{1}{20}$
b)Tìm GTLN của $\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}$

Đóng góp tí cho vui
151)Cho $\Delta ABC$ đều nội tiếp (O). M là 1 điểm thuộc cung nhỏ AC, D là giao điểm của CM và BA, E là giao điểm của BM và AC. CMR: Đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm cố định.

Áp dụng kết quả bài toán này là ra.

sao em thử trên máy thì không chính xác nhỉ
Kết quả đó chỉ đúng khi $a+b=c$

Tính $\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+...+\sqrt{\frac{1}{2011^{^{^{2}}}}+\frac{1}{2012^{2}}+\frac{1}{2013^{2}}}$

Mình xin chém bài 6 nha:

a)Dễ thấy K là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABD$ nên AK là p/g trong $\widehat{BAD}$  (1)

$\Delta ABD$ có BL là p/g trong $\widehat{ABD}$ và DL là p/g ngoài $\widehat{ADB}$ nên L là tâm đường tròn bàng tiếp $\widehat{ABD}$ của $\Delta ABD$ $\Rightarrow$ AL là p/g ngoài $\widehat{BAD}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AK\perp AL$ nên $\widehat{KAL}=90^{\circ}$

Mà DK, DL là p/g trong và ngoài $\widehat{ADB}$ nên $\widehat{KDL}=90^{\circ}$

Vậy AKDL nội tiếp đường tròn đường kính KL

b) Chứng minh dễ dàng $\widehat{AIC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{ABC}}{2}$

$\Delta AIJ$ cân tại J nên $\widehat{AJI}=180^{\circ}-2\widehat{AIJ}$

Tương tự $\widehat{CJI}=180^{\circ}-2\widehat{CIJ}$

$\Rightarrow$ $\widehat{AJC}=360^{\circ}-2\widehat{AIC}=360^{\circ}-2(90^{\circ}+\frac{\widehat{ABC}}{2})=180^{\circ}-\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{AJC}+\widehat{ABC}=180^{\circ}$

$\Rightarrow$ ABCJ nội tiếp

$\Rightarrow$ $J\epsilon (O)$ (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Mà $JA=JC$ (J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC)

$\Rightarrow$ BJ là p/g $\widehat{ABC}$

Mà BI cũng là p/g $\widehat{ABC}$

Vậy B,I,J thẳng hàng

Ai giải giúp mình bài 5 một cách dễ hiểu hơn được hem?

Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho $p^{2}+q^{2}+r^{2}$ cũng là số nguyên tố (dùng phương pháp thử chọn)

cho tam giác ABC đều nội tiếp (O)
M thuộc cung nhỏ BC
Chứng minh rằng: MA=MB+MC

lấy $D\in MA$ sao cho MD=MB$\Rightarrow$$\Delta MBD$ đều$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta CBM(cgc)$$\Rightarrow$AD=CM$\Rightarrow$MB+MC=MD+AD=MA.(đpcm)

c) Ta có $\widehat {AMN}=\widehat {ABM} (do cung AM=cung AN)$

$\Rightarrow \Delta AMF \sim \Delta ABM (g.g) \Rightarrow AM^2=AF.AB$

Mà $BDHF$ nội tiếp $\Rightarrow AF.AB=AH.AD$

$\Rightarrow AM^2=AH.AD \Rightarrow AM$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHD$

Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

$\Delta AIK \sim \Delta AHO (gg)$

$\Rightarrow AK.AH=AI.AO=AC^2=AD.AE$

$\Leftrightarrow AK.AH=AE.(AD+AE-AE)=AE.(AD+AD+2HD-AE)=AE.(2AD+2HD-AE)=AE.(2AH-AE) =2AH.AE-AE^2$

