Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh : BC + AH > AB+ AC

Bình phương 2 vế ta có BC² + AH² + 2BC . AH > AB² + AC² + 2AB . AC

Mà 2BC . AH = 2AB . AC ( = S_ABCD)

VÀ BC²  =  AB² + AC² . Do AH > 0 nên BĐT cần C/m đúng

Hiện tại ngoài biến đổi tương đương thi vẫn chưa nhìn thấy cách làm khác

chú nào post tiếp lên làm đi         mình mem mới   

Nguồn : Sáng tạo BĐT 

Giả sử a,b,c,d là các số thức a,b,c,d thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1.Chứng minh: 

$\frac{a^{3}}{b + c + d} + \frac{b^{3}}{a + c + d} + \frac{c^{3}}{a + b + d} + \frac{d^{3}}{a + b + c} \geq \frac{1}{3}$

Vs mọi x, y, z dương, CM:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \sqrt{2}(xy + xz)$

Áp dụng AM-GM ta có 

$x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x^{2} + \frac{(y+z)^{2}}{2}$

$\geq \sqrt{2}x(y+z) = \sqrt{2}(xy + xz)$. Ta có Q.E.D

Áp dụng Cauchy $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + bc \geq 3ab$

Tương tự với các cái còn lại

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.CMR

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}.$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ hay đó là tam giác đều.

Áp dụng cái $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$

$\frac{1}{a+1} = 1 - \frac{1}{b+1} + 1 - \frac{1}{c+1}$

 $= \frac{b}{b+1} +  \frac{c}{c+1}$ $\geq$ $\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự rồi nhân vế theo vế 

2. (a-2)² $\geq$ 0

Nên a² $\geq$ 4a -4

Tương tự với b²,c²

3. $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{a+2b}$  

4. Đang suy nghĩ 

 

 

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.c.b}}=3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có đpcm

 

Quên. Đi thi kiểu này thì nát mất

Đề BĐt hsg huyện mình

Tìm Min,Max của A=3x + x$\sqrt{5-x^{2}}$

Cảm ơn nha.

 

 

ở câu 1 này sử dụng bất đẳng thức cauchy phải là :

 

$2\sqrt{\frac{ab}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )}}$ chứ 

Đúng rồi. Bài 4 mình chịu rồi

1. Không mất tính tổng quát,giả sử $x\geq y\Rightarrow x=y+k(k\epsilon N)\Rightarrow y+3\vdots y+k\Rightarrow y+3\geq y+k\Rightarrow 3\geq k$

Xét $k=0$ thì $x=y$$\Rightarrow x+3\vdots x\Rightarrow 3\vdots x\Rightarrow \begin{bmatrix} x=y=1 (KTM x;y>1) & \\ x=y=3 & \end{bmatrix}$ 

$k=1$ thì $\Rightarrow y+3\vdots y+1\Rightarrow 2\vdots y+1\Rightarrow \begin{bmatrix} y+1=1 & \\ y+1=2 & \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0 & \\ y=1 & \end{bmatrix}$ (không thoả mãn $y>1$)

$k=2;3$ thì tương tự ta cũng không có nghiệm 

Vậy $x=y=3$ là nghiệm duy nhất của bài toán

x=9, y=6 vẫn đúng mà bạn.

Góp vài bài     

Bài 1 : Tìm các số nguyên dương $x,y$ lớn hơn $1$ sao cho $x+3 \vdots y, y+3 \vdots x$

Bài 2: Cho $a,b \in N$. Chứng minh rằng $(2a+ b) \vdots 7 \Leftrightarrow 3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49$

2. ​​+Ta có $2a+b\vdots 7\Leftrightarrow (2a+b)^{2}\vdots 49\Leftrightarrow 4a^{2}+4ab+b^{2}\vdots 49\Leftrightarrow 3a^{2}+10ab-8b^{2}-(a-3b)^{2}\vdots 49$ $(1)$

Vì $2a+b\vdots 7\Rightarrow 8a+4b\vdots 7\Leftrightarrow a-3b+7a+7b\vdots 7\Leftrightarrow a-3b\vdots 7\Leftrightarrow (a-3b)^{2} \vdots 49 (2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra $3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49$ (đpcm)

+$3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49\Leftrightarrow (3a-2b)(a+4b)\vdots 49\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a-2b\vdots 7 & \\ a+4b\vdots 7 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3a-2b+a+4b\vdots 7\Leftrightarrow 4a+2b\vdots 7\Leftrightarrow 2a+b\vdots 7$ (đpcm)

+ TH1: $x=y$

=> $(x+3) \vdots x <=> 3 \vdots x$

=> $x=y=3$

+ TH2: $x \neq y$. Gỉa sử $x>y$

Đặt $y+3=px$ $(p>1)$

$=> px=y+3<x+3<x$

$=> p<1$ (vô lý -> loại)

Vậy $x=y=3$

Tuy chưa đọc kĩ bài hai bạn nhưng hai bạn thiếu nghiệm cả rồi.

