Theo mình nghĩ thì việc học toán hình học không gian, bất đẳng thức cũng giống như việc tập gym, calisthenics: nó đều không có tác dụng đáng kể nào vào đời sống. Nhưng nó sẽ là công cụ hữu hiệu trong những việc suy luận sau này cũng giống như việc tập thể hình giúp khả năng đối kháng, tự vệ cũng cao hơn vậy. Nếu gym giúp cho cơ bắp phát triển thì toán lại giúp cho đầu óc minh mẫn. Cái sai một số người gặp ở đây chính là việc coi những thứ này như là mục đích chính chứ không phải là phương tiện.

Xin lỗi chứ tôi là người làm toán chuyên nghiệp và tôi thấy việc học những thứ đó hoàn toàn vô dụng với công việc của tôi, cũng như không giúp đầu óc tôi minh mẫn hơn.

Công việc của bạn là gì?

nghiên cứu sinh tiến sĩ

Em nghĩ là về đường cong elliptic (chủ yếu phần khó nhất vẫn là tính kết hợp của phép toán) thì có thể trình bày cho học sinh phổ thông theo hai hướng 

 

- Hướng 1: chứng minh tính kết hợp bằng định lý Bézout, cách này khá trực quan nhưng lại ad hoc.

- Hướng 2: trình bày theo ngôn ngữ hình học đại số cổ điển (khái niệm ước, không gian $L(D)$ và số $\ell(D)$, định lý Riemann-Roch...) tuy nhiên định lý Riemann-Roch thì lại không tầm thường.

 

Về ECC thì có sử dụng một kết quả quan trọng là định lý Hasse (trường hợp riêng của giả thuyết Weil), em chưa biết là nên trình bày chứng minh thế nào ngoài việc tính toán trâu trên hàm hữu tỉ).

Dạ em có 2 ý kiến như sau:
1. Liệu các anh có thể viết thêm về lý thuyết trường vành cho học sinh cấp 3 được không ạ; em thấy cấp 3 chuyên cũng có nói sơ qua nhưng em muốn được tìm hiểu sâu hơn về phần này; đặc biệt là các ứng dụng trong số học hay; đại số hay các các mảng toán khác.

2. Hiện nay em thấy nhiều bài toán số học olympic đều có đề rất dài; được cho nhiều dữ kiện ; thay vì đó sao chúng ta không ra những bài toán số học với một đề bài ngắn gọn; súc tích hơn vì vẻ đẹp của số học sơ cấp theo em biết vốn được tạo nên bởi sự đơn giản của nó ( định lý fermat lớn chẳng hạn ạ ); em nghĩ như vậy mới thu hút được học sinh làm số học.
P/S: Mong các anh cho ý kiến ạ

Đó là các khái niệm của đại số đại cương. Mình có thể viết được. Tuy nhiên trước hết các bạn phải làm quen với ngôn ngữ toán, tức là lý thuyết tập hợp cơ bản. Anh Nxb sẽ bắt đầu với vấn đề này.

Còn một chủ đề nữa trong toán olympic là giải tích. Gần như các bài giải tích chỉ xoay quanh một câu hỏi rất nhảm là tính giới hạn dãy số, làm cho học sinh tưởng là giải tích chỉ có mỗi vậy.

E có thêm một đề xuất nữa là : Sau khi đọc paper này : https://arxiv.org/pdf/2104.06741.pdf [DIOPHANTINE PROBLEMS OVER Z ab MODULO PRIME NUMBERS]

 

Em thấy là họ định nghĩa lại định lý thặng dư Trung Hoa theo một cách khác, có vẻ cao cấp. Nên e mong là có các post để làm cầu nối giữa những thứ sơ cấp và cao cấp như thế này ạ ! 

đó chỉ là kiến thức cơ bản của đại số giao hoán, bạn tìm trong bất kỳ cuốn sách nào về đại số đại cương cũng có.

Ký hiệu $s(k)$ là tổng các chữ số của một số tự nhiên $k$ và $$S_n = \sum_{k < n} s(k).$$ Ta cần tính $S_n + s(n)$.
Ta có thể tính $S_n$ bằng đệ quy với công thức $$\begin{cases} S_0 = 0 \\ S_n = 10S_m + 45m + r \cdot s(m) + \frac{r(r-1)}{2}\end{cases}$$ với $m = \left\lfloor\frac{n}{10}\right\rfloor$ và $r = n-10m$.
Thật vậy, theo định nghĩa trên thì $m$ và $r$ lần lượt là phần chục và chữ số hàng đơn vị của $n$. Mỗi số tự nhiên $k < n$ có dạng $k = 10m' + r'$ với $m' < m$ và $r' \in \{0,1,\ldots,9\}$ hoặc $k = 10m + r'$ với $r' \in \{0,1,\ldots,r-1\}$. Do đó $$\begin{align*} S_n & = \sum_{m' < m} \sum_{r' = 0}^9 s(10m' + r') + \sum_{r'=0}^{r-1}s(10m+r) \\ & = \sum_{m' < m} \sum_{r' = 0}^9 (s(m') + r') + \sum_{r'=0}^{r-1} (s(m)+r') \\ & = \sum_{m' < m} (10s(m') + 45) + r \cdot s(m) + \frac{r(r-1)}{2} \\ & = 10 S_m + 45m + r \cdot s(m) + \frac{r(r-1)}{2}.\end{align*}$$
Để xác định độ phức tạp về thời gian $T(n)$ khi tính theo công thức truy hồi trên, nhận xét rằng $$T(n) = T\left(\frac{n}{10}\right) + O(\log n),$$ nên theo định lý Master thì $T(n) = O(\log^2 n)$, tức là bằng hàm đa thức bậc hai theo cỡ của input. Từ công thức truy hồi trên có thể tính ra $S_n + s(n)$ theo các chữ số của $n$, nhưng mình chưa đủ kiên nhẫn để thử.

chắc anh nhầm với thầy Nguyễn Minh Hà ở CSP. Thầy Lê Minh Hà là giám đốc điều hành VIASM, chuyên ngành Tôpô đại số.

Giờ mới để ý là bản dịch tiếng Việt này nằm trên trang chính chủ của tác giả luôn. Người dịch là Lê Minh Hà, không biết có phải là thầy Lê Minh Hà phụ trách hình học phẳng cho tạp chí THTT và Toán Tuổi thơ không nhỉ.

Tác giả Milne có tâm thật, viết rất nhiều sách mà sách nào cũng để PDF miễn phí, có cả bản tối ưu dành cho điện thoại máy tính bảng nữa. Rất mong chờ đọc cuốn "2050 Arithmetic Duality Theorems, third edition, first draft" trong 27 năm nữa

Diễn đàn cần nhiều bài như này nữa ạ

Ký hiệu $e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)$. Thế thì 3 hàng của $A$ lần lượt là $e_1 A, e_2A, e_3A$. Chúng là 3 vectơ trong $\mathbb{R}^2$ nên phụ thuộc tuyến tính, tức là tồn tại $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) \in \mathbb{R}^3 \setminus \{(0,0,0)\}$ sao cho $$\lambda_1 e_1 A + \lambda_2 e_2 A + \lambda_3 e_3 A = 0,$$ suy ra $$\lambda_1 e_1 AA^T + \lambda_2 e_2 AA^T + \lambda_3 e_3 AA^T = 0,$$ tức là 3 hàng của $AA^T$ phụ thuộc tuyến tính, nên $\det(AA^T) = 0$.

Ở cấp phổ thông trở xuống, các bạn học sinh dùng dấu “⇒” rất tuỳ tiện: dấu ⇒ vốn là một toán tử dùng để nối hai mệnh đề, tạo ra một mệnh đề mới, nhưng rất nhiều bạn lại dùng nó như một liên từ (viết tắt thay cho “suy ra”, “vì thế”,…). Điều này gây trở ngại về tư duy khi học lên cao hơn: rất nhiều sinh viên không hiểu được những suy luận cơ bản kiểu “nếu A thì B”… và khi đụng đến những định nghĩa dài kiểu 2-3 lượng từ như định nghĩa hàm liên tục thì đa số sinh viên tê liệt.

> 0, ∀x, |x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε

$$\begin{xy}

\xymatrix {
U \ar@/_/[ddr]_y \ar@{.>}[dr]|{\langle x,y \rangle} \ar@/^/[drr]^x \\
& X \times_Z Y \ar[d]^q \ar[r]_p & X \ar[d]_f \\
& Y \ar[r]^g & Z
}
\end{xy}$$

$$\begin{xy}
\xymatrix {
U \ar@/_/[ddr]_y \ar@{.>}[dr]|{\langle x,y \rangle} \ar@/^/[drr]^x \\
& X \times_Z Y \ar[d]^q \ar[r]_p & X \ar[d]_f \\
& Y \ar[r]^g & Z
}
\end{xy}$$

$\begin{CD}
A @>a>> B \\
@VVbV @VVcV \\
C @>d>> D
\end{CD}$

Ta xét chẳng hạn bài toán phân loại nhóm hữu hạn. Theo định lý Jordan-Hölder, mọi nhóm hữu hạn $G$ đều thừa nhận một dãy phân giải $1 \subseteq G_0 \subseteq \cdots \subseteq G_n = G$, trong đó $G_{i-1}$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G_i$ và $G_i/G_{i-1}$ là một nhóm đơn với mọi $i = 1,\ldots,n$. Như vậy, để trả lời câu hỏi "ta biết gì về các nhóm hữu hạn, ta cần trả lời hai câu hỏi"

 

1. Ta biết gì về các nhóm đơn hữu hạn? (bài toán phân loại các nhóm đơn hữu hạn, nó đã được giải trọn vẹn).

2. Cho trước một nhóm $E$, một nhóm con chuẩn tắc $A$ của $E$ và $G = E/A$. Ta biết gì về $E$ từ thông tin về $G$ và $A$? (bài toán phân loại các mở rộng nhóm - group extension).

 

Cho $A, G$ và $E$ như trên, thế thì ta có một dãy khớp $$1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1.$$ Ta gọi đó là một mở rộng của $G$ bởi $A$. Bài toán phân loại các mở rộng này vẫn còn mở. Tuy nhiên nếu $A$ là một nhóm abel thì câu chuyện đơn giản hơn. Một phần lí do là như sau: vì $A$ chuẩn tắc trong $E$, ta có một tác động liên hợp của $E$ trên $A$. Nếu $A$ là abel thì tác động liên hợp của $A$ lên chính nó là tầm thường, do đó tác động liên hợp của $E$ cảm sinh một tác động của $G$ trên $A$, cụ thể là $${}^g a := eae^{-1},$$ với $e \in E$ nào đó sao cho $\pi(e) = g$.

 

Ở bài này, ta chỉ ra rằng nhóm đối đồng điều $\text{H}^2(G,A)$ phân loại các mở rộng của $G$ bởi $A$ cảm sinh tác động cho trước.

 

3. $\text{H}^2$ và bài toán mở rộng nhóm

 

Cho $A$ là một nhóm abel (viết theo lối nhân) và $G$ là một nhóm. Một mở rộng của $G$ bởi $A$ là một dãy khớp $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ (để đơn giản hóa ký hiệu, ta luôn coi $A$ là một nhóm con của $E$). Hai mở rộng như vậy được gọi là tương đương nếu tồn tại một đồng cấu nhóm $E \to E'$ cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên $A$ và trên $G$ (một đồng cấu như vậy tự động là một đẳng cấu, ta chứng minh điều này một cách dễ dàng bằng diagram chasing). Hai mở rộng tương đương cảm sinh cùng một tác động của $G$ trên $A$.

 

Bây giờ giả sử $A$ đã được trang bị sẵn một tác động của $G$ bởi các tự đẳng cấu nhóm (hay $A$ là một $G$-môđun). Ta nói một mở rộng $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ tương thích với tác động đã cho nếu tác động này trung với tác động của $G$ trên $A$ bởi phép liên hợp trong $E$, nghĩa là $${}^{\pi(e)} a = eae^{-1}$$ với mọi $e \in E$. 

 

Cho $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ là một mở rộng tương thích với tác động của $G$ trên $A$. Với mỗi $g \in G$, chọn $s_g \in E$ sao cho $\pi(s_g) = g$ (nói cách khác, $s: G \to E$ là một lớp cắt (section) của $\pi$. Nói riêng, ta có $s_g a s_g^{-1} = {}^g a$ với mọi $a \in A$.

 

Với $g,h \in G$, vì $\pi(s_gs_h) = \pi(s_g)\pi(s_h) = gh = \pi(s_{gh})$ nên $s_g s_h = \phi_{g,h} s_{gh}$ với $\phi_{g,h} \in A$ nào đó. Với $g,h,k \in G$, ta có $$\phi_{g,h} \phi_{gh,k} s_{ghk} = \phi_{g,h} s_{gh}s_k = s_g s_h s_k = s_g \phi_{h,k} s_{hk} = {}^g \phi_{h,k} s_g s_{hk} = {}^g \phi_{h,k} \phi_{g,hk} s_{ghk},$$ từ đó  ta có $$\phi_{g,h} \phi_{gh,k} = {}^g \phi_{h,k} \phi_{g,hk}.$$ Một ánh xạ $\phi: G \to A$ thỏa mãn điều kiện trên được gọi là một 2-đối chu trình (hay hệ nhân tử - factor system) với hệ số trong $A$. Tập hợp $\text{Z}^2(G,A)$ là một nhóm abel với phép toán được định nghĩa một cách hiển nhiên $$(\phi + \phi')_{g,h} := \phi_{g,h} \phi'_{g,h}$$ với mọi $\phi, \phi' \in \text{Z}^2(G,A)$ và $g,h \in G$.

 

Ta chọn một lớp cắt khác $s': G \to E$ của $\pi$. Với $g \in G$, ta có $\pi(s'_g) = g = \pi(s_g)$, nên $s'_g = \alpha_g  s_g$ với $\alpha_g \in A$. Xét đối chu trình $\phi'$ cho bởi lớp cắt $s'$, nghĩa là $s'_g s'_h = \phi'_{g,h} s'_{gh}$ với mọi $g, h \in G$. Thế thì $$\phi'_{g,h} \alpha_{gh} s_{gh} = \alpha_g s_g \alpha_h s_h = \alpha_g {}^g\alpha_h s_g s_h = \alpha_g {}^g \alpha_h \phi_{g,h} s_{gh},$$ suy ra $$\phi'_{g,h} = \phi_{g,h} {}^g \alpha_h \alpha_{gh}^{-1} \alpha_g.$$ Vậy $\phi'$ và $\phi$ sai khác nhau một đối chu trình có dạng $(g,h) \mapsto \alpha_h \alpha_{gh}^{-1} \alpha_g$ với $\alpha: G \to A$ là một ánh xạ nào đó. Một đối chu trình như thế được gọi là một 2-đối biên. Các 2-đối biên lập thành một nhóm con của $\text{Z}^2(G,A)$ mà ta ký hiệu bởi $\text{B}^2(G,A)$. Ta định nghĩa nhóm đối đồng điều thứ $2$ của $G$ với hệ số trong $A$ bởi $\text{H}^2(G,A) = \text{Z}^2(G,A) / \text{B}^2(G,A)$. Lớp đối đồng điều của một đối chu trình $\phi$ sẽ được ký hiệu bởi $[\phi]$. Theo xây dựng trên, ta có một lớp $\text{Cl}(E) = [\phi] \in \text{H}^2(G,A)$, lớp này chỉ phụ thuộc vào mở rộng $E$, không phụ thuộc vào cách chọn lớp cắt $s$.

 

Ta nói mở rộng $E$ chẻ (split) nếu ta có thể chọn lớp cắt $s$ là một đồng cấu nhóm (thay vì chỉ đơn thuần là một ánh xạ). Trong trường hợp này, $\text{Cl}(E)$ được đại diện bởi đối chu trình tầm thường $$1: G \times G \to A, \qquad (g,h) \mapsto 1.$$

 

Ngược lại, cho một đối chu trình $\phi: G \times G \to A$. Ta xây dựng mở rộng $A \times_\phi G$ của $G$ bởi $A$ như sau. Về mặt tập hợp, $A \times_\phi G = A \times G$. Phép toán trên $A  \times_\phi G$ là tích chéo (crossed product) cho bởi chu trình $\phi$, nghĩa là $$(a,g)(b,h):=(a{}^g b \phi_{g,h},gh)$$ với mọi $a,b \in A$ và $g,h \in G$.

