ĐK: $x\geq 1, y\geq 1$
Pt(1)$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\frac{x}{y+1}}-\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )+\left ( \sqrt{\frac{y}{x+1}}-\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )=0$
...
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)=(2;2)$
Bài này còn một số cách giải khác và có lẽ là "đẹp" hơn lời giải của bạn đấy.
Sol1: Đánh giá phương trình (1) theo cách khác
Sol2: Đánh giá phương trình (2) trước