Bài làm của mình

x=2 , y=2  thì phương trình sai (loại)

GS y$\geq$ x $\geq$ 2.

Ta có x + 3 $\vdots$ y  $\Rightarrow$ x+ 3 = k.y .

Ta có : k.y = x + 3 $\leq$ y + 3  $\leq$ y + y = 2y.

$\Rightarrow$ k $\leq$ 2 mà k thuộc N nên k=1, k=2 .

Với k=1 thì ta có 

x +3 = y, $\Rightarrow$ x= y - 3.

Thay vào đề ta có y + 3  $\vdots$ y-3 $\Rightarrow$ 6 $\vdots$ y-3

Ta có 3 nghiệm ( y = 5,  x=2), ( y = 6,  x = 3), (y = 9, x = 6) và các hoán vị.

Với k=2 làm tương tự.

Thấy hay thì like giùm đi

CÒN XÉT TH $x=y=1$ và $x=1;y=2$ nữa chứ? 

x, y lớn hơn 1 mà 

a) Nếu cả x,y đều không chia hết cho 3 thì x^2, y²   đều chia 3 dư 1 nên z² chia 3 dư 2 loại

b)  Nếu cả x,y đều không chia hết cho 4 thì x^2, y²   đều chia 4 dư 1 nên z² chia 4 dư 2 loại

Vậy xy chia hết cho 12

 Chứng tỏ rằng 

  A. a^3 +b^3 +c^3 - 3abc= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca);

  B. Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì

      a^3 +b^3 +c^3 - 3abc >= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2

Bài 58: Quan hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu trong tam giác vuông

Cho hinh thoi ABCD , $\widehat{A}$ = 120 độ.

Tia Ax tạo với tia AB góc $\widehat{ABx} = 15 độ$ và cắt BC tại E cắt CD tại F.

Cmr $\frac{1}{AE^{2}} + \frac{1}{AF^{2}} = \frac{4}{3AB^{2}}$

Ai làm hình đi.

Còn không làm được thì để mình làm     

Bài 56:

$\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \geq 2\frac{x}{y}; \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 \geq 2\frac{y}{x}$

Mà $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} -2 \geq 0 $.

Cộng 3 BĐT trên ta có đpcm

Thêm một bài nữa 

Bài 35:Goi p là nửa chu vi chu vi của tam giác, a,b,c là độ dài 3 cạnh tương ứng. 

C/m $\sqrt{p} \leq \sqrt{p -a} + \sqrt{p - b}+ \sqrt{p - c } \leq \sqrt{3p}$

Bài 30:

​Cho $a_{1};a_{2};a_{3};a_{4};a_{5}\in Z$

C/m rằng $P=(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})(a_{1}-a_{4})(a_{1}-a_{5})(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{4})(a_{2}-a_{5})(a_{3}-a_{4})(a_{3}-a_{5})(a_{4}-a_{5})\vdots 144$

Với 5 số bất kì thì ta sẽ có :

          + 1 cặp số chia hết cho 4

          + 2 cặp số chia hết cho 2

          + 2 cặp số chia hết cho 3 ( Bạn tự chứng minh mệnh đề này)

Vậy tích trên chia hết cho 144 

Bài 44,45 thì mình đăng lên để bạn nào siêu siêu chém hộ mình  còn bài 46 thì tự chế đăng lên xem ai giải được không thôi 

Spoiler

Mà topic tối nay vui ghê ha nhận thông báo mệt nghỉ luôn   

Công nhận. Mà max thông báo là 30 phải không nhỉ ??    

Bạn làm kĩ lưỡng hơn thì sẽ thấy chứng minh đã bị sai

Bài mình sai ở chỗ nào nhỉ.

Cộng 2 BĐT đầu lại thì trừ đi so với cái cần chứng minh sẽ là BĐT thứ 3

1.Cho $f(x)$ là đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn $f(0)=0$ và $f(1)=2$ . CMR $f(2011)$ không phải là số chính phương

2. Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thỏa mãn: $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

Câu 1: Mình sẽ chém gió theo những gì mình hiểu

Đa thức f(x) = ax + b.

Nếu x = 0 mà f(x) = 0 nên b = 0.

Nếu x = 1 mà f(x) = 2 nên a = 2.

Vậy f(x) = 2x . Mà 2001 là số lẻ nên f(x) không thể là số chính phương

mình ko hỉu lắm

Áp dụng công thức $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$

210 : $\frac{1}{1+a} = 1 - \frac{1}{1+b}+1 - \frac{1}{1+c}$

                                = $\frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} \geq \sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự $\frac{1}{1+b} \geq \sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}}$

                 $\frac{1}{1+c} \geq \sqrt{\frac{ba}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân vế theo vế ta có abc $\leq \frac{1}{8}$