 

1. Tính kết hợp của phép toán trên được suy ra từ điều kiện đối chu trình. Thật vậy, xét $a,b,c \in A$ và $g,h,k \in G$. Ta có $$\begin{align*}
   ((a,g)(b,h))(c,k) & = (a{}^g b \phi_{g,h},gh)(c,k) \\
   & = (a{}^g b \phi_{g,h} {}^{gh} c \phi_{gh,k}, (gh)k) \\
   & = (a{}^g b {}^g({}^h c) {}^g \phi_{h,k} \phi_{g,hk}, g(hk))\\
   & = (a,g)(b{}^g c, \phi_{h,k} ,hk)\\
   & = (a,g)((b,h)(c,k)).
   \end{align*}$$
2. Phần tử trung lập của $A \times_\phi G$ là $(\phi_{1,1}^{-1}, 1)$. Thật vậy, vì $\phi$ là một đối chu trình nên với mọi $g \in G$, ta có $\phi_{g,1} \phi_{g,1} = {}^g \phi_{1,1} \phi_{g,1}$, suy ra $$\phi_{g,1} = {}^g \phi_{1,1}.$$ Tương tự, ta có $\phi_{1,1} \phi_{1,g} = \phi_{1,g} \phi_{1,g}$, suy ra $$\phi_{1,g} = \phi_{1,1}.$$ Do đó với $a \in G$, ta có $$(a,g)(\phi_{1,1}^{-1},1) = (a {}^g \phi_{1,1}^{-1} \phi_{g,1}, g) = (a,g)$$ và $$(\phi_{1,1}^{-1},1)(a,g) = (\phi_{1,1}^{-1} a \phi_{1,g}, g) = (a,g).$$
3. Phần tử nghịch đảo của mỗi $(a,g) \in A \times_\phi G$ là $({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1},g^{-1})$, vì $$({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1}, g^{-1})(a,g) = ({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1} ({}^{g^{-1}} a) \phi_{g^{-1},g}, g^{-1}g) = (\phi_{1,1}^{-1},1)$$ và $$(a,g)({}^{g^{-1}} a^{-1} \phi_{g^{-1},g}^{-1} \phi_{1,1}^{-1}, g^{-1}) = (aa^{-1} ({}^g  \phi_{g^{-1},g}^{-1}) ({}^g \phi_{1,1}^{-1}) \phi_{g,g^{-1}}, gg^{-1}) = (({}^g  \phi_{g^{-1},g}^{-1}) \phi_{g,1}^{-1} \phi_{g,g^{-1}}, 1) = (\phi_{1,1}^{-1}, 1).$$ Ở đây đẳng thức cuối cùng đến từ điều kiện đối chu trình $$\phi_{g,g^{-1}} \phi_{1,1} = \phi_{g,g^{-1}} \phi_{1,g} = {}^g \phi_{g^{-1},g} \phi_{g,1}.$$

Hiển nhiên phép chiếu lên tọa độ thứ hai $p: A \times_\phi G \to G$ là một toàn cấu nhóm.

Ta xây dựng đơn cấu $i: A \to A \times_\phi G$ cho bởi công thức $i(a) = (a\phi_{1,1}^{-1},1)$. Rõ ràng $A$ là một đơn ánh. Nó là một đồng cấu nhóm vì $$i(a)i(b) = (a\phi_{1,1}^{-1},1)(b\phi_{1,1}^{-1},1) = (a\phi_{1,1}^{-1}b\phi_{1,1}^{-1}\phi_{1,1},1) = (ab\phi_{1,1}^{-1},1) = i(ab)$$ với mọi $a,b \in A$. Cuối cùng, dễ thấy $i(A) = A \times \{1\} = \text{Ker}(\pi)$, và vì thế ta có dãy khớp $$1 \to A \xrightarrow{i} A \times_\phi G \xrightarrow{p} G \to 1.$$

 

Ta chọn lớp cắt $s: G \to A \times_\phi G$ cho bởi công thức $s_g = (1,g)$. Với $a \in A$, ta có $$s_g i(a) = (1,g) (a\phi_{1,1}^{-1}, 1) = ({}^g a {}^g \phi_{1,1}^{-1} \phi_{g,1}, g) = ({}^g a, g) = ({}^g a \phi_{1,1}^{-1} \phi_{1,g}, g) = ({}^g a \phi_{1,1}^{-1}, 1)(1,g)  = i({}^g a)s_g,$$ suy ra $i({}^g a) = s_g i(a) s_g^{-1}$. Nói cách khác, mở rộng $1 \to A \xrightarrow{i} A \times_\phi G \xrightarrow{\pi} G \to 1$ tương thích với tác động đã cho của $G$ trên $A$.

 

Ta tính $\text{Cl}(A \times_\phi G) \in \text{H}^2(G,A)$. Với $g, h \in G$, ta có $\phi_{1,gh} = \phi_{1,1}$, do đó $$s_g s_h = (1,g)(1,h) = (\phi_{g,h},gh) = (\phi_{g,h} \phi_{1,1}^{-1} \phi_{1,gh}, gh) = (\phi_{g,h} \phi_{1,1}^{-1}, 1)(1, gh) = i(\phi_{g,h})s_{gh},$$ do đó theo xây dựng trên, lớp $\text{Cl}(A \times_\phi G)$ được đại diện bởi đối chu trình $\phi$.

 

Xét đối chu trình tầm thường $0: (g,h) \mapsto 1$. Khi đó tích chéo $A \times_0 G$ được cho bởi phép toán $$(a,g)(b,h) = (a{}^g b,gh)$$ với $a,b \in A$ và $g,h \in G$. Nó được gọi là tích nửa trực tiếp (semi-direct product) của $A$ và $G$ và được ký hiệu bởi $A \rtimes G$.

 

Định lý. Cho $A$ là một $G$-môđun Cho $1 \to A \to E \xrightarrow{\pi} G \to 1$ là một mở rộng của $G$ bởi $A$ tương thích với tác động đã cho. Cho $\phi: G \times G \to A$ là một hệ nhân tử. Khi đó $E$ tương đương với tích chéo $A \times_\phi G$ khi và chỉ khi $\text{Cl}(E) = [\phi]$ trong $\text{H}^2(G,A)$.

Chứng minh

Điều kiện cần. Giả sử $E$ và $A \times_\phi G$ tương đương, khi đó tồn tại đồng cấu nhóm $f: A \times_\phi G \to E$ thỏa mãn $\pi(f(a,g)) = g$ và $f(a\phi_{1,g}^{-1}, 1) = f(a\phi_{1,1}^{-1},1) = a$ với mọi $a \in A$ và $g \in G$. Chọn lớp cắt $s: G \to E$ cho bởi công thức $s_g = f(1,g)$. Ta có $$s_g s_h = f((1,g)(1,h)) = f(\phi_{g,h},gh) = f((\phi_{gh} \phi_{1,1}^{-1}, 1)(1, gh)) = \phi_{g,h} s_{gh},$$ suy ra $E$ được đại diện bởi đối chu trình $\phi$.

Điều kiện đủ. Giả sử $\text{Cl}(E) = [\phi]$. Chọn một lớp cắt $s: G \to E$ và viết $$s_g s_h = \psi_{g,h} s_{gh}, \qquad \psi_{g,h} \in A$$ với mỗi $g,h \in G$. Thế thì $[\phi] = \text{Cl}(E) = [\psi]$ trong $\text{H}^2(G,A)$, suy ra tồn tại ánh xạ $\alpha: G \to A$ thỏa mãn $$\phi_{g,h} = \psi_{g,h} {}^g \alpha_h \alpha_{gh}^{-1} \alpha_g$$ với mọi $g, h \in A$. Ta xây dựng đồng cấu nhóm $f: A \times_\phi G \to E$ bởi công thức $f(a,g):= a \alpha_g s_g$.

1. $f$ thực sự là một đồng cấu nhóm. Thật vậy, cho $a, b \in A$ và $g, h \in G$. Ta có $$\begin{align*}
   f((a,g)(b,h)) & = f(a{}^g b \phi_{g,h}, gh) \\
   & = a{}^g b\phi_{g,h} \alpha_{gh}s_{gh} \\
   & = a \alpha_g {}^g b {}^g \alpha_h  \psi_{g,h} s_{gh}\\
   & = a \alpha_g {}^g (b \alpha_h) s_g s_h \\
   & = a\alpha_g s_g b\alpha_h s_h\\
   &= f(a,g)f(b,h).
   \end{align*}$$
2. $f$ cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên $G$ và trên $A$. Thật vậy, với mọi $(a,g) \in G$, ta có $$\pi(f(a,g)) = \pi(a\alpha_g s_g) = \pi(s_g) = g$$ và $$f(a\phi_{1,1}^{-1},1) = a\phi_{1,1}^{-1} \alpha_1 s_1 = a,$$ vì $s_1s_1 = \psi_{1,1} s_1$ (suy ra $\psi_{1,1} = s_1 \in A$) và $\phi_{1,1} = \psi_{1,1} \alpha_1 \alpha_1^{-1} \alpha_1 = s_1\alpha_1$.

Vậy hai mở rộng $E$ và $A \times_\phi G$ là tương đương. Chứng minh kết thúc. $\square$

 

Từ định lý trên, ta thấy hai mở rộng $E$ và $E'$ của $G$ bởi $A$ cảm sinh tác động cho trước là tương đương khi và chỉ khi $\text{Cl}(E) = \text{Cl}(E')$ trong $\text{H}^1(G,A)$. Nói riêng, nếu $\phi$ và $\psi$ là các 2-đối chu trình với hệ số trong $A$ thì tích chéo $A \times_\phi G$ tương đương với $A \times_\psi G$ khi và chỉ khi $[\phi] = [\psi]$. Một mở rộng $E$ là chẻ khi và chỉ khi $\text{Cl}(E) = 0$, nghĩa là $E$ chính là tích nửa trực tiếp $A \rtimes G$. Tóm lại, nhóm $\text{H}^2(G,A)$ phân loại các mở rộng của $G$ bởi $A$ cảm sinh tác động cho trước. Lớp đối đồng điều $\text{Cl}(E) \in \text{H}^2(G,A)$ của một mở rộng $1 \to A \to E \to G \to 1$ chính là cản trở cho sự tồn tại của một đồng cấu nhóm $s: G \to E$ thỏa mãn $\pi \circ s = 1_G$, nghĩa là cản trở cho sự chẻ ra của dãy khớp trên.

 

Trong trường hợp $A$ không gian hoán, vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều: Chẳng hạn, có thể không có mở rộng nào của $G$ bởi $A$ là chẻ, và có thể có hai mở rộng chẻ của $G$ bởi $A$ không tương đương với nhau. Lí do là vì khi ta có một dãy khớp $1 \to A \to E \to G \to 1$ thì ta không có một tác động tự nhiên của $G$ trên $A$, mà ta chỉ có một tác động ngoài, tức là một đồng cấu $g: G \to \text{Out}(A)$ (ở đây $\text{Out}(A)$ là nhóm các tự đẳng cấu ngoài của $A$, nó là nhóm thương của $\text{Aut}(A)$ bởi nhóm con chuẩn tắc $\text{Inn}(A)$ các tự đẳng cấu trong, tức là các phép liên hợp trong $A$).

 

Để kết thúc bài này, ta khẳng định (bỏ qua chứng minh chi tiết) rằng các nhóm $\text{H}^2(G,-)$ cho phép mở rộng dãy khớp đã nói ở bài đầu tiên. Cụ thể, nếu $0 \to A \to B \to C \to 0$ là một dãy khớp các $G$-môđun thì ta có dãy khớp $$0 \to A^G \to B^G \to C^G \xrightarrow{\delta} \text{H}^1(G,A) \to \text{H}^1(G,B) \to \text{H}^1(G,C)  \xrightarrow{\delta} \text{H}^2(G,A) \to \text{H}^2(G,B) \to \text{H}^2(G,C).$$ Ở đây đồng cấu nối $\delta: \text{H}^1(G,C) \to \text{H}^2(G,A)$ được mô tả như sau. Cho $\gamma: G \to C$ là một 1-đối chu trình. Với mỗi $g \in G$, nâng $\gamma_g \in C$ thành một phần tử $\beta_g \in B$. Từ điều kiện đối chu trình của $\gamma$, ta thấy rằng với $g, h \in G$, hiệu ${}^g \beta_h - \beta_{gh} + \beta_g$ đến từ một phần tử (duy nhất) $\phi_{g,h} \in A$. Khi đó $\phi: G \times G \to A$ là một 2-đối chu trình và $\delta[\gamma] := [\phi]$.

Đối đồng điều (cohomology) nói nôm na là công cụ để đo các cản trở (obstruction) khi ta cố gắng làm gì đó. Ta không thể làm được một điều gì đó nếu đối đồng điều tương ứng là khác 0. Lý thuyết đối đồng điều là lý thuyết nghiên cứu về các cản trở.

 

Chủ đề này sẽ bắt đầu với đối đồng điều nhóm. Hi vọng mọi người có thể đóng góp thêm các ví dụ khác.

 

 

1. Giới thiệu về $\text{H}^1$

 

Ta cho $G$ là một nhóm. Nhắc lại rằng nếu $A$ là một nhóm thì một tác động (action) của $G$ trên $A$ bởi các tự đẳng cấu nhóm là một đồng cấu $\rho: G \to \text{Aut}(A)$. Với $g \in G$ và $a \in A$, ta sẽ ký hiệu ${}^g a$ thay cho $\rho(g)(a)$ nếu không có gì nhầm lẫn. Như vậy ta có các công thức $${}^g(^h a) = {}^{gh}a,$$ $${}^1 a = a $$ $${}^g(ab) = {}^g a {}^g b$$ với mọi $g,h \in G$ và $a,b \in A$. Chẳng hạn, ta luôn có thể xét tác động liên hợp của $G$ lên chính nó (hay nói cách khác là tác động bởi các tự đẳng cấu trong), cho bởi $${}^g a := gag^{-1}$$ với mọi $g,a \in G$.

Một nhóm được trang bị một tác động của $G$ bởi các tự đẳng cấu nhóm được gọi là một $G$-nhóm. Một đồng cấu nhóm $f: A \to B$ giữa hai $G$-nhóm được gọi là $G$-đẳng biến ($G$-equivariant) nếu nó tương thích với tác động của $G$ trên $A$ và trên $B$, nghĩa là $$f({}^ga) = {}^g f(a)$$ với mọi $g \in G$ và $a \in A$.

 

Khi $A$ là một $G$-nhóm, ta có một nhóm con tự nhiên của $A$ là $$A^G:=\{a \in A: \forall g \in G,\,{}^g a = a\},$$ nó được gọi là nhóm con bất biến (invariant subgroup) của $A$ bởi $G$. Nhóm này có tính hàm tử theo nghĩa: Nếu $f: A \to B$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến thì $f(A^G) \subseteq B^G$.

 

Bây giờ ta xét $B$ là một $G$-nhóm và $A$ là một nhóm con chuẩn tắc và $G$-ổn định của $B$ (nghĩa là ${}^g a \in A$ với mọi $a \in A$ và $g \in G$). Nói cách khác, ta có thể coi $A$ như một $G$-nhóm sao cho phép bao hàm $A \to B$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến. Vì $A$ là $G$-ổn định, ta có thể định nghĩa tốt một tác động của $G$ trên nhóm thương $B/A$ bởi $${}^g [b] := [{}^g b]$$ với mọi $g \in G$ và $b \in B$ (ở đây $[b] \in B/A$ là ký hiệu của lớp kề trái $bA$). Đây là tác động duy nhất của $G$ trên $B/A$ sao cho phép chiếu $B \to B/A$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến.

 

Ta tìm hiểu các nhóm con bất biến $A^G, B^G$ và $(B/A)^G$. Dễ thấy $A^G$ là một nhóm con của $B^G$. Câu hỏi đặt ra là liệu ta có một đẳng cấu $B^G / A^G \simeq (B/A)^G$ hay không? Nói rõ hơn, nếu $c \in B/A$ là một phần tử $G$-bất biến, liệu nó có đến từ một phần tử $G$-bất biến của $B$ không? Câu trả lời nói chung là không, và ta sẽ xem điều gì đã cản trở việc đó.

 

Ta bắt đầu bằng việc viết $c = [b]$ với $b \in B$ tùy ý (không nhất thiết thiết $b \in B^G$). Giả thiết $c \in (B/A)^G$ có nghĩa là $[{}^g b] = [b]$ với mọi $g \in G$, do đó ta có thể viết ${}^g b = b\alpha_g$ với $\alpha_g \in A$ (phụ thuộc vào $g \in G$). Như vậy ta có $$\alpha_g = b^{-1}({}^g b)$$ với mọi $g \in G$. Từ đó ta dễ dàng kiểm tra được rằng ánh xạ $\alpha: G \to A,\ g \mapsto \alpha_g$ thỏa mãn $$\alpha_{gh} = \alpha_g {}^g \alpha_h$$ với mọi $g, h \in G$. Một ánh xạ $\alpha$ như vậy được gọi là một 1-đối chu trình (cocycle) với hệ số trong $A$. Ta ký hiệu tập hợp các 1-đối chu trình với hệ số trong $A$ bởi $\text{Z}^1(G,A)$.

 

Giả sử $b' \in B$ là một đại diện khác của $c$, nghĩa là $b' = ba$ với $a \in A$ nào đó. Ta xây dựng 1-đối chu trình $\alpha' \in \text{Z}^1(G,A)$ tương tự như trên, nghĩa là $$\alpha'_g = (b')^{-1}({}^g b') = a^{-1} b^{-1}({}^g b)({}^g a) = a^{-1} \alpha_g {}^g a$$ với mọi $g \in G$. Như vậy, để cách xây dựng $\alpha$ không phụ thuộc vào cách chọn đại diện $b$ mà chỉ phụ thuộc vào $c$, ta cần một quan hệ tương đương trên $\text{Z}^1(G,A)$ sao cho $\alpha$ tương đương với $\alpha'$. Cụ thể, quan hệ đó như sau: Ta nói hai 1-đối chu trình $\alpha,\alpha' \in \text{Z}^1(G,A)$ là đối đồng điều (cohomologuous) với nhau nếu tồn tại $a \in A$ sao cho $$\alpha'_g = a^{-1}\alpha_g {}^g a$$ với mọi $g \in G$. Ta dễ dàng kiểm tra được rằng đây là một quan hệ tương đương trên tập $\text{Z}^1(G,A)$. Tập thương của $\text{Z}^1(G,A)$ được gọi là tập đối đồng điều thứ nhất của $G$ với hệ số trong $A$, và được ký hiệu bởi $\text{H}^1(G,A)$. Ta ký hiệu lớp đối đồng điều của một đối chu trình $\alpha \in \text{Z}^1(G,A)$ bởi $[\alpha] \in \text{H}^1(G,A)$. Như vậy, với mỗi phần tử $c \in B/A$, ta đã xây dựng một lớp đối đồng điều trong $\text{H}^1(G,A)$ được đại diện bởi 1-chu trình $$\alpha: G \to A, \qquad g \mapsto  b^{-1}({}^g b)$$ với $b \in B$ là một đại diện tùy ý của $c$. Ta ký hiệu lớp đối đồng điều này bởi $\delta c$.