$\Rightarrow AE^2+AK.AH=2AH.AE$

Chia 2 vế cho $AH.AE$

$\Rightarrow \frac {AE} {AH}+ \frac {AK} {AE}=2$

Mà $AK.AH=AD.AE \Rightarrow \frac {AE} {AH}=\frac {AK} {AD}$

$\Rightarrow \frac {AK} {AD}+\frac {AK} {AE}=2$

Hay $\frac {2} {AK}=\frac {1} {AD}+\frac {1} {AE}$

à ra vậy 

Dễ thấy $\Delta MPQ$ cân tại M

$S_{MPQ}=2S_{MOP}=OC.MP=R.MP$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$MP=MC+CP \geq 2\sqrt {MC.CP}=2\sqrt {OC^2}=2\sqrt {R^2}=2R$

$\Rightarrow S_{MPQ} \geq R.2R=2R^2$

$Min S_{MPQ}=2R^2 \Leftrightarrow MC=CP=R \Leftrightarrow OM=R\sqrt 2 \Leftrightarrow M$ là giao điểm của $(O; R\sqrt 2)$ với đường thẳng $d$. 

P/S: sao mình không dùng đến điểm H nhỉ?

 

 Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC; Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB

lấy một điểm D sao cho MD = MC.

a) Chứng minh rằng tia MA là phân giác của góc BMx.

b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác MIKD là hình gì, tại

sao ?

c) Gọi G là trọng tâm tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G luôn 

nằm trên một đường tròn cố định.

d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn (O); P là giao điểm thứ hai của

phân giác góc IBN với đường tròn (O). Chứng minh rằng

 

Bạn viết đề một cách hoàn chỉnh được không?

p/s: sao dạo này nhiều người viết đề không rõ ràng thế???

a)$\Delta CAM \sim \Delta CDA (g.g) \Rightarrow \frac {CA} {CD}=\frac {CM} {CA} \Rightarrow AC^2=CM.CD$

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AMD$

    Gọi $E$ là giao điểm của $AI$ và $(O)$

Do $AC^2=CM.CD \Rightarrow AC$ là tiếp tuyến của $(I)$

$\Rightarrow AC \perp AI$ hay $AC \perp AE \Rightarrow E$ là điểm chính giữa cung lớn $AB$

$\Rightarrow E$ cố định

$\Rightarrow I \in AE$ cố định.

c)Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta BMD$

$CMTT$ câu b ta được $K \in BE$ cố định

$\Delta AIM$ cân tại $I$ và $\Delta AEB$ cân tại $E$ có $\widehat {BAE}$ chung

$\Rightarrow \widehat {AMI}=\widehat {ABE} \Rightarrow MI \parallel KE$

Tương tự $MK \parallel IE$

$\Rightarrow MIEK$ là hình bình hành

$\Rightarrow KE=IM=R_1$

$\Rightarrow R_1+R_2=KB+KE=BE=const (dpcm)$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (3-\frac{5}{y+42x})\sqrt{2y}=4\\ (3+\frac{5}{y+42x})\sqrt{x}=2 \end{matrix}\right.$

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

Sao từ BĐT $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ mà suy ra được $S \le \frac{1}{4}$ vậy a

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

anh có thể nói cụ thể hơn vì sao $S$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ không ạ

Có tồn tại hay không 1 số chính phương có tổng các chữ số bằng 2012.

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{4z-1}\\ y+z=\sqrt{4x-1}\\ z+x=\sqrt{4y-1} \end{matrix}\right.$

Trên nửa mph bờ BC có chứa M dựng $\Delta BCD$ đều.

$\Delta ACM=\Delta BAE (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{AMC}=\widehat{BEA}=30^{\circ}$

cách 1 hay quá.Thêm 1 bài nữa
$(x-1)(x+3)+2(x-1)\sqrt{\frac{x+3}{x-1}}=8$

à vậy thầy mình nhầm rồi. Vậy tìm max nha

Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$
Tìm min $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+1}$

1/ Cho a,b,c>0 và $a+b+c\leq \frac{3}{2}$
Tìm min $N=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$
2/ Giải phương trình: $x^{2}=\sqrt{x^{3}-x^{2}}+\sqrt{x^{2}-x}$