 

Tập hợp $\text{H}^1(G,A)$ nói chung không có một phép toán tự nhiên. Tuy nhiên, nó là một tập hợp định điểm (pointed set). Thật vậy, ánh xạ $1: G \to A, \qquad g \mapsto 1$ là một đối chu trình, và lớp đối đồng điều $[1] \in \text{H}^1(G,A)$ của nó là tập các đối chu trình có dạng $g \mapsto a^{-1} ({}^g) a$ với $a \in A$ nào đó. Ta coi đó là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$, và như vậy $\text{H}^1(G,A)$ trở thành một tập hợp định điểm. Từ đây ta có câu trả lời cho câu hỏi: khi nào $c \in (B/A)^G$ đến từ một phần tử của $B^G$. 

 

Định lý 1. $c \in (B/A)^G$ là ảnh của một phần tử $b \in B^G$ khi và chỉ khi $\delta c$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$.

Chứng minh

Điều kiện cần. Giả sử $c = [b]$ với $b \in B^G$. Thế thì $\delta c \in \text{H}^1(G,A)$ được đại diện bởi đối chu trình $\alpha: G \to A$ cho bởi công thức $$\alpha_g = b^{-1}({}^g b) = b^{-1}b = 1$$ với mọi $g \in G$ (vì $b \in B^G$ nên ${}^g b = b$). Vậy $\alpha$ là đối chu trình tầm thường, nghĩa là $\delta c$ chính là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$.

Điều kiện đủ. Giả sử $\delta c$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$. Ta chọn một đại diện $b \in B$ tùy ý của $c$ và xét đối chu trình $\alpha: G \to A$ cho bởi công thức $\alpha_g = b^{-1}({}^g b)$. Vì $[\alpha] = \delta c$ là điểm đặc biệt nên tồn tại $a \in A$ sao cho $$b^{-1}({}^g b) = \alpha_g = a^{-1}({}^g a)$$ với mọi $g \in A$. Từ đó ta có $ba^{-1} = {}^g (ba^{-1})$ với  mọi $g \in G$, nghĩa là $ba^{-1} \in B^G$. Mặt khác ta có $c = [b] = [ba^{-1}]$, vậy $c$ đến từ một phần tử $B^G$. $\square$

 

Tập hợp định điểm $\text{H}^1(G,A)$ có tính hàm tử. Cụ thể, nếu $f: A \to B$ là một đồng cấu $G$-đẳng biến giữa hai $G$-nhóm thì nó cảm sinh một ánh xạ $$f_\ast: \text{Z}^1(G,A) \to \text{Z}^1(G,B), \qquad \alpha \mapsto f \circ \alpha.$$ Ta cũng kiểm tra một cách dễ dàng rằng $f_\ast$ bảo toàn quan hệ đối đồng điều, vì thế nó cảm sinh một ánh xạ $$f_\ast: \text{H}^1(G,A) \to \text{H}^1(G,B), \qquad [\alpha] \mapsto [f \circ \alpha].$$ Ánh xạ này gửi điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,A)$ vào điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,B)$.

 

Ta diễn tả lại Định lý 1 ở trên bằng ngôn ngữ dãy khớp. Một dãy khớp ngắn các $G$-nhóm được cho bởi $$1 \to A \xrightarrow{u} B \xrightarrow{v} C \to 1,$$ trong đó $A, B, C$ là các $G$-nhóm và $f,g$ là các đồng cấu nhóm $G$-đẳng biến. Tính khớp ở đây nghĩa là

1. $\text{Im}(1 \to A) = \text{Ker}(u: A \to B)$, hay $u$ là một đơn cấu (vậy ta có thể coi $A$ là một nhóm con của $B$).
2. $\text{Im}(u: A \to B) = \text{Ker}(v: B \to C)$ (vậy ta có thể coi $A$ là một nhóm con chuẩn tắc của $B$).
3. $\text{Im}(v: B \to C) = \text{Ker}(C \to 1)$, hay $v$ là một toàn cấu (vậy ta có thể coi $C = B/A$).

Nói riêng, hạn chế $A^G \to B^G$ của $u$ vẫn là một đơn cấu. Ngoài ra, ta có dãy khớp $$1 \to A^G \to B^G \to C^G,$$ vì nếu $b \in B^G$ gửi vào $1 \in C^G$ thì $b = u(a)$ với $a \in A$ nào đó. Vì $b \in B^G$ và $u$ là $G$-đẳng biến nên $$u({}^g a) = {}^g u(a) = {}^g b = b = u(a)$$ với mọi $g \in G$. Vì $u$ là một đơn cấu nên ta có ${}^g a = a$ với mọi $g \in G$, nên $a \in A^G$.

Ta đã thấy rằng một phần tử của $C^G$ không nhất thiết đến từ $B^G$, nghĩa là dãy khớp trên nói chung không mở rộng được thành $$1 \to A^G \to B^G \to C^G \to 1.$$ Tuy nhiên, nhờ các tập hợp định điểm $\text{H}^1(G,-)$, ta có 

 

Định lý 2. Ta có dãy khớp dài các tập hợp định điểm $$1 \to A^G \xrightarrow{u} B^G \xrightarrow{v} C^G \xrightarrow{\delta} \text{H}^1(G,A) \xrightarrow{u_\ast} \text{H}^1(G,B) \xrightarrow{v_\ast} \text{H}^1(G,C).$$

(một dãy $X \to Y \to Z$ các tập hợp định điểm được gọi là khớp tại $Y$ nếu tập các phần tử của $Y$ được gửi vào phần tử đặc biệt của $Z$ chính là ảnh của $X \to Y$).

Chứng minh

Tính khớp tại $A^G$ và $B^G$ đã được chỉ ra ở trên. Tính khớp tại $C^G$ chính là nội dung của Định lý 1. Như vậy ta còn phải kiểm tra tính khớp tại $\text{H}^1(G,A)$ và tại $\text{H}^1(G,B)$.

 

Tính khớp tại $\text{H}^1(G,A)$. Cho $c \in C^G$. Viết $c = v(b)$ với $b \in B$. Thế thì $\delta = [\alpha]$, với $\alpha: G \to A$ là đối chu trình cho bởi công thức $$u(\alpha_g) = b^{-1}({}^g b)$$ với mọi $g \in G$. Tuy nhiên điều này có nghĩa là $u \circ \alpha \in \text{Z}^1(G,B)$ đối đồng điều với đối chu trình tầm thường, hay $u_\ast \delta c = u_\ast[\alpha]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,B)$. Ngược lại, cho $\alpha: G \to A$ là một 1-đối chu trình sao cho $u_\ast[\alpha] = [u \circ \alpha]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,B)$, thế thì tồn tại $b \in B$ sao cho $$u(\alpha_g) = b^{-1}({}^g b)$$ với mọi $g \in G$. Nhận xét rằng $$v(b)^{-1} ({}^g v(b)) = v(u(\alpha_g)) = 1,$$ suy ra $v(b) = {}^g v(b)$ với mọi $g \in G$, nghĩa là $v(b) \in C^G$. Ngoài ra, công thức trên cho thấy rằng $[\alpha] = \delta c$. Vậy $[\alpha]$ đến từ một phần tử của $C^G$.

Tính khớp tại $\text{H}^1(G,B)$. Cho $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình, thế thì $v(u(\alpha_g)) = 1$ với mọi $g \in G$, nghĩa là $v \circ u \circ \alpha \in \text{Z}^1(G,C)$ là đối chu trình tầm thường, vậy $v_\ast u_\ast [\alpha]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,C)$. Ngược lại, giả sử $\beta: G \to B$ là một đối chu trình sao cho $[v \circ \beta]$ là điểm đặc biệt của $\text{H}^1(G,C)$. Thế thì tồn tại $c \in C$ sao cho $v(\beta_g) = c^{-1} ({}^g c)$ với mọi $g \in G$. Ta viết $c = v(b)$ với $b \in B$, thế thì với mỗi $g \in G$, ta có $v(b \beta_g ({}^g b)^{-1}) = 1$, suy ra tồn tại $\alpha_g \in A$ sao cho $b\beta_g ({}^g b)^{-1} = u(\alpha_g)$ (do tính khớp của dãy $1 \to A \to B \to C \to 1$). Ta kiểm tra rằng $$\alpha: G \to A, \qquad g \mapsto \alpha_g$$ là một đối chu trình. Thật vậy, với $g,h \in G$, vì $\beta$ là một đối chu trình nên $$u(\alpha_{gh}) = b\beta_{gh} ({}^{gh} b)^{-1} = b \beta_g {}^g \beta_h ({}^{gh} b)^{-1} = (b\beta_g ({}^g b)^{-1}) {}^g(b\beta_h ({}^h b)^{-1}) = u(\alpha_g) u({}^g \alpha_h),$$ suy ra $\alpha_{gh} = \alpha_g {}^g \alpha_h$. Vậy $\alpha \in \text{Z}^1(G,A)$. Bây giờ, nhận xét rằng $\beta_g = b^{-1} u(\alpha_g) {}^g b$ với mọi $g \in G$, do đó ta có $[\beta] = [u \circ \alpha]$ trong $\text{H}^1(G,B)$, vậy $\beta$ đến từ lớp đối đồng điều $[\alpha] \in \text{H}^1(G,B)$. $\square$

 

 

Ta kết thúc với nhận xét sau đây đối với đối đồng điều abel. Cho $A$ là một $G$-nhóm. Khi $A$ là một nhóm abel, ta gọi $A$ một $G$-môđun. Một đồng cấu giữa hai $G$-môđun đơn giản là một đồng cấu nhóm $G$-đẳng biến. Một đối chu trình $\alpha: G \to A$ là một ánh xạ thỏa mãn $$\alpha_{gh} = \alpha_g + {}^g \alpha_h$$ với mọi $g,h \in G$ (ta cũng gọi $\alpha$ là một đồng cấu chéo (crossed homomorphism).

Lúc này, $\text{Z}^1(G,A)$ có một cấu trúc nhóm abel tự nhiên cho bởi $$(\alpha + \alpha')_g := \alpha_g + \alpha'_g$$ với mọi $\alpha,\alpha' \in \text{Z}^1(G,A)$ và $g \in G$. Lớp đặc biệt (gồm các đối chu trình dạng $g \mapsto {}^g a - a$ với $a \in A$) là một nhóm con của $\text{Z}^1(G,A)$. Ta ký hiệu nhóm này bởi $\text{B}^1(G,A)$ và gọi các phần tử của nó là các 1-đối biên (coboundary). Hai đối chu trình là đối đồng điều với nhau khi và chỉ khi hiệu của chúng là một đối biên, nghĩa là ta có $\text{H}^1(G,A) = \text{Z}^1(G,A) / \text{B}^1(G,A)$.

Nếu $0 \to A \to B \to C \to 0$ là một dãy khớp các $G$-môđun. Ta có dãy khớp dài các nhóm abel $$0 \to A^G \to B^G \to C^G \xrightarrow{\delta} \text{H}^1(G,A) \to \text{H}^1(G,B) \to \text{H}^1(G,C).$$

Trong trường hợp abel, ta có thể nối dài dãy khớp trên. Cụ thể, ta có thể định nghĩa nhóm $\text{Z}^n(G,A)$ các $n$-đối chu trình và nhóm con $\text{B}^n(G,A)$ các $n$-đối biên của nó. Nhóm đối đồng điều thứ $n$ của $G$ với hệ số trong $A$ là $\text{H}^n(G,A) = \text{Z}^n(G,A) / \text{B}^n(G,A)$. Nếu $0 \to A \to B \to C \to 0$ là một dãy khớp ngắn các $G$-môđun thì tồn tại các đồng cấu nhóm tự nhiên $$\delta: \text{H}^n(G,C) \to \text{H}^{n+1}(G,A)$$ sao (được gọi là các đồng cấu nối - connecting homomorphism) cho ta có dãy khớp dài $$\cdots \to \text{H}^{n-1}(G,C) \to \text{H}^n(G,A) \to \text{H}^n(G,B) \to \text{H}^n(G,C) \to \text{H}^{n+1}(G,A) \to \cdots $$

Ở bài này, ta sẽ chỉ ra rằng tập hợp đối đồng điều thứ nhất $\text{H}^1(G,A)$ phân loại các đối tượng hình học được gọi là torsor (hay principal homogeneous space).

 

2. $\text{H}^1$ và torsor

 

Ta cho $G$ là một nhóm và $A$ là một $G$-nhóm. Một torsor dưới $A$ là một tập hợp $X \neq \varnothing$ được trang bị một tác động trái $$G \times X \to X, \qquad (g,x) \mapsto {}^g x$$ của $G$ và một tác động phải $$X \times A \to X, \qquad (x,a) \mapsto x \cdot a$$ của $A$, nghĩa là với mọi $g,h \in G$, $a,b \in A$ và $x \in X$, ta có

1. ${}^{gh} x = {}^g({}^h x)$.
2. ${}^1 x = x$.
3. $x \cdot ab = (x \cdot a) \cdot b$.
4. $x \cdot 1 = x$.

Ngoài ra, ta yêu cầu $X$ thỏa mãn hai tính chất sau đây

1. (tác động của $G$ và của $A$ tương thích) ${}^g (x \cdot a) = {}^g x \cdot {}^g a$ với mọi $g \in G$, $a \in A$ và $x \in X$.
2. (tác động của $A$ là truyền dẫn đơn - simply transitive) với mọi $x, y \in X$, tồn tại duy nhất $a \in A$ sao cho $x \cdot a = y$.

Một ánh xạ $f: X \to Y$ giữa hai torsor dưới $A$ được gọi là $(G,A)$-đẳng biến nếu nó tương thích với tác động trái của $G$ cũng như tác động phải của $A$.

 

Bổ đề. Mỗi ánh xạ $(G,A)$-đẳng biến giữa hai torsor dưới $A$ đều là một song ánh. Nói cách khác, phạm trù các torsor dưới $A$ là một phỏng nhóm (groupoid).

Chứng minh

Cho $f: X \to Y$ là một ánh xạ giữa hai torsor dưới $A$. Giả sử $x, x' \in X$ sao cho $f(x) = f(x')$. Ta viết $x' = x \cdot a$, $a \in A$. Thế thì $f(x) = f(x) \cdot a$, suy ra $a = 1$ vì tính truyền dẫn đơn, suy ra $x' = x$. Vậy $f$ là một đơn ánh. Mặt khác, xét $y \in Y$ tùy ý. Lấy $x \in X$ bất kỳ và lấy $a \in A$ sao cho $y = f(x) \cdot a$, thế thì $y = f(x \cdot a)$, vậy $f$ là một toàn ánh. $\square$

 

Chú ý rằng nếu $X$ là một torsor dưới $A$ thì với mọi $x \in X$, ánh xạ $A \to X$, $a \mapsto x \cdot a$ là một song ánh $A$-đẳng biến, tuy nhiên nói chung nó không $G$-đẳng biến (ở đây ta xét $A$ là một torsor dưới chính nó nhờ tác động tịnh tiến phải). Ta nói hai torsor dưới $A$ là tương đương nếu tồn tại một ánh xạ $(G,A)$-đẳng biến giữa chúng (nó tự động là một song ánh). Ta nói một torsor dưới $A$ là tầm thường nếu nó tương đương với $A$.

 

Bổ đề. Một torsor $X$ dưới $A$ là tầm thường khi và chỉ khi $X^G \neq \varnothing$.

Chứng minh

Nếu $X$ là một torsor tầm thường dưới $A$ thì tồn tại một ánh xạ $G$-đẳng biến $f: A \to X$. Nói riêng, vì $1 \in A^G$ nên ta có $f(1) \in X^G$. Vậy $X^G \neq \varnothing$. Ngược lại, giả sử $x \in X^G$. Thế thì ánh xạ $A \to X$ cho bởi $a \mapsto x \cdot a$ là $G$-đẳng biến, do đó $X$ tương đương với $A$. $\square$

 

Cho $X$ là một torsor dưới $A$. Ta xây dựng lớp đối đồng điều $\text{Cl}(X) \in \text{H}^1(G,A)$ như sau. Chọn một điểm $x \in X$ bất kỳ. Với mỗi $g \in G$, lấy $\alpha_g \in A$ là phần tử duy nhất sao cho ${}^g x = x \cdot \alpha_g$. Thế thì với $g, h \in G$, ta có $$x \cdot \alpha_{gh} = {}^{gh} x = {}^g({}^h x) = {}^g (x \cdot \alpha_h) = {}^g x \cdot {}^g \alpha_h = x \cdot \alpha_g {}^g \alpha_h,$$ suy ra $\alpha_{gh} = \alpha_g{}^g \alpha_h$, nghĩa là $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình. Nếu ta chọn một điểm khác, $x' \in X$, ta viết $x' = x \cdot a$ với $a \in A$; thế thì đối chu trình  $\alpha'$ tương ứng được cho bởi công thức ${}^g x' = x' \cdot \alpha'_g$, từ đó $$x \cdot a\alpha'_g = x' \cdot \alpha'_g = {}^g x' = {}^g (x \cdot a) = {}^g x \cdot {}^g a = x \cdot \alpha_g {}^g a,$$ suy ra $a \alpha'_g = \alpha_g {}^g a$, nghĩa là $\alpha'_g = a^{-1} \alpha_g {}^g a$ với mọi $g \in A$. Nói cách khác, hai chu trình $\alpha'$ và $\alpha$ là đối đồng điều, vì thế lớp đối đồng điều $[\alpha] \in \text{H}^1(G,A)$ không phụ thuộc vào cách chọn điểm $x \in X$. Ta ký hiệu lớp này bởi $\text{Cl}(X)$.

 

Ngược lại, cho $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình. Ta xây dựng torsor $X_{\alpha}$ dưới $A$ bằng cách "vặn" (twist) tác động của $G$ trên $A$ như sau. Ta xét $X_{\alpha} = A$ với tư cách là một tập hợp được trang bị tác động tịnh tiến phải của $A$. Tác động trái của $G$ được cho bởi công thức $$g \cdot_{\alpha} x:= \alpha_g {}^g x$$ với $g \in G$ và $x \in X_\alpha = A$. Sử dụng điều kiện đối chu trình của $\alpha$, ta kiểm tra được rằng đây thực sự là một tác động trái của $G$, và rõ ràng nó tương thích với tác động tịnh tiến phải của $A$. Ta tính $\text{Cl}(X_{\alpha})$. Chọn $1 \in X_\alpha$. Thế thì $g \cdot_{\alpha} 1 = \alpha_g = 1 \alpha_g$ và vì thế ta thấy rằng $\text{Cl}(X_{\alpha})$ được đại điện bởi đối chu trình $\alpha$, nghĩa là $\text{Cl}(X_{\alpha}) = [\alpha]$.

 

Định lý. Cho $X$ là một torsor dưới $A$. Cho $\alpha: G \to A$ là một đối chu trình. Khi đó $X$ tương đương với $X_{\alpha}$ khi và chỉ khi $\text{Cl}(X) = [\alpha]$.

Chứng minh

Nếu $X$ tương đương với $X_{\alpha}$ thì tồn tại một ánh xạ $(G,A)$-đẳng biến $f: X_{\alpha} \to X$. Lấy $x = f(1) \in X$. Thế thì $${}^g x = {}^g f(1) = f(g \cdot_\alpha 1) = f(\alpha_g) = f(1) \cdot \alpha_g = x \cdot \alpha_g$$ với mọi $g \in G$. Từ cách xây dựng của $\text{Cl}(X)$, ta thấy $\text{Cl}(X) = [\alpha]$.

Ngược lại, giả sử $\text{Cl}(X) = [\alpha]$. Chọn $x \in X$ tùy ý và viết $${}^g x = x \cdot \alpha'_g, \qquad \alpha'_g \in A$$ với mỗi $g \in G$. Thế thì $\alpha': G \to A$ là một đối chu trình và $[\alpha] = \text{Cl}(X) = [\alpha']$. Vì thế tồn tại $a \in A$ sao cho $\alpha'_g = a^{-1} \alpha_g {}^g a$ với mọi $g \in G$. Ta xét ánh xạ $f: X_{\alpha} \to X$ cho bởi $f(b) = x \cdot a^{-1}b$. Dễ thấy nó $A$-đẳng biến. Nó cũng $G$-đẳng biến, vì với mọi $g \in G$ và $b \in X_\alpha = A$, ta có $$f(g \cdot_\alpha b) = f(\alpha_g {}^g b) = x \cdot a^{-1} \alpha_g {}^g b = x \cdot \alpha'_g {}^g (a^{-1}) {}^g b = {}^g x \cdot {}^g (a^{-1}) {}^g b = {}^g(x \cdot a^{-1}b) = {}^g f(b).$$ Vậy $X$ tương đương với $X_{\alpha}$. $\square$.

 

Nói riêng, ta có $[\alpha] = [\alpha']$ trong $\text{H^1}(G,A)$ khi và chỉ khi $X_{\alpha}$ và $X_{\alpha'}$ là tương đương. Hai torsor $X$ và $Y$ dưới $A$ là tương đương khi và chỉ khi $\text{Cl}(X) = \text{Cl}(Y)$.

 

Định lý trên nói rằng, tập hợp $\text{H}^1(G,A)$ phân loại các torsor dưới $A$, sai khác một song ánh $(G,A)$-đẳng biến.

 

Cảm ơn bạn, mình có giải quyết được bài này rồi. 
 

Đặt $X = (AB - BA)$. Vì $rank(X) = 1$, vậy $X$ có dạng 

 

$$X = U^TV = \begin{bmatrix} u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\ u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u_nv_1 & u_nv_2 & \dots & u_nv_n \end{bmatrix}$$

 

trong đó $U = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_n \end{bmatrix}, V = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \dots & v_n \end{bmatrix}$

 

Ta có: $VU^T = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} v_i u_i = r \in \mathbb{R}$. Từ đó

$$X^2 = (U^TV)^2 = (U^TV)(U^TV) = U^T(VU^T)V = U^T r V = r (U^T V) = rX$$

 

Ta sẽ chứng minh tồn tại duy nhất $r \in R$ thỏa mãn $X^2 = rX$. 

 

Giả sử $\exists r' \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $X^2 = r'X$, khi đó: 

$$O_n = r'X - rX = (r' - r)X$$

 

Do $X \neq O_n$, suy ra $(r' - r) = 0$ hay $r' = r$.

 

Dễ thấy $r = trace(X) = trace(AB - BA)$. Lại có $trace(AB - BA) = 0$, do: 

$$trace(AB) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} (AB)_{ii} =  \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}  \displaystyle\sum_{k = 1}^{n} A_{ik} B_{ki} = \displaystyle\sum_{k = 1}^{n}  \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} B_{ki} A_{ik} = trace(BA)$$

 

và $trace(AB-BA) = trace(AB) - trace(BA)$. 

 

Vì vậy, $X^2 = O_n$ hay $(AB - BA)^2 = O_n$ 

 

Từ chỗ $\text{trace}(X) = 0$ bạn đã suy ra được $r = 0$ rồi, không cần chứng minh $r$ là duy nhất nữa.

Bài 3. Liên hệ với bài toán Galois ngược

 

Ta xét bài toán Galois ngược: Cho $k$ là một trường số và $G$ là một nhóm hữu hạn. Liệu có tồn tại một mở rộng Galois của $k$ với nhóm Galois đẳng cấu với $G$ không?

 

Từ thời Hilbert và Noether, người ta đã đưa ra cách tiếp cận sau đây cho bài toán Galois ngược: ta nhúng $G$ vào một nhóm con của $\mathrm{SL}_n$ (với tư cách là một nhóm con hằng, nghĩa là $G \subseteq \mathrm{SL}_n(k)$). Sự tồn tại của một mở rộng Galois của $k$ với nhóm Galois $G$ có thể đưa về một bài toán số học trên đa tạp thương $X = \mathrm{SL}_n / G$.

 

 

1. Đối đồng điều Galois không giao hoán

 

Cho $\Gamma$ là một nhóm hầu hữu hạn (profinite) và $A$ là một nhóm rời rạc được trang bị một tác động liên tục của $\Gamma$. Ta định nghĩa nhóm đối đồng điều thứ $0$ của $\Gamma$ với hệ số trong $A$ một cách thông thường, $$\mathrm{H}^0(\Gamma,A) :=  A^{\Gamma}= \{a \in A: \forall \gamma \in \Gamma, \ \gamma \cdot a = a\}.$$ Một 1-đối chu trình với hệ số trong $A$ là một ánh xạ $\xi: \Gamma \to A$ thỏa mãn $\xi_{\gamma\gamma'} = \xi_\gamma (\gamma \cdot \xi_{\gamma'})$ với mọi $\gamma,\gamma' \in \Gamma$. Ta nói hai 1-đối chu trình $\xi, \eta: \Gamma \to A$ là đối đồng điều (cohomologous) với nhau nếu tồn tại $a \in A$ sao cho $a\xi_\gamma = \eta_\gamma(\gamma \cdot a)$ với mọi $\gamma \in \Gamma$.

Tập hợp đối đồng điều thứ $1$ của $\Gamma$ với hệ số trong $A$ được định nghĩa bởi tập thương của tập hợp các 1-đối chu trình liên tục $\Gamma \to A$ bởi quan hệ đối đồng điều và được ký hiệu bởi $\mathrm{H}^1(\Gamma,A)$. Nếu $A$ không giao hoán thì nói chung $\mathrm{H}^1(\Gamma,A)$ không có một cấu trúc nhóm tự nhiên, mà chỉ là một tập hợp định điểm (pointed set), điểm được đánh dấu của nó là lớp các đối chu trình có dạng $\gamma \mapsto a^{-1}(\gamma \cdot a)$ với $a \in A$ nào đó.

Một dãy khớp ngắn $$1 \to A \to B \to C \to 1$$ các nhóm rời rạc với tác động liên tục của $\Gamma$ cảm sinh một dãy khớp dài các tập hợp định điểm $$1 \to A^{\Gamma} \to B^{\Gamma} \to C^{\Gamma} \to \mathrm{H}^1(\Gamma,A) \to \mathrm{H}^1(\Gamma,B) \to \mathrm{H}^1(\Gamma,C).$$ Nếu $A$ nằm trong tâm của $B$ (nói riêng, $A$ giao hoán) thì ta có thể bổ sung thêm nhóm $\mathrm{H}^2(\Gamma,A)$ về phía bên phải của dãy trên.

 

Ta xét $k$ là một trường và $\Gamma = \text{Gal}(k_s/k)$ là nhóm Galois tuyệt đối của $k$. Nếu $G$ là một nhóm đại số trên $k$, ta định nghĩa $\mathrm{H}^i(k,G) = \mathrm{H}^i(\Gamma,G(k_s))$, $i = 0,1$. Như vậy $\mathrm{H}^0(k,G)$ đơn giản là nhóm $G(k)$ các điểm hữu tỉ của $G$. Tập hợp $\mathrm{H}^1(k,G)$ phân loại các $k$-torsor dưới $G$, tức là các đa tạp trơn $V$ định nghĩa trên $k$ sao cho với mọi $v,w \in V(k_s)$, tồn tại duy nhất $g \in G(k_s)$ sao cho $g \cdot v = w$. Mỗi torsor $V$ như vậy đều đẳng cấu với $G$ sau khi mở rộng hệ số sang một mở rộng hữu hạn và tách của $k$. $V$ là tầm thường khi và chỉ nó đẳng cấu với $G$ trên $k$, điều này tương đương với việc $V$ có điểm hữu tỉ.

 

Ta có định lý Hilbert 90: $\mathrm{H}^1(k,\text{GL}_n) = \mathrm{H}^1(k,\text{SL}_n) = 1$. 

 

 

2. Xấp xỉ rất yếu và xấp xỉ siêu yếu

 

Cố định một trường số $k$, một nhóm hữu hạn $G$ và đặt $X = \mathrm{SL}_n / G$. Ký hiệu $\Omega$ là tập hợp tất cả các chốn của $k$. 

 

Vì tác động của $\text{Gal}(\overline{k}/k)$ trên $G$ là tầm thường nên nhóm $\mathrm{H}^1(k,G)$ chính là nhóm các đồng cấu liên tục $\text{Gal}(\overline{k}/k) \to G$ sai khác liên hợp trong $G$.

 

 

Xét một tập con hữu hạn $S_0 \subseteq \Omega$. Bằng kiến thức về torsor và tính chất xấp xỉ yếu của $\mathrm{SL}_n$, ta có thể chứng minh được rằng với mọi tập con hữu hạn $S \subseteq \Omega$ sao cho $S \cap S_0 = \varnothing$, hai khẳng định sau đây là tương đương. 

1. $X(k)$ trù mật trong $\prod_{v \in S} X(k_v)$.
2. Hạn chế $\mathrm{H}^1(k,G) \to \prod_{v \in S} \mathrm{H}^1(k_v,G)$ là một toàn cấu.

Nếu tồn tại một tập con hữu hạn $S_0$ sao cho hai tính chất trên được thỏa mãn với mọi tập con hữu hạn $S \subseteq \Omega$ mà $S \cap S_0 = \varnothing$, ta nói rằng $X$ thỏa mãn tính chất xấp xỉ rất yếu (very weak approximation).

 

Xét $X_c$ là một com-pắc hóa trơn của $X$. Đa tạp $X$ là thuận hữu tỉ, nói riêng là liên thông hữu tỉ. Một kết quả cơ bản nói rằng nhóm $\mathrm{Br}(X_c) / \mathrm{Br}(k)$ là hữu hạn. Từ đó ta chứng minh được rằng: nếu $X_c$ thỏa mãn giả thuyết Colliot-Thélène (tức là trở ngại Brauer-Manin) đối với định lý xấp xỉ yếu của $X_c$ là duy nhất) thì $X$ thỏa mãn tính chất xấp xỉ rất yếu.

 

Yếu hơn tính chất xấp xỉ rất yếu là tính chất xấp xỉ siêu yếu (hyperweak approximation). Đối với một đa tạp trơn, riêng và liên thông hữu tỉ hình học trên một trường số, xét các tính chất sau đây.

1. Xấp xỉ yếu 
2. Trở ngại Brauer-Manin đối với xấp xỉ yếu là duy nhất
3. Xấp xỉ rất yếu
4. Xấp xỉ siêu yếu

Thế thì $1. \implies 2. \implies 3. \implies 4.$

 

Để liên hệ với bài toán Galois ngược của $G$, ta chỉ cần tính chất xấp xỉ siêu yếu của $X$.

Cụ thể, cho $v$ là một chốn phi ác-si-mét của $k$. Ta nói một đối chu trình $\xi: \text{Gal}(\overline{k_v} / k_v) \to G$ là không rẽ nhánh (unramified) nếu ảnh của nhóm con quán tính (inertia subgroup) $I_v \subseteq \text{Gal}(\overline{k_v} / k_v)$ là tầm thường. Ta ký hiệu bởi $\mathrm{H}_{\mathrm{nr}}^1(k_v, G)$ nhóm con của $\text{H}^1(k_v,G)$ các lớp đối đồng điều được đại diện mởi một đối chu trình không rẽ nhánh. Đó cũng là ảnh của nhóm $\text{H}^1(k(v),G)$, với $k(v)$ là ký hiệu trường thặng dư của $v$. Ta nói rằng $X$ thỏa mãn tính chất xấp xỉ siêu yếu nếu tồn tại một tập con hữu hạn $S_0 \subseteq \Omega$ sao cho với mọi tập con hữu hạn $S \subseteq \Omega$ mà $S \cap S_0 \neq \varnothing$, ảnh của đồng cấu hạn chế $\mathrm{H}^1(k,G) \to \prod_{v \in S} \mathrm{H}^1(k_v,G)$ chứa nhóm $\prod_{v \in S} \mathrm{H}_{\mathrm{nr}}^1(k_v, G)$.

 

 

3. Bài toán Galois ngược 

 

Ký hiệu $k, G, X$ như ở mục trước. Ta có

Định lý. Nếu $X$ thỏa mãn tính chất xấp xỉ siêu yếu thì tồn tại một mở rộng Galois của $k$ với nhóm Galois đẳng cấu với $G$.

Chứng minh. Chọn một tập đại diện $\{g_1,\ldots,g_r\}$ cho các lớp liên hợp của $G$ và các chốn đôi một phân biệt $v_1,\ldots,v_r \in S_0$ của $k$. Với $i = 1,\ldots,r$, xét đồng cấu liên tục $$ \text{Gal}(\overline{k(v_i)}/ k(v_i)) \simeq \widehat{\mathbb{Z}} \to G, \qquad 1 \mapsto g_i.$$ Nó định nghĩa một phần tử  $\xi_i \in \mathrm{H}_{\mathrm{nr}}^1(k_{v_i}, G)$. Nếu $X$ thỏa mãn tính chất xấp xỉ rất yếu thì tồn tại một phần tử $\xi \in \mathrm{H}^1(k,G)$ sao cho $\xi$ hạn chế thành $\xi_i$ với mọi $i = 1,\ldots,r$. Chọn một đồng cấu liên tục $\xi: \text{Gal}(\overline{k}/k) \to G$ đại diện cho $\xi$, thế thì ảnh $H \subseteq G$ của $\sigma$ chứa một phần tử từ mọi lớp liên hợp của $G$, nghĩa là ta có $G = \bigcup_{g \in G} gHg^{-1}$. Một suy luận đơn giản của lý thuyết nhóm cho thấy rằng điều này chỉ xảy ra khi $H = G$, nghĩa là $\sigma$ là một toàn cấu. Gọi $\ell \subseteq \overline{k}$ là trường bất động của hạch của $\sigma$, thế thì $\ell$ là Galois trên $k$ và $\text{Gal}(\ell / k) \simeq G$. $\square$

 

Nói riêng, nếu trở ngại Brauer-Manin đối với định lý xấp xỉ yếu của mọi com-pắc hóa trơn của $X$ là duy nhất thì ta có câu trả lời khẳng định cho bài toán Galois ngược của $G$ trên $k$. Như vậy, giả thuyết Colliot-Thélène là rất mạnh: Lời giải của bài toán Galois ngược chỉ là một hệ quả của nó. Điều này đưa ra một nhận định bi quan rằng giả thuyết Colliot-Thélène có thể không đúng trong mọi trường hợp.

 

Sau đây là một số kết quả suy ra từ liên hệ trên.

1.  Neukirch đã thiết lập định lý xấp xỉ yếu cho $\mathrm{SL}_n / G$ trên mọi trường số $k$, nếu $G$ là một nhóm con hằng, hữu hạn với cấp là một số nguyên tố $p$ không là ước của số căn của $1$ chứa trong $k$. Như vậy ta có lời giải của bài toán Galois ngược trong trường hợp này.
2. Từ kết quả của Borovoi, ta có lời giải bài toán Galois ngược nếu $G$ là một nhóm abel. Thực ra ta không cần đến quả của Borovoi mà chỉ cần suy luận sơ cấp trên nhóm abel hữu hạn và sử dụng định lý mật độ Chebotarev.
3. Nếu giả thuyết số học của Harpaz và Wittenberg (xem bài trước) là đúng thì ta có lời giải của bài toán Galois ngược khi $G$ là một nhóm giải được.
4. Từ kết quả đã chứng minh của Harpaz và Wittenberg, ta có lời giải của bài toán Galois ngược khi $G$ là một nhóm siêu giải được (chẳng hạn, lũy linh). Chú ý rằng ngay cả lời giải trường hợp lũy linh cũng chưa được thiết lập trước Harpaz và Wittenberg.

Bài 1. Giới thiệu

 

Ở bài viết này mình sẽ giới thiệu theo kiểu layman về một vấn đề của lý thuyết số hiện đại.

 

1. Dẫn nhập

 

Một câu hỏi cơ bản và lâu đời nhất của số học là làm thế nào để biết một (hệ) phương trình đa thức với hệ số nguyên (phương trình Diophantus) cho trước có nghiệm nguyên (hay hữu tỉ) hay không, và tìm nghiệm nguyên (hay hữu tỉ) như thế nào? A priori, đây là một câu hỏi rất khó và hoàn toàn có thể là không có câu trả lời. David Hilbert đã phát biểu nó thành bài toán thứ 10 trong danh sách 23 bài toán thế kỷ:

Liệu có một thuật toán mà, cho trước một phương trình Diophantus, trả lời rằng phương trình đó có nghiệm hay không?

Định lý Matiyasevich đã đưa ra câu trả lời phủ định: Không tồn tại một thuật toán phổ quát như vậy.

 

Chú ý, nếu ta không nói đến nghiệm nguyên (hay hữu tỉ), mà quan tâm đến nghiệm phức (hoặc nghiệm trong một trường đóng đại số), thì vấn đề rất đơn giản: Trong logic toán và lý thuyết mô hình, đây là tính chất khử lượng từ (QE/quatifier /elimination) của lý thuyết ACF (algebraically closed field). Tương tự đối với nghiệm thực (hoặc nghiệm trong một trường đóng thực), lý thuyết RCF (real closed field) cũng có QE. Ngoài ra ta còn có các công cụ của giải tích: thuật toán Sturm, đạo hàm...

 

Ở bài này, chúng ta tìm hiểu lí do tại sao việc tìm nghiệm hữu tỉ lại khó.

 

Tổng quát hơn, ta quan tâm đến việc tìm nghiệm trong một trường số (number field). Đây là bước chuyển từ lý thuyết số sơ cấp sang lý thuyết số đại số. Lịch sử của lý thuyết số đại số bắt nguồn từ nỗ lực chứng minh định lý lớn Fermat, rằng phương trình $$x^p - y^p = z^p$$ không có nghiệm với $p > 2$ là số nguyên tố (dễ thấy chỉ cần xét lũy thừa nguyên tố). Với $p = 2$ thì ta có thể phân tích $z^2 = (x-y)(x+y)$ và dùng suy luận về phân tích duy nhất ra thừa số nguyên tố. Với $p > 2$, ta cũng có thể phân tích như vậy, nhưng phải thông qua tập số phức, $$z^p = (x-y)(x - \zeta y)(x - \zeta^2 y)\cdots (x - \zeta^{p-1} y),$$ trong đó $\zeta = e^{\frac{2\pi i}{p}} = \cos\frac{2\pi}{p} + i\sin\frac{2\pi}{p}$ là một căn bậc $p$ phức nguyên thủy của $1$. Như vậy ta phải là việc trong một môi trường rộng hơn các số nguyên và số hữu tỉ, đó là các trường số, cụ thể ở đây là các trường số cyclotomic. Cách tiếp cận trên của Cauchy và Lamé, dù sau cùng đã thất bại, đã khai sinh ra ngành lý thuyết số đại số.

 

Một trường số là một mở rộng hữu hạn của trường số hữu tỉ $\mathbb{Q}$, tức là một trường mà là một không gian véc-tơ hữu hạn chiều trên $\mathbb{Q}$. Ví dụ, $$\mathbb{Q}(i) = \{a + bi: a,b \in \mathbb{Q}\}$$ hay $$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) = \{a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}: a,b,c \in \mathbb{Q}\}$$ là các trường số. Vai trò của các số nguyên trong $\mathbb{Q}$ được thay bởi các số nguyên đại số trong các trường số trên., cụ thể lần lượt là $$\mathbb{Z}[i] = \{a + bi: a,b \in \mathbb{Z}\}$$ và $$\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}] = \{a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4}: a,b,c \in \mathbb{Z}\}.$$ Theo định lý phần tử nguyên thủy trong lý thuyết Galois, mọi trường số đều có dạng như trên: kết nạp một số đại số $\alpha$ cùng với các biểu thức cộng, trừ, nhân, chia có thể thực hiện được với $\alpha$ vào trường $\mathbb{Q}$ (một số đại số là nghiệm của một phương trình đa thức một biến với hệ số hữu tỉ).

 

Cản trở đầu tiên trong cách tiếp cận trên để chứng minh định lý lớn Fermat là tính chất phân tích duy nhất ra thừa số nguyên tố không còn được bảo toàn nữa. Ví dụ, trong $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{a + b\sqrt{-5}: a,b \in \mathbb{Z}\},$$ số 6 có hai phân tích khác nhau là $$6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}).$$

 

 

2. Từ địa phương

 

Một cách tấn công cơ bản cho các phương trình Diophantus là thay vì giải trực tiếp (hệ) phương trình ban đầu, ta giải phương trình đồng dư tương ứng, với một modulo thích hợp. Nếu một số nguyên dương $n$ có phân tích ra thừa số nguyên tố $n = p_1^{d_1} \cdots p_r^{d_r}$, thì việc giải một phương trình đồng dư modulo $n$ tương đương với việc giải hệ gồm phương trình ban đầu theo các modulo $p_i^{d_i}$, $i=1,\ldots,r$. Đây là nội dung của định lý số dư Trung Hoa. Như vậy, ta chỉ cần đưa bài toán về giải phương trình đồng dư modulo lũy thừa của một số nguyên tố $p$. Việc làm như vậy được coi là tìm nghiệm "địa phương" của (hệ) phương trình ban đầu.

Ta trình bày lại việc này theo ngôn ngữ của lý thuyết số hiện đại.

 

Rõ ràng tìm nghiệm modulo $p^{n+1}$ thì khó hơn tìm nghiệm modulo $p^n$. Như vậy ta bắt đầu tìm nghiệm modulo $p$ trước (các số nguyên modulo $p$ tạo thành một trường, và ta có thể dùng các công cụ như đại số tuyến tính...) Sau đó ta tìm cách "nâng" nghiệm này thành modulo $p^2$, sau đó nâng thành modulo $p^3$,... Các bước nâng này có thể thực hiện theo thuật toán, điều này được đảm bảo bởi bổ đề Hensel và (phiên bản phi Ác-si-mét) của phương pháp xấp xỉ nghiệm bằng tiếp tuyến của Newton. Như vậy ta thu được một hộ nghiệm modulo $p^n$ với mọi $n$, được xem như một "nghiệm địa phương". Vấn đề là nghiệm này không nhất thiết đến từ một số nguyên hay số hữu tỉ; nó đến từ một không gian lớn hơn, được gọi là các số $p$-adic.

 

Ví dụ. Phương trình $x^2 + 1 = 0$ không có nghiệm nguyên. Tuy nhiên nó có "nghiệm địa phương" tại $p = 5$. Thật vậy, xét modulo $5$, phương trình đồng dư $x^2 + 1 \equiv 0 \pmod 5$ có nghiệm $x_1 = 2$. Giả sử ta đã tìm được nghiệm $x_n$ modulo $5^n$, tức là $x_n^2 + 1 \equiv 0 \pmod{5^n}$. Ta tìm nghiệm modulo $5^{n+1}$ ở dạng $x_{n+1} = x_n + 5^ny$, với $y$ là một số nguyên sẽ chọn sau. Ta đã có $5^n \,|\, x_n^2 + 1$ và ta muốn $5^{n+1} \,|\, (x_n + 5^n y)^2 + 1$, tức là tương đương với $$5 \,|\, 2x_n y + \frac{x_n^2 + 1}{5}.$$ Dễ thấy rằng $x_n$ không chia hết cho $5$, nên ta luôn chọn được $y$ thỏa mãn yêu cầu trên ($y$ là duy nhất modulo $5$, chẳng hạn nếu ta yêu cầu rằng $y \in \{0,1,2,3,4\}$). Dãy nghiệm $(x_n)_{n \ge 1}$ ở trên mô tả thông tin modulo $5^n$ với mọi $n$, và các thông tin này "nhất quán" với nhau, tức là $x_{n+1} \equiv x_n \pmod{5^n}$. 

 

Ý tưởng của số $p$-adic như sau: nếu một số nguyên $x$ có khai triển cơ số $p$ là $$x = a_0 + a_1p + a_2p^2 + \cdots, \qquad a_i \in \{0,1,\ldots,p-1\},$$ thì ta có thể biết $x$ khi biết các số $a_0,a_1,\ldots$, tức là biết $$x_n = a_0 + a_1p + \cdots + a_{n-1}p^{n-1}$$ với mọi $n$. $x_n$ ở đây chính là số dư của $x$ khi chia cho $p^n$. Rõ ràng ta có $x_{n+1} \equiv x_n \pmod{p^n}$ (điều kiện "nhất quán" ở trên). Tuy nhiên, cho trước một bộ số nguyên $(x_n)_{n \ge 1}$ "nhất quán" theo nghĩa như trên, ta không nhất thiết tìm được một số nguyên $x$ tương ứng với nó. Thật vậy, một điều kiện cần hiển nhiên là các số $a_n$ ở trên phải bằng $0$ kể từ một lúc nào đó. Cái chúng ta thu được ứng với một bộ nhất quán bất kỳ (không cần điều kiện $a_n = 0$ kể từ một lúc nào đó), chính là các số nguyên $p$-adic. Một số nguyên $p$-adic là một tổng hình thức $$x = a_0  + a_1p + a_2p^2 + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n p^n,$$ trong đó $a_i \in \{0,1,\ldots,p-1\}$ tùy ý. Chú ý rằng ta chưa hề nói gì về việc tổng vô hạn này có nghĩa (hội tụ) hay không, nó hoàn toàn hình thức. Một số nguyên $p$-adic lưu giữ thông tin modulo $p^n$ với mọi $n$, và các thông tin này nhất quán với nhau. Cụ thể, thông tin modulo $n$ thu được bằng các "chặt đuôi", tức là chỉ xét phần tổng hữu hạn (và vì thế có nghĩa, là một số nguyên thực sự, $$x_n = a_0 + a_1p + \cdots + a_{n-1} p^{n-1} \in \mathbb{Z}$$). 

 

Chúng ta sẽ làm rõ ý nghĩa của chuỗi (i.e. tổng vô hạn) ở trên. Như đã biết, số thực là khái niệm được xây dựng từ số thực bằng phương pháp hoàn toàn toàn không hề đại số: Một dãy số được gọi là cơ bản hay Cauchy nếu các số hạng của nó có thể gần nhau một cách tùy ý kể từ lúc nào đó. Tất cả các dãy số hội tụ đều là dãy cơ bản. Tuy nhiên một dãy số hữu tỉ cơ bản thì không nhất thiết hội tụ về số hữu tỉ. Ta "kết nạp" tất cả các giới hạn trên vào trường số hữu tỉ để tạo thành trường số thực $\mathbb{R}$, nơi mọi dãy cơ bản đều hội tụ. Thao tác như vậy được gọi là đầy đủ hóa. Bây giờ ta sẽ làm điều tương tự, như thay vì nói về sự hội tụ thông thường, ta sẽ đưa ra một quan niệm khác về sự hội tụ trên $\mathbb{Q}$. Một giá trị tuyệt đối trên $\mathbb{Q}$ là một hàm $|\cdot|: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ thỏa mãn các tính chất sau đây.

1. Xác định dương: $|0| = 0$ và $|x| > 0$ với mọi $x \neq 0$.


2. Nhân tính: $|xy| = |x||y|$ với mọi $x,y$.


3. Bất đẳng thức tam giác: $|x+y| \le |x| + |y|$ với mọi $x,y$.

Ví dụ: ta đã có hàm giá trị tuyệt đối theo nghĩa thông thường trên $\mathbb{Q}$, ta sẽ ký hiệu nó bởi $|\cdot|_\infty$. Như vậy $|x|_\infty = x$ nếu $x \ge 0$ và $|x|_\infty = -x$ nếu $x < 0$. 

Hai số hữu tỉ $x,y$ được coi là gần nhau nếu hiệu của chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ, từ đó ta có thể nói về sự hội tụ. Trường số thực $\mathbb{R}$ là đầy đủ hóa của $\mathbb{Q}$ theo giá trị tuyệt đối $|\cdot|_\infty$. Bây giờ ta thay giá trị tuyệt đối thông thường $|\cdot|_\infty$ bởi giá trị tuyệt đối $p$-adic như sau. Mỗi số hữu tỉ $x \neq 0$ có thể viết dưới dạng $x = p^n\frac{a}{b}$, với $a,b$ là các số nguyên không chia hết cho $p$. Số nguyên $n$ là duy nhất và được ký hiệu bởi $v_p(x)$. Hàm $v_p$ đo xem số hữu tỉ $x$ "chia hết cho $p$ bao nhiêu lần". Quy ước rằng $v_p(0) = \infty$. Dễ thấy ta có các tính chất sau.

1. $v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y)$.


2. $v_p(x + y) \ge \min\{v_p(x),v_p(y)\}$. Ngoài ra, nếu $v_p(x) \neq v_p(y)$ thì ta có đẳng thức.

Đặt $|x|_p = p^{-v_p(x)}$. Đây được gọi là giá trị tuyệt đối $p$-adic trên $\mathbb{Q}$. Dễ thấy nó thỏa mãn các tính chất 1 và 2 của một giá trị tuyệt đối. Đối với tính chất 3, nó thỏa mãn một bất đẳng thức còn mạnh hơn, được gọi là bất đẳng thức ultrametric: $|x+y|_p \le \max\{|x|_p, |y|_p\}$, và nếu $|x|_p \neq |y|_p$ thì ta có đẳng thức. Nói cách khác, đối với giá trị tuyệt đối $p$-adic, mọi tam giác đều cân. Một giá trị tuyệt đối như vậy được gọi là phi Ác-si-mét.

 

Theo giá trị tuyệt đối $p$-adic, hai số hữu tỉ là gần nhau nếu hiệu của chúng là một số hữu tỉ có tử số chia hết cho một lũy thừa lớn của $p$. Điều này khác biệt với quan niệm gần nhau thông thường. Ví dụ, $p^2$ thì gần $0$ hơn $p$, dãy $1, p, p^2, \ldots$ thì hội tụ về $0$, vì dãy giá trị tuyệt đối $p$-adic tương ứng là $|1|, |p|^{-1}, |p|^{-2},\ldots$ Khi đầy đủ hóa $\mathbb{Q}$ theo giá trị tuyệt đối $p$-adic, ta thu được trường $\mathbb{Q}_p$, đó là trường các số $p$-adic. Có thể chứng minh rằng một số $p$-adic khác $0$ được viết duy nhất dưới dạng $$x = \sum_{n = k}^{\infty} a_n p^n,$$ với $k$ là số nguyên tùy ý (không nhất thiết $\ge 0$), các số $a_n \in \{0,1,\ldots,p-1\}$, và $a_k \neq 0$. Sự hội tụ của tổng vô hạn ở đây là theo giá trị tuyệt đối $p$-adic. Nếu $k \ge 0$ thì ta nói $x$ là một số nguyên $p$-adic.

 

Ví dụ. Trong $\mathbb{Q}_2$, ta có $1 + 2 + 2^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n = -1$. Thật vậy, xét tổng riêng thứ $N$, $\sum_{n = 0}^N 2^n = 2^{N+1} - 1$, khoảng cách $2$-adic giữa nó và $-1$ là $|2|^{-N-1}$, giá trị này tiến về $0$ khi $N \to \infty$.

 

Như đã nói ở trên, việc trả lời câu hỏi một phương trình đa thức cho trước có nghiệm hay không, và nếu có thì tì như thế nào, đều có thể thực hiện một các không quá khó khăn trong $\mathbb{R}$ hay trong $\mathbb{Q}_p$. Đối với các (hệ) phương trình Diophantus, việc tìm nghiệm thực và nghiệm $p$-adic được coi là việc "giải địa phương".

 

 

3. Đến toàn cục

 

Ta đã thấy rằng việc đầy đủ hóa $\mathbb{Q}$ theo các giá trị tuyệt đối khác nhau sẽ thu được các trường số thực $\mathbb{R}$, và các trường các số $p$-adic $\mathbb{Q}_p$. Ứng với $\mathbb{R}$, ta sẽ thêm một ký hiệu tưởng tượng là $\infty$, và gọi nó là "số nguyên tố tại vô cùng". $\infty$ cùng với các số nguyên tố thường thường, $2, 3, 5, 7, 11\ldots$ được gọi là các chốn (place) của $\mathbb{Q}$.

 

Định lý Ostrowski. Đó là tất cả các chốn của $\mathbb{Q}$.

 

Tổng quát hơn, đối với một trường số $k$, ta xét vành các số nguyên đại số trong $k$, ký hiệu bởi $\mathcal{O}_k$. Nó đóng vai trò như $\mathbb{Z}$ đối với $\mathbb{Q}$. Trong vành này nói chung không có phân tích duy nhất ra thừa số nguyên tố. Tuy nhiên tính chất mà chúng ta giữ được là phân tích duy nhất của iđêan ra iđêan nguyên tố (nói cách khác, $\mathcal{O}_k$ là một vành Dedekind). Về mặt lịch sử, iđêan được gọi là các số lý tưởng (ideal number). Đối với một trường số tùy ý thì ta sẽ xét các iđêan nguyên tố thay vì các số nguyên tố. Định lý Ostrowski đối với trường số $k$ có dạng như sau: Tất cả các chốn $v$ của $k$ được cho bởi.

 

1. Các chốn hữu hạn (hay chốn phi ác-si-mét), ứng với các iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}_v$ của $\mathcal{O}_k$. Đầy đủ hóa $k_v$ tương ứng là một mở rộng hữu hạn $\mathbb{Q}_p$, với $p$ là số nguyên tố (theo nghĩa thông thường) nào đó (số nguyên tố $p$ được gọi là nằm dưới $v$). Trường $k_v$ được gọi là một trường số $p$-adic.

2. Các chốn vô hạn (hay chốn ác-si-mét), ứng với các phép nhúng thực $k \hookrightarrow \mathbb{R}$, và các cặp phép nhúng phức (không thực) liên hợp $k \hookrightarrow \mathbb{C}$. Đầy đủ hóa $k_v$ tương ứng hoặc là $\mathbb{R}$ (đối với mỗi phép nhúng thực, được gọi là một chốn thực), hoặc là $\mathbb{C}$ (đối với mỗi cặp phép nhúng phức liên hợp, được gọi là một chốn phức).

 

Các trường số $p$-adic cùng với $\mathbb{R}$ và $\mathbb{C}$ được gọi là các trường địa phương. Trường số $k$ được gọi là một trường toàn cục.

 

Tìm nghiệm trong trường địa phương là một vấn đề dễ. Câu hỏi là liệu ta có thể "dán" các "nghiệm địa phương" thành "nghiệm toàn cục" (tức là nghiệm trong trường số $k$ ban đầu hay không).

 

Cho một đa thức thuần nhất bậc hai (với nhiều biến), chẳng hạn $4x^2 + 3xy - y^2$. Rõ ràng nó luôn có nghiệm tầm thường (cho tất cả các biến bằng $0$). Ta quan tâm đến nghiệm không tầm thường của nó.

 

Định lý Hasse-Minkowski. Một đa thức bậc hai thuần nhất với hệ số hữu tỉ có nghiệm không tầm thường trong $\mathbb{Q}$ khi và chỉ khi nó có nghiệm không tầm thường trong $\mathbb{R}$ và trong tất cả các trường $\mathbb{Q}_p$, với $p$ là số nguyên tố.

 

Minkowski đã chứng minh định lý trên cho $\mathbb{Q}$, và Hasse đã tổng quát hóa nó cho trường số bất kỳ.

 

Nếu một (hệ) phương trình đa thức (với hệ số trong một trường số) thỏa mãn tính chất trên ("có nghiệm địa phương trong tất cả các chốn thì có nghiệm toàn cục"), ta nói (hệ) phương trình đó thỏa mãn nguyên lý Hasse (hay nguyên lý địa phương-toàn cục).

 

Lý do đầu tiên khiến cho việc tìm nghiệm hữu tỉ (hay trong trong một trường số) khó, đó là nguyên lý Hasse nói chung không được thỏa mãn. Đây là ví dụ rất nổi tiếng của Selmer: phương trình $3x^3 + 4y^3 + 5z^3 = 0$ có nghiệm không tầm thường trong $\mathbb{R}$ và trong tất cả các trường $\mathbb{Q}_p$, nhưng không có nghiệm không tầm thường trong $\mathbb{Q}$.

 

4. Hình học đã can thiệp vào số học như thế nào?

 

Với sự phát triển mạnh của hình học đại số hiện đại cuối thế kỷ XX, với công lớn phải kể đến thuộc về nhóm Bourbaki, đặc biệt là André Weil, Alexander Grothendieck, Pierre Deligne, Jean-Pierre Serre... các công cụ của hình học đại số đã trở nên đủ mạnh để tiếp cân các bài toán số học (chẳng hạn, đã cho phép Andrew Wiles kết thúc chứng minh của định lý lớn Fermat đã kéo dài 3 thế kỉ). Một đa tạp đại số là tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức. Các đa tạp 1-chiều được gọi là các đường cong đại số, 2-chiều được gọi là các mặt đại số. Bài toán tìm nghiệm hữu tỉ của (hệ) phương trình Diophantus trở về bài toán tìm điểm hữu tỉ trên các đa tạp đại số. 

 

Câu hỏi tự nhiên của chúng ta là: một đa tạp cho trước có điểm hữu tỉ hay không, nếu có thì có nhiều không?

Ta bắt đầu với các đường cong. Ví dụ đơn giản nhất là tập nghiệm của một phương trình đa thức hai biến, tức là một đường cong phẳng (thật ra mọi đường cong đều tương đương song hữu tỉ/birationally equivalent với một đường cong phẳng). Ta sẽ quan tâm đến các giá trị số học (các bất biến) ảnh hưởng đến tập nghiệm hữu tỉ. Ví dụ ngây thơ nhất là bậc của đa thức. Tuy nhiên, bậc của đa thức hầu không phản ánh gì về tính chất của tập nghiệm hữu tỉ của đường cong. Một bất biến sâu sắc hơn là khái niệm giống (genus) của đường cong. Sau đây là kết quả.

 

Cho $C$ là một đường cong trơn (ta luôn làm được điều này, được gọi là giải kỳ dị, hay đơn giản hơn là chuẩn hóa đường cong) và đầy đủ (điều này tương đương với xạ ảnh) trên một trường số $k$. Gọi $g$ là giống của nó.

1. Nếu $g = 0$ thì $C$ đẳng cấu với conic phẳng. Nếu nó có ít nhất 1 điểm hữu tỉ (đối với conic, ta có thể kiểm tra điều này bằng nguyên lý Hasse!), thì nó đẳng cấu với đường thẳng xạ ảnh $\mathbb{P}^1_k$ đây được gọi là phương pháp cát tuyến, vì thế có rất nhiều điểm hữu tỉ. Ví dụ, khi áp dụng phương pháp cát tuyến để tìm nghiệm của phương trình Pythagoras $x^2 + y^2 = z^2$, ta sẽ thu được phép chiếu nổi (stereographic projection).


2. Nếu $g = 1$ thì $C$ được gọi là một đường cong elliptic, nó đẳng cấu với một đường cong bậc 3. Nếu nó có ít nhất 1 điểm hữu tỉ thì các điểm hữu tỉ của nó có một cấu trúc nhóm abel hữu hạn sinh (định lý Mordell-Weil). Các điểm này phân bố một cách rời rạc (chúng được đo bởi khái niệm chiều cao). Theo định lý về module hữu hạn sinh trên vành chính thì nhóm các điểm hữu tỉ phân tích thành tổng trực tiếp của một nhóm abel hữu hạn (phần xoắn) và một nhóm abel tự do (phần tự do) - nó có dạng $\mathbb{Z}^r$ - số $r$ được gọi là hạng của đường cong. Phần xoắn của nhóm này đã được hiểu khá rõ. Ví dụ khi $k = \mathbb{Q}$ thì ta có định lý Mazur (chứng minh rất sâu sắc, bản thân mình cũng chưa có thời gian kiểm tra toàn bộ, đây là một nguồn mà mình tìm được: http://www-personal..../679/index.html). Với $k$ tùy ý, ta có giả thuyết xoắn đã được chứng minh bởi Loïc Merel. Hạng $r$ vẫn còn là một bí ẩn. Việc tìm các đường cong với hạng cao rất khó, trang web này thống kê các kỉ lục về việc tìm đường cong elliptic với hạng lớn https://web.math.pmf...cMillen in 2000). Các suy luận heuristic gần đây của Bjorn Poonen và đồng nghiệp phỏng đoán rằng hạng này bị chặn trên, rằng 50% số đường cong có hạng bằng 0, 50% có hạng bằng 1 (nói riêng, hạng trung bình bằng 1/2). 


3. Nếu $g \ge 2$ thì $C$ chỉ có một số hữu hạn điểm hữu tỉ. Đây là định lý Faltings, ban đầu được phỏng đoán bởi Mordell. Vojta và Bombieri sau này đã dùng các suy luận hình học để đơn giản hóa chứng minh gốc của Faltings. Phương pháp của Vojta gần đây đã được tổng quát hóa bởi Vesselin Dimitrov, Ziyang Gao và Philipp Habegger để đưa ra một chặn đều cho con số hữu hạn nói trên (từ đó phần nào trả lời một câu hỏi tổng quát được gọi là giả thuyết Lang). Đây là bài báo của DGH https://webusers.imj...cles/UnifML.pdf.

Đối với số chiều cao hơn, gần như ta vẫn chưa có câu trả lời hoàn chỉnh. Một lớp các đa tạp mà chúng ta đã giải quyết được là các đa tạp abel (tổng quát hóa của đường cong elliptic): chúng ta cũng có định lý Mordell-Weil cho các đa tạp abel.

Bài 2. Trở ngại Brauer-Manin

 

1. Nhóm Brauer

 

Ta bắt đầu với nhóm Brauer của một trường. Cho $k$ là một trường và $k_s$ là một bao đóng tách của nó (nếu $k$ hoàn hảo, ví dụ hữu hạn hoặc đặc số bằng $0$) thì $k_s$ đơn giản là một bao đóng đại số của $k$.

 

Nhóm Brauer của $k$ là nhóm đối đồng điều Galois $\mathrm{Br}(k):=\mathrm{H}^2(k,k_s^\times)$. Nhóm này phân loại các đại số chia (hữu hạn chiều) trên $k$ sai khác đẳng cấu, và cũng phân loại các đại số đơn (hữu hạn chiều) trên $k$ với tâm bằng $k$ (CSA / central simple algebra) sai khác đẳng cấu ổn định. Cụ thể, ta chứng minh được rằng nếu $A$ là một CSA thì tồn tại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) đại số chia $D$ trên $k$ sao cho $A$ đẳng cấu với một vành ma trận vuông trên $D$. Nếu $B$ là một CSA khác, tương ứng với đại số chia $D'$ thì ta nói $A$ và $B$ đẳng cấu ổn định nếu $D \simeq D'$. Phép toán trên các CSA này là tích ten-xơ trên $k$ (chú ý rằng tích ten-xơ của hai đại số chia không nhất thiết là một đại số chia, vì thế ta cần chuyển qua các CSA). Phần tử đơn vị là lớp đẳng cấu ổn định của $k$. Phần tử đối của một CSA $A$ là đại số đối $A^{\mathrm{op}}$ của nó.

 

Nhóm Brauer có tính hàm tử: nếu $k \subseteq \ell$ là một mở rộng trường thì đồng cấu hạn chế trong đối đồng đều Galois cho ta một đồng cấu $\mathrm{Br}(k) \to \mathrm{Br}(\ell)$.

 

Ví dụ.

1. Nếu $k$ là một trường đóng tách (chẳng hạn, đóng đại số) thì $\mathrm{Br}(k) = 0$.

2. Nếu $k$ là một trường hữu hạn thì $\mathrm{Br}(k) = 0$, vì mọi đại số chia hữu hạn chiều trên $k$ đều là một trường.

3. $\mathrm{Br}(\mathbb{R}) = \{[\mathbb{R}], [\mathbb{H}]\} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, với $\mathbb{H}$ và là đại số quarternion thông thường (có thể dùng toán tử Adam trong K-lý thuyết tô-pô để chỉ ra rằng các đại số chia (không nhất thiết hết hợp) hữu hạn chiều trên $\mathbb{R}$ là $\mathbb{R}, \mathbb{C}$, $\mathbb{H}$ và $\mathbb{O}$ (đại số octonion thông thường), trong đó $\mathbb{C}$ không phải là một CSA trên $\mathbb{R}$ vì nó là một trường, còn $\mathbb{O}$ thì không kết hợp.

4. Từ lý thuyết trường các lớp địa phương, nếu $k$ là một trường địa phương phi ác-si-mét thì $\mathrm{Br}(k) \simeq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$.

5. Như vậy, nếu $k$ là một trường số thì với mọi chốn $v$, ta có một phép nhúng $k_v \hookrightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, được gọi là bất biến địa phương (local invariant), ảnh của nó là $0$ nếu $v$ là một chốn phức, $\frac{1}{2}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ nếu $v$ là một chốn thực, và là toàn bộ $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ nếu $v$ là một chốn phi ác-si-mét. Định lý Albert-Brauer-Hasse-Noether trong lý thuyết trường các lớp toàn cục cho ta một dãy khớp $$0 \to \mathrm{Br}(k) \to \bigoplus_v \mathrm{Br}(k_v) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0.$$

 

Vì đối đồng điều Galois chính là đối đồng điều étale, định nghĩa trên của nhóm Brauer mở rộng cho lược đồ bất kỳ: Nếu $X$ là một lược đồ, ta định nghĩa $$\mathrm{Br}(X):=\mathrm{H}^2_{\text{ét}}(X,\mathbb{G}_m).$$

 

 

2. Trở ngại Brauer-Manin

 

Cho $k$ là một trường số và $X$ là một đa tạp trơn trên $k$. Manin đã sử dụng nhóm Brauer đưa ra một tiêu chuẩn đối đồng điều rất hữu ích để xét xem một $X$ có thỏa mãn nguyên lý Hasse hay định lý xấp xỉ yếu hay không.

 

Cụ thể, cho $\alpha \in \mathrm{Br}(X)$ là một lớp đối đồng điều và $(x_v)_v \in \prod_v X(k_v)$ là một họ các điểm địa phương. Ta kí hiệu $\alpha(x_v) \in \mathrm{Br}(k_v) \subseteq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ là ảnh của $\alpha$ qua kéo lùi của cấu xạ $x_v: \mathrm{Spec}(k_v) \to X$.

 

Giả sử họ $(x_v)_v$ đến từ một điểm hữu tỉ $x \in X(k)$. Thế thì định lý Albert-Brauer-Hasse-Noether ở trên cho ta một đẳng thức $\begin{equation} \sum_v \alpha(x_v) = 0. \tag{$\star$} \end{equation}$

 

Việc lấy giá trị của một lớp $\alpha \in \mathrm{Br}(X)$ tại các $k_v$-điểm là liên tục (thực ra là hằng địa phương) theo tô-pô $v$-adic. Do đó, nếu tồn tại một lớp $\alpha \in \mathrm{Br}(X)$ sao cho $(\star)$ không được thỏa mãn thì họ $(x_v)_v$ không thể xấp xỉ được bởi một điểm hữu tỉ. Đó là trở ngại Brauer-Manin đối với định lý xấp xỉ yếu. Nếu với mọi bộ $(x_v)_v$ đều tồn tại một lớp $\alpha \in \mathrm{Br}(X)$ sao cho $(\star)$ không được thỏa mãn thì $X$ không thể có điểm hữu tỉ. Đó là trở ngại Brauer-Manin đối với nguyên lý Hasse.

 

Ta hiệu $X(\mathbb{A}_k)^{\mathrm{Br}}$ là tập hợp các bộ $(x_v)_v \in \prod_v X(k_v)$ sao cho $(\star)$ đúng với mọi $\alpha \in \mathrm{Br}(X)$, đó là tập hợp Brauer-Manin của $X$.

 

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là:

Trở ngại Brauer-Manin có là duy nhất hay không?

 

Cụ thể, cho $\mathscr{C}$ là một lớp các đa tạp trơn trên $k$. Ta nói trở ngại Brauer-Manin của $\mathscr{C}$ là duy nhất đối với nguyên lý Hasse nếu với mọi $X \in \mathscr{C}$ sao cho $X(\mathbb{A}_k)^{\mathrm{Br}} \neq \varnothing$ thì $X(k) \neq \varnothing$. Ta nói trở ngại Brauer-Manin của $X$ là duy nhất đối với định lý xấp xỉ yếu nếu $X(k)$ trù mật trong $X(\mathbb{A}_k)^{\mathrm{Br}}$.

 

 

3. Giả thuyết Colliot-Thélène và một số kết quả

 

Nói chung, trở ngại Brauer-Manin không nhất thiết là duy nhất. Một giả thuyết lớn của Colliot-Thélène là:

Nếu $X$ là một đa tạp trơn, riêng (proper) và liên thông hữu tỉ hình học trên một trường số $k$ thì trở ngại Brauer-Manin của $X$ đối với định lý xấp xỉ yếu là duy nhất.

 

Một đa tạp $X$ trên một trường $k$ với đặc số $0$ được gọi là liên thông hữu tỉ nếu hai điểm ở vị trí tổng quát (general, không phải generic) bất kỳ của $X$ có thể được nối bởi một đường cong hữu tỉ, tức là một cấu xạ $\mathbb{P}^1_k \to X$. Ta nói $X$ là liên thông hữu tỉ hình học nếu $X_{\overline{k}}$ là liên thông hữu tỉ.

 

Ví dụ về các đa tạp liên thông hữu tỉ trên $k$ là các đa tạp hữu tỉ (trường hàm của nó là một mở rộng thuần siêu việt của $k$), tổng quát hơn là các đa tạp thuận hữu tỉ (unirational - trường hàm của nó là một trường con của một mở rộng thuần siêu việt của $k$). Đối với chiều $\leqslant 2$, hai khái niệm hữu tỉ và liên thông hữu tỉ là tương đương. Đối với chiều $\geqslant 3$, khái niệm liên thông hữu tỉ tổng quát hơn khái niệm hữu tỉ, và người ta phỏng đóng rằng nó tổng quát hơn khái niệm thuận hữu tỉ (ta vẫn chưa tìm được ví dụ về đa tạp liên thông hữu tỉ nhưng không thuận hữu tỉ!).

 

Cho $k$ là một trường số. Giả thuyết Colliot-Thélène đã được thiết lập trong một số trường hợp như sau:

1. (Borovoi, 1996) Nếu $G$ là một nhóm tuyến tính đại số trên $k$, $H$ là một nhóm con liên thông của $G$ và $X$ tương đương song hữu tỉ với (chẳng hạn, là một com-pắc hóa trơn của) $V = G/H$ thì trở ngại Brauer-Manin của $X$ đối với định lý xấp xỉ yếu là duy nhất.

2. Tổng quát hơn, Borovoi đã chứng minh kết quả trên nếu $X$ tương đương song hữu tỉ với một không gian thuần nhất của $G$ (nói nôm na là một đa tạp $V$ sao cho $V_{\overline{k}} \simeq G_{\overline{k}} / \Gamma$ (nhóm $\Gamma \subseteq G(\overline{k})$ là nhóm dừng hình học (geometric stabilizer) của $V$), nếu $\Gamma$ là liên thông.

3. Trường hợp $\Gamma$ hữu hạn thì khó hơn. Borovoi đã chứng minh rằng nếu $G$ là một nhóm tuyến tính nửa đơn và đơn liên (simply connected), $V$ là một không gian thuần nhất của $G$ với nhóm dừng hình học hữu hạn và abel, và $X$ tương đương song hữu tỉ với $V$, thì trở ngại Brauer-Manin của $X$ đối với định lý xấp xỉ yếu là duy nhất.

4. Nếu ta làm yếu điều kiện cho nhóm dừng từ "hữu hạn và abel" thành "hữu hạn và giải được" thì Harpaz và Wittenberg đã chứng minh rằng nếu một giả thuyết thuần túy số học (một giả thuyết cũng rất mạnh của Harpaz và Wittenberg) là đúng, thì trở ngại Brauer-Manin của $X$ đối với định lý xấp xỉ yếu là duy nhất.

5. Nếu thay điều kiện "hữu hạn và giải được" thành "hữu hạn và siêu giải được (hypersolvable)" thì Harpaz và Wittenberg đã chứng minh được rằng trở ngại Brauer-Manin của $X$ đối với định lý xấp xỉ yếu là duy nhất (không cần đến giả thuyết ở trên).

6. Một phiên bản tương tự của giả thuyết của Colliot-Thélène là khi ta thay các điểm hữu tỉ bởi các 0-chu trình (zero-cycle) (Sansuc, Kato, Saito). Được gọi là giả thuyết (E). Demarche và Lucchini Arteche (2019) đã có một kết quả xuất sắc khẳng định rằng: Để chứng minh giả thuyết (E) khi $X$ tương đương song hữu tỉ với một không gian thuần nhất của một nhóm đại số liên thông, ta chỉ cần chứng minh nó khi $X$ tương đương song hữu tỉ với một không gian thuần nhất của $\mathrm{SL}_n$ với nhóm dừng hình học hữu hạn.

7. Harpaz và Wittenberg (2020) đã đưa điều kiện "hữu hạn" của nhóm dừng hình học về "là $p$-nhóm" (a fortiori, "hữu hạn và giải được", từ đó họ đã sử dụng quy nạp trên điều kiện giải được để chứng minh được giả thuyết (E) khi $X$ tương đương song hữu tỉ với một không gian thuần nhất của một nhóm đại số liên thông.

Khái niệm bó (sheaf) thể hiện một ý tưởng cơ bản: để hiểu một không gian hình học, ta có thể nghiên cứu các hàm trên không gian đó. Bó vốn có nguồn gốc từ Tô pô đại số và hình học vi phân (Leray đã xây dựng nó để chứng minh các định lý điểm bất động trong PDE). Sau này, người ta sử dụng bó một cách có hệ thống trong hình học đại số hiện đại.

 

1. "Hàm" và "điểm"

 

Trước khi đến với nội dung chính, ta bắt đầu một phiên bản baby của định lý biểu diễn Gelfand-Naimark.

 

Nếu $A$ là một vành (giao hoán và có đơn vị), ta ký hiệu $\text{Spm}(A)$ là phổ cực đại của $A$, tức là tập hợp tất cả các ideal cực đại của $A$. Trên tập hợp này có một tô-pô được gọi là tô-pô Zariski, trong đó các tập đóng là các tập hợp $$V(I):=\{\mathfrak{m} \in \text{Spm}(A): I \subseteq \mathfrak{m}\},$$ trong đó $I$ là một ideal nào đó của $A$. Thật vậy, $\varnothing = V((1))$, $\text{Spm}(A) = V((0))$, $V(I) \cup V(J) = V(IJ)$ và $\bigcap_i V(I_i) = V\left(\sum_i I_i\right)$. Tô-pô này sinh bởi các tập mở có dạng $$D(f):=\{\mathfrak{m} \in \text{Spm}(A): f \notin \mathfrak{m}\},$$ với $f \in A$, được gọi là các tập mở chính. Như vậy, ta có thể coi các phần tử của $A$ như các hàm trên không gian tô-pô $\text{Spm}(A)$. Các ideal cực đại của $A$ chính là các điểm. Việc tính giá trị của một hàm $f$ tại một điểm $\mathfrak{m}$ chính là việc tính $f \mod \mathfrak{m}$, đó là một phần tử của trường thặng dư $A / \mathfrak{m}$. Như vậy, hàm $f$ nhận giá trị trong một trường biến thiên theo từng điểm. 

Slogan: Trong hình học, điểm là một cái gì đó mà tại đó ta có thể tính giá trị của các hàm, các giá trị này nằm trong một trường nào đó.

 

 

Cho $X$ là một không gian tô-pô. Ký hiệu $\mathcal{C}(X)$ là vành các hàm liên tục $X \to \mathbb{R}$ (phép cộng và phép nhân được định nghĩa một cách hiển nhiên). Nhóm các phần tử khả nghịch của vành này là $$\mathcal{C}(X)^\ast = \{f \in \mathcal{C}(X): \forall x \in X, f(x) \neq 0\}.$$ Với mỗi điểm $x \in X$, tập hợp $\mathfrak{m}_x:=\{f \in \mathcal{C}(X): f(x) = 0\}$ là một ideal của $\mathcal{C}(X)$. Chính xác thì nó là hạch của toàn cấu $$\mathcal{C}(X) \to \mathbb{R}, \qquad f \mapsto f(x).$$ Nó là một ideal cực đại vì $\mathcal{C}(X)/\mathfrak{m}_x \simeq \mathbb{R}$ là một trường. Ta có một ánh xạ $$X \to \text{Spm}(\mathcal{C}(X)), \qquad x \mapsto m_x.$$

 

Mệnh đề. Nếu $X$ là Hausdorff và compact thì ánh xạ trên là một phép đồng phôi (trong đó tô-pô trên $\text{Spm}(\mathcal{C}(X))$ là tô-pô Zariski).

Chứng minh

Tính toàn ánh. Cho $\mathfrak{m}$ là một ideal cực đại của $\mathcal{C}(X)$. Ta chứng minh rằng tồn tại $x \in X$ sao cho $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}_x$ (và vì thế $\mathfrak{m} = \mathfrak{m}_x$ vì chúng là các ideal cực đại). Thật vậy, nếu ngược lại thì với mọi $x \in X$, tồn tại $f_x \in \mathfrak{m}$ sao cho $f_x(x) \neq 0$. Lấy $U_x \subseteq X$ là một lân cận mở của $x$ sao cho $f_x$ nhận giá trị khác $0$ trên toàn $U_x$. Vì $X$ là compact nên tồn tại một tập con hữu hạn $S \subseteq X$ sao cho $X = \bigcup_{x \in S}U_x$. Đặt $f:=\sum_{x \in S} f_x^2 \in \mathfrak{m}$. Thế thì $f(y) > 0$ với mọi $y \in X$, do đó $f$ khả nghịch trong $\mathcal{C}(X)^\times$, suy ra $\mathfrak{m} = \mathcal{C}(X)$, mâu thuẫn.

Tính đơn ánh. Cho $x \neq y$ là hai điểm của $X$. Vì $X$ là Hausdorff và compact nên chuẩn tắc. Theo định lý Urysohn, tồn tại hàm liên tục $f: X \to \mathbb{R}$ sao cho $f(x) = 0$ và $f(y) \neq 0$, suy ra $\mathfrak{m}_x \neq \mathfrak{m}_y$.

Tính liên tục. Xét một tập mở chính $D(f)$ của $\text{Spm}(\mathcal{C}(X))$, với $f: X \to \mathbb{R}$ liên tục. Ảnh ngược của nó bởi ánh xạ $$X \to \text{Spm}(\mathcal{C}(X)), \qquad x \mapsto \mathfrak{m}_x$$ là $\{x \in X: f(x) \neq 0\}$, hiển nhiên đây là một tập mở. Các tập mở chính là một cơ sở cho tô-pô Zariski trên $\text{Spm}(\mathcal{C}(X))$ nên ánh xạ trên liên tục.

Tính đóng. Cho $Y$ là một tập con đóng của $X$. Ta sẽ chứng minh rằng $$\{\mathfrak{m}_x: x \in Y\} = V(I),$$ với $I = \bigcap_{x \in Y} \mathfrak{m}_x = \{f \in \mathcal{C}(X): f|_Y = 0\}$. Hiển nhiên ta có $\{\mathfrak{m}_x: x \in Y\} \subseteq V(I)$. Ngược lại, xét $\mathfrak{m} \in V(I)$. Ta có $\mathfrak{m} = \mathfrak{m}_x$ với $x \in X$ nào đó. Nếu $x \notin Y$ thì tồn tại $f: X \to \mathbb{R}$ liên tục sao cho $f(x) \neq 0$ và $f|_Y = 0$ (vì $X$ là chuẩn tắc, nói riêng là chính quy). Khi đó, $f \in I$ và $f \notin \mathfrak{m}_x$. Nhưng $\mathfrak{m}_x \in V(I)$ nên $I \subseteq \mathfrak{m}_x$. Tóm lại, $x \in Y$ và do đó ta có $\{\mathfrak{m}_x: x \in Y\} = V(I)$ là một tập đóng. $\square$

6. Ảnh xuôi

 

Cho $f: Y \to X$ là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian tô-pô. Nếu $\mathscr{G}$ là một bó trên $Y$ thì ta định nghĩa tiền bó $f_\ast \mathscr{G}$ trên $X$ bởi $f_\ast \mathscr{G}(U) = \mathscr{G}(f^{-1}(U))$. Đây là một bó, vì nếu $U = \bigcup_{i \in I} U_i$ là một phủ mở (gồm các tập mở của $X$) thì $f^{-1}(U) = \bigcup_{i \in I}f^{-1}(U_i)$ là một phủ mở (gồm các tập mở của $Y$); sau đó ta áp dụng tiên đề dán cho bó $\mathscr{G}$ trên phủ mở này để chứng minh tiên đề dán cho tiền bó $f_\ast \mathscr{G}$.

Xây dựng trên có tính hàm tử: Nếu $\phi: \mathscr{G} \to \mathscr{G}'$ là một đồng cấu giữa hai bó trên $Y$ thì ta có một đồng cấu bó $f_\ast \phi: f_\ast \mathscr{G} \to f_\ast \mathscr{G}'$ giữa hai bó trên $X$, trong đó $f_\ast \phi(U) = \phi(f^{-1}(U)): \mathscr{G}(f^{-1}(U)) \to \mathscr{G}'(f^{-1}(U))$ với mọi tập mở $U$ của $X$.

 

Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$. Ở bài trước, ta đã xây dựng đồng cấu liên hợp $$a(U): \mathscr{F}(U) \to f^{-1} \mathscr{F}(f^{-1}(U)) = f_\ast f^{-1} \mathscr{F}(U), \qquad s \mapsto (s_{f(y)})_{y \in f^{-1}(U)}$$ với mỗi tập mở $U$ của $X$. Khi $U$ thay đổi, ta thu được cấu xạ liên hợp $a: \mathscr{F} \to f_\ast f^{-1} \mathscr{F}$ giữa hai bó trên $X$. Cho $\mathscr{G}$ là một bó trên $Y$. Ta xây dựng đồng cấu $$\eta: \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(Y)}(f^{-1} \mathscr{F}, \mathscr{G}) \to \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}(\mathscr{F},f_\ast \mathscr{G}), \qquad \phi \mapsto f_\ast \phi \circ a.$$

 

Hệ quả. $\eta$ là một đẳng cấu, tự nhiên theo $\mathscr{F}$ và $\mathscr{G}$.

Chứng minh

$\eta$ là một đơn cấu. Cho $\phi: \mathscr{F}^{-1} \to \mathscr{G}$ là một cấu xạ. Cố định $y \in Y$. Với mỗi lân cân mở $U$ của $f(y)$, ta có biểu đồ giao hoán

$\eta$ tự nhiên theo $\mathscr{F}$ và $\mathscr{G}$. Cho $\psi: \mathscr{F'} \to \mathscr{F}$ là một đồng cấu giữa hai bó trên $X$ và $\theta: \mathscr{G} \to \mathscr{G'}$ là một đồng cấu giữa hai bó trên $Y$. Ta cần chứng minh rằng biểu đồ

giao hoán. Cho $\phi: f^{-1}\mathscr{F} \to \mathscr{G}$ là một cấu xạ. Ta cần chứng minh rằng $$f_\ast \theta \circ f_\ast \phi \circ a \circ \psi = f_\ast(\theta \circ \phi \circ f^{-1}\psi) \circ a.$$ Vì tính hàm tử của $f_\ast$ nên ta chỉ còn phải chứng minh rằng $a \circ \psi = f_\ast f^{-1} \psi \circ a: \mathscr{F'} \to f_\ast f^{-1} \mathscr{F}$. Đây chính là tính tự nhiên của cấu xạ liên hợp $a$. $\square$

 

Mệnh đề. Ảnh xuôi $f_\ast$ là liên hợp bên phải của hàm tử ảnh ngược $f^{-1}$. Nói riêng, $f_\ast$ khớp trái.

 

Ví dụ. 

1. Cho $Z \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{f} X$ là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tô-pô. Từ định nghĩa của $f_\ast$ và $g_\ast$, ta có $(f \circ g)_\ast = f_\ast \circ g_\ast: \mathbf{Sh}(Z) \to \mathbf{Sh}(X)$ một cách hiển nhiên. Từ đây, ta có một chứng minh đơn giản rằng $(f \circ g)^{-1} \simeq g^{-1} \circ f^{-1}$. Thật vậy, cho $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$. Với mọi bó $\mathscr{H}$ trên $Z$, ta có các đẳng cấu tự nhiên (theo $\mathscr{H})$ $$\text{Hom}_{\mathbf{Sh}(Z)}((f \circ g)^{-1} \mathscr{F}, \mathscr{H}) = \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}(\mathscr{F}, (f \circ g)_\ast \mathscr{H}) = \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}(\mathscr{F}, f_\ast g_\ast \mathscr{H}) = \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(Y)}(f^{-1} \mathscr{F}, g_\ast \mathscr{H}) = \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(Y)}(g^{-1} f^{-1} \mathscr{F}, \mathscr{H}),$$ từ đó $(f \circ g)^{-1} \mathscr{F} \simeq g^{-1} f^{-1} \mathscr{F}$ theo bổ đề Yoneda. Đẳng cấu này tự nhiên theo $\mathscr{F}$ vì các đẳng cấu ở trên đều như vậy, do đó hai hàm tử $(f \circ g)^{-1}$ và $g^{-1} \circ f^{-1}$ đẳng cấu.
2. Cho $x \in X$ và $i_x: \{x\} \to X$ là phép bao hàm. Cho $A$ là một nhóm abel, mà ta có thể xem là bó $$\varnothing \mapsto 0, \qquad \{x\} \mapsto A$$ trên $X$. Khi đó đẩy xuôi $i_{x,\ast} A$ chính là bó chọc trời tại $x$ của $X$.

8. Bó flasque

 

Cho $X$ là một không gian tô-pô. Một bó $\mathscr{F}$ trên $X$ được gọi là flasque (hoặc flabby) (nhũn?) nếu các đồng cấu hạn chế của nó là các toàn cấu. Dễ thấy điều này tương đương với việc mọi lớp cắt của $\mathscr{F}$ đều là hạn chế của một lớp cắt toàn cục.

 

Mệnh đề. Cho $0 \to \mathscr{F} \xrightarrow{\phi} \mathscr{G} \xrightarrow{\psi} \mathscr{H} \to 0$ là một dãy khớp các bó trên $X$, trong đó $\mathscr{F}$ là flasque. Thế thì dãy trên cũng khớp trong phạm trù các tiền bó

Chứng minh

Đây là một định lý trong ZFC. Cho $U$ là một tập mở, ta cần chứng minh rằng dãy $0 \to \mathscr{F}(U) \xrightarrow{\phi(U)} \mathscr{G}(U) \xrightarrow{\psi(U)} \mathscr{H}(U) \to 0$ khớp. Tính khớp trái đã được đảm bảo bởi hàm tử $\Gamma(U,-)$ nên ta chỉ cần chứng minh rằng $\psi(U)$ là một toàn cấu.

Cố định $t \in \mathscr{H}(U)$. Xét tập hợp $S$ các bộ $(s,V)$ với $V \subseteq U$ là một tập mở và $s \in \mathscr{G}(V)$ sao cho $\psi(s)| = t|_V$. Ta có thể giả sử rằng $U$ khác rỗng. Thế thì tập hợp $S$ khác rỗng vì $\psi$ cảm sinh toàn cấu trên từng thớ. Xét quan hệ thứ tự $\le$ trên $S$ sao cho $(s,V) \le (s',V')$ khi và chỉ khi $V \subseteq V'$ và $s'|_V = s$. Nếu một họ $\{(s_i,V_i)\}_{i \in I}$ các phần tử của $S$ được sắp thứ tự toàn phần thì ta có thể dán các lớp cắt $s_i$ thành một lớp cắt $s$ của $\mathscr{G}$ trên $V:=\bigcup_{i \in I} V_i \subseteq U$. Ta có $\psi(s)|_{V_i} = \psi(s|_{V_i}) = \psi(s_i) = t|_{V_i}$ với mọi $i \in I$, suy ra $\psi(s) = t|V$, vậy $(s,V) \in S$. Rõ ràng $(s_i,V_i) \le (s,V)$ với mọi $i \in I$.

Theo bổ đề Zorn, $S$ có một phần tử tối đại $(s,V)$. Ta khẳng định rằng $V = U$. Thật vậy, xét $x \in U$. Vì $\psi_x$ là một toàn cấu nên tồn tại $\alpha \in \mathscr{G}_x$ sao cho $\psi_x(\alpha) = t_x$. Ta có thể viết $\alpha = r_x$, với $W \in U$ là một lân cận mở của $x$ và $r \in \mathscr{G}(W)$. Thế thì $\psi(r)_x = \psi_x(r_x) = \psi_x(\alpha) = t_x$. Thu nhỏ $W$ nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng $\psi(r)|_W = t|_W$. Bây giờ, $\psi(s|_{V \cap W}) = t|_{W \cap W} = \psi(r|_{V \cap W})$, nên $s|_{V \cap W} = r|_{V \cap W} + \phi(v)$ với $v \in \mathscr{V \cap W}$ nào đó. Vì $\mathscr{F}$ là flasque nên tồn tại lớp cắt $w \in \mathscr{W}$ sao cho $w|_{V \cap W} = v$. Thay $r$ bởi $r - \phi(w)$ (ta vẫn có $\psi(r) = t|_W$ thì $\psi \circ \phi = 0$), ta suy ra $s|_{V \cap W} = r|_{V \cap W}$. Do đó $s$ và $r$ có thể dán thành một lớp cắt $s' \in \mathscr{G}(V \cup W)$. Nói riêng, $(s,V) \le (s', V \cup W)$, do đó $V \cup W = V$ vì $(s,V)$ là một phần tử tối đại, nghĩa là $x \in W \subseteq V$. $\square$

 

Hệ quả. Cho  $0 \to \mathscr{F} \xrightarrow{\phi} \mathscr{G} \xrightarrow{\psi} \mathscr{H} \to 0$ là một dãy khớp các bó trên $X$, trong đó $\mathscr{F}$ và $\mathscr{G}$ là flasque. Khi đó $\mathscr{H}$ là flasque.

Chứng minh

Dùng bổ đề 5 trong đại số đồng điều. $\square$

 

Xây dựng Godement. Cho $\mathscr{F}$ là một bó bất kỳ trên $X$. Tiền bó $C^0 \mathscr{F}$ trên $X$ cho bởi $U \mapsto \prod_{x \in U} \mathscr{F}_x$ (các đồng cấu hạn chế là các phép chiếu) hiển nhiên là một bó flasque. Với mỗi tập mở $U$, $\mathscr{F}(U) \to C^0\mathscr{F}(U)$ là một đơn cấu, vì thế ta có một đơn cấu bó $\mathscr{F} \hookrightarrow C^0\mathscr{F}$. Vậy, mọi bó đều nhúng được vào một bó flasque. 

 

Mệnh đề. Mỗi bó nội xạ đều flasque.

Chứng minh

Cho $\mathscr{F}$ là một bó nội xạ trên $X$. Nhúng $\mathscr{F}$ vào một bó flasque $\phi: \mathscr{F} \hookrightarrow \mathscr{G}$. Vì $\mathscr{F}$ nội xạ nên $\phi$ có một rút gọn $\psi: \mathscr{G} \to \mathscr{F}$. Nói riêng, với mọi tập mở $U$ thì $\psi(U) \circ \phi(U) = \text{id}_{\mathscr{F}(U)}$, nên $\psi(U)$ là một toàn cấu. Với $V \subseteq U$ là các tập mở của $X$, ta có biểu đồ giao hoán 

Vì $\psi(U)$, $\psi(V)$ và hạn chế $\mathscr{G}(U) \to \mathscr{G}(V)$ là các toàn cấu nên $\mathscr{F}(U) \to \mathscr{F}(V)$ cũng là một toàn cấu. $\square$

 

Mệnh đề. Mỗi bó flasque đều acyclic trên từng tập mở. Nói riêng, đối đồng điều bó có thể tính được bằng giải flasque.

Chứng minh

Cho $\mathscr{F}$ là một bó flasque trên $X$. Nhúng $\mathscr{F}$ vào một bó nội xạ $\mathscr{G}$ và gọi $\mathscr{H}$ là bó thương $\mathscr{G}/\mathscr{F}$. Khi đó ta có dãy khớp $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to 0.$$ Bó $\mathscr{G}$ là nội xạ nên flasque, suy ra $\mathscr{H}$ cũng là một bó flasque. 

Cố định một tập mở $U$. Ta sẽ chứng minh rằng $\text{H}^q(U,\mathscr{F}) = 0$ với mọi bó flasque $\mathscr{F}$ và mọi $q \ge 1$ bằng nhảy chiều (dimension shifting). Thật vậy, vì $\mathscr{G}$ là nội xạ nên $U$-acyclic, nói riêng, ta có $\text{H}^{q+1}(U,\mathscr{F}) = \text{H}^q(U,\mathscr{H})$ với mọi $q \ge 1$ (xem bài trước). Điều này cho phép ta thực hiện bước quy nạp. Ở bước $q = 1$, ta có $\text{H}^1(X,\mathscr{F}) = \text{Coker}(\mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U)) = 0$ (vì $\mathscr{F}$ là flasque nên $\mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U)$ là một toàn cấu). Điều này kết thúc chứng minh. $\square$

 

Cho $\mathscr{F}$ là một bó tùy ý trên $X$. Ta dùng xây dựng Godement để thu được dãy khớp $$0 \to \mathscr{F} \to C^0 \mathscr{F} \to C^1 \mathscr{F} \to \cdots,$$ trong đó mỗi bó $C^q \mathscr{F}$ đều flasque. Ở đây, $C^1 \mathscr{F} = C^0 \text{Coker}(\mathscr{F} \to C^0 \mathscr{F})$ và $C^{q+1} \mathscr{F} = C^0 \text{Coker}(C^{q-1}\mathscr{F} \to C^q \mathscr{F})$ với mọi $q \ge 1$. Nó được gọi là giải chính tắc Godement của $\mathscr{F}$. Với mỗi tập mở $U$, ta có $$\text{H}^q(U,\mathscr{F}) = \frac{\text{Ker}(C^q\mathscr{F}(U) \to C^{q+1}\mathscr{F}(U) )}{\text{Im}(C^{q-1}\mathscr{F}(U) \to C^{q}\mathscr{F}(U) )}, \qquad q \ge 1.$$ Về mặt lịch sử, đây là định nghĩa các nhóm đối đồng điều $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$ mà Godement đã đưa ra.

 

Ví dụ. Cho $X$ là một đa tạp trơn. Với $q \ge 0$, ký hiệu $\Omega^q$ là bó các $q$-dạng vi phân trơn trên $X$ ($\Omega^0 = \mathcal{C}^\infty$. Các bó này flasque (sử dụng phân hoạch đơn vị!). Ta có một dãy khớp $$0 \to \underline{\mathbb{R}} \to \mathcal{C}^\infty \xrightarrow{d} \Omega^1 \xrightarrow{d} \Omega^2 \xrightarrow{d} \cdots,$$ trong đó $d: \Omega^q \to \Omega^{q+1}$ là phép đạo hàm ngoài (theo bổ đề Poincaré, và tính chất rằng mỗi điểm của $X$ đều một cơ sở lân cận gồm các tập mở hình sao). Áp dụng hàm tử lớp cắt toàn cục, ta thu được đối đồng điều de Rham $\text{H}^q_{\text{dR}}(X)$. Vì thế đối đồng điều de Rham đẳng cấu với đối đồng điều với hệ số trong bó hằng $\underline{\mathbb{R}}$, $$\text{H}^q_{\text{dR}}(X) = \text{H}^q(X, \underline{\mathbb{R}}), \qquad q \ge 0.$$

Tương tự, xét tiền bó $\text{C}_{\text{sing}}^q(-,\mathbb{R})$ các $q$-đối dây chuyền kỳ dị với hệ số thực, $q \ge 0$. Ta có một dãy khớp $$0 \to \underline{\mathbb{R}}^{\text{pre}} \to \text{C}_{\text{sing}}^0(-,\mathbb{R}) \xrightarrow{\delta} \text{C}_{\text{sing}}^1(-,\mathbb{R}) \xrightarrow{\delta} \cdots$$ các tiền bó trên $X$, trong đó $\delta$ là các đồng cấu đối biên (kiểm tra trên thớ, và lấy giới hạn trên cơ sở lân cận gồm các tập mở hình sao). Sau khi bó hóa, ta thu được một giải flasque khác của bó hằng $\underline{\mathbb{R}}$. Từ đó ta có chứng minh được (không dễ!) rằng đối đồng điều Betti cũng đẳng cấu với đồng điều với hệ số trong bó hằng, $$\text{H}^q(X,\underline{\mathbb{R}}) = \text{H}^q_{\text{sing}}(X,\mathbb{R}), \qquad q \ge 0.$$ Ta thu được định lý de Rham cổ điển (so sánh giữa đối đồng điều de Rham và đối đồng điều Betti)! 

7. Đối đồng điều

 

Cho $X$ là một không gian tô-pô.

 

Mệnh đề. Phạm trù $\mathbf{Sh}(X)$ các bó trên $X$ có đủ nội xạ.

Chứng minh

Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$. Với mỗi $x \in X$, nhúng $\mathscr{F}_x$ vào một nhóm abel chia được (i.e. nội xạ) $D_x$. Ta định nghĩa tiền bó $\mathscr{I}$ trên $X$ bởi $U \mapsto \prod_{x \in U} D_x$, trong đó các đồng cấu hạn chế là các phép chiếu. Dễ thấy $\mathscr{I}$ là một bó.

Vì $\mathscr{F}$ là một bó nên hợp thành $\mathscr{F}(U) \to \prod_{x \in U} \mathscr{F}_x \hookrightarrow \prod_{x \in U} D_x = \mathscr{I}(U)$ là một đơn cấu với mỗi tập mở $U$ của $X$. Khi $U$ thay đổi, ta thu được một đơn cấu $\mathscr{F} \hookrightarrow \mathscr{I}$. 

Ta chỉ còn phải chứng minh rằng $\mathscr{I}$ là một bó nội xạ. Cho $\phi: \mathscr{G} \to \mathscr{H}$ là một đơn cấu giữa hai bó trên $X$, và $\psi: \mathscr{G} \to \mathscr{I}$ là một cấu xạ tùy ý. Ta cần xây dựng cấu xạ $\theta: \mathscr{H} \to \mathscr{I}$ sao cho $\theta \circ \phi = \psi$. Cố định $x \in X$. Các phép chiếu $\mathscr{I}(U) \to D_x$ (với $U$ là lân cận mở của $x$) cảm sinh một đồng cấu $j_x: \mathscr{I}_x \to D_x$. Cụ thể, nếu $U$ là một lân cận mở của $x$ và $\alpha = (d_x)_{x \in U} \in \mathscr{I}(U)$ thì $j_x(\alpha_x) = d_x$ (nói cách khác, $\alpha = (j_x(\alpha_x))_{x \in U}$). Vì $\theta_x: \mathscr{G}_x \to \mathscr{H}_x$ là một đơn cấu và $D_x$ là một nhóm abel chia được nên tồn tại cấu xạ $\theta^x: \mathscr{H}_x \to D_x$ sao cho $\theta^x \circ \phi_x = j_x \circ \psi_x$. Với mỗi tập mở $U$ của $X$, ký hiệu bởi $\theta(U)$ đồng cấu hợp thành $\mathscr{H}(U) \to \prod_{x \in U} \mathscr{H}_x \xrightarrow{\prod_{x \in U} \theta^x} \prod_{x \in U} D_x = \mathscr{I}(U)$. Khi $U$ thay đổi, ta thu được một cấu xạ $\theta: \mathscr{H} \to \mathscr{I}$. Với mỗi $s \in \mathscr{G}(U)$, ta có $$\theta(\phi(s)) = (\theta^x(\phi(s)_x))_{x \in U} = (\theta^x(\psi_x(s_x)))_{x \in U} = (j_x(\psi_x(s_x)))_{x \in U} = (j_x(\psi(s)_x)_{x \in U} = \phi(s).$$ Vậy $\theta \circ \psi = \phi$. $\square$

 

Hệ quả. Phạm trù $\mathbf{Psh}(X)$ các tiền bó trên $X$ có đủ nội xạ. Hàm tử quên $\iota: \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Psh}(X)$ bảo toàn nội xạ.

Chứng minh

Cho $\mathscr{I}$ là một bó nội xạ trên $X$. Ta có đẳng cấu tự nhiên $\text{Hom}_{\mathbf{Psh}(X)}(-,\mathscr{I}) = \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}((-)^{\#},\mathscr{I})$. Vì bó hóa $(-)^{\#}$ và $\text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}(-,\mathscr{I})$ là các hàm tử khớp nên $\text{Hom}_{\mathbf{Psh}(X)}(-,\mathscr{I})$ cũng vậy, nghĩa là $I$ cũng nội xạ với tư cách là một tiền bó. Ngoài ra, nếu $\mathscr{P}$ là một tiền bó bất kỳ trên $X$ thì ta có thể nhúng bó $\mathscr{P}^{\#}$ vào một bó nội xạ $\mathscr{I}$. Tính đơn cấu theo nghĩa tiền bó kiểm tra được trên thớ, và bó hóa bảo toàn thớ, nên tiền bó $\mathscr{P}$ nhúng vào tiền bó nội xạ $\mathscr{I}$ qua cấu xạ hợp thành $\mathscr{P} \xrightarrow{i} \mathscr{P}^{\#} \to \mathscr{I}$. $\square$

 

Hàm tử quên $\iota: \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Psh}(X)$ là liên hợp bên phải của hàm tử bó hóa $(-)^{\#}: \mathbf{Psh}(X) \to \mathbf{Sh}(X)$ nên là một hàm tử khớp trái. Cụ thể, nếu $0 \to \mathscr{F} \xrightarrow{\phi} \mathscr{G} \xrightarrow{\psi} \mathscr{H}$ là một dãy khớp các bó trên $X$ thì dãy nó cũng là một dãy khớp các tiền bó. Vì $\phi$ là một đơn cấu nên tiền bó ảnh $U \mapsto \text{Im}\phi(U)$ là một bó, do đó $\text{Im} (\phi(U)) = \text{Im} \phi (U) = \text{Ker} \psi(U) = \text{Ker} (\psi(U))$, nghĩa là ta có dãy khớp $0 \to \mathscr{F}(U) \xrightarrow{\phi(U)} \mathscr{G}(U) \xrightarrow{\psi(U)} \mathscr{H}(U)$. Tóm lại, hàm tử lớp cắt $$\Gamma(U,-): \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Ab}, \qquad \mathscr{F} \mapsto \mathscr{F}(U)$$ khớp trái. Vì $\mathbf{Sh}(X)$ có đủ nội xạ, ta có thể định nghĩa các hàm tử dẫn xuất phải $$\text{H}^q(U,-):=\text{R}^q \Gamma(U,-), \qquad q \ge 0.$$

 

Định nghĩa. Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$ và $U$ là một tập mở của $X$. Với $q \ge 0$, nhóm $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$ được gọi là nhóm đối đồng điều thứ $q$ của $U$ với hệ số trong $\mathscr{F}$.

 

Vì là những hàm tử dẫn xuất, các hàm tử đối đồng điều $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$ thỏa mãn các tính chất tổng quát từ đại số đồng điều.

1. Để tính $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$, chọn một giải nội xạ $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{I}^0 \xrightarrow{d^0} \mathscr{I}^1 \xrightarrow{d^1} \cdots.$$ Áp dụng hàm tử khớp trái $\Gamma(U,-)$, ta thu được phức $$0 \to \mathscr{I}^0(U) \xrightarrow{d^0(U)} \mathscr{I}^1(U) \xrightarrow{d^0(U)} \cdots,$$ và khi đó $$\text{H}^0(U,\mathscr{F}) = \text{Ker}(d^0(U)) = \mathscr{F}(U), \qquad \text{H}^q(U,\mathscr{F}) = \frac{\text{Ker}(d^q(U))}{\text{Im}(d^{q-1}(U))}, \qquad q \ge 1.$$
2. Một dãy khớp ngắn $0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to 0$ các bó trên $X$ cảm sinh một dãy khớp dài $$0 \to \mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U) \to \text{H}^1(U,\mathscr{F}) \to \text{H}^1(U,\mathscr{G}) \to \text{H}^1(U,\mathscr{H}) \to \cdots$$
3. Một bó $\mathscr{A}$ được gọi là $U$-acyclic nếu $\text{H}^q(U,\mathscr{A}) = 0$ với mọi $q \ge 1$. (nghĩa là $\mathscr{A}$ là $\Gamma(U,-)$-acyclic). Các bó nội xạ đều $U$-acyclic.
4. Các hàm tử $\text{H}^q(U,\mathscr{F})$ được định nghĩa thông qua giải nội xạ, nhưng để tính chúng thì ta chỉ cần sử dụng giải $U$-acyclic (định lý đẳng cấu de Rham-Weil). Thật vậy, trước hết nhận xét rằng nếu $0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to 0$ là một dãy khớp ngắn các bó trên $X$, trong đó $\mathscr{G}$ là $U$-acyclic thì ta có dãy khớp dài $$\cdots \to \text{H}^q(U,\mathscr{G}) \to \text{H}^{q}(U,\mathscr{H}) \to \text{H}^{q+1}(U,\mathscr{F}) \to \text{H}^{q+1}(U,\mathscr{G}) \to \cdots$$ Vì $\text{H}^q(U,\mathscr{G}) = 0$ với mọi $q \ge 1$ nên ta có $\text{H}^1(U,\mathscr{F}) = \text{Coker}(\mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U))$ và $\text{H}^{q+1}(U,\mathscr{F}) = \text{H}^q(U,\mathscr{H})$ với mọi $q \ge 1$. Bây giờ, giả sử $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{A^0} \to \mathscr{A^1} \to \cdots$$ là một dãy khớp dài, trong đó mỗi $\mathscr{A}^q$ đều $U$-acyclic. Ta chẻ nó thành các dãy khớp ngắn $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{A^0} \to \mathscr{I}^0 \to 0$$ $$0 \to \mathscr{I}^0 \to \mathscr{A}^1 \to \mathscr{I}^1 \to 0$$ $$\vdots$$ với $\mathscr{I}^q = \text{Im}(\mathscr{A}^q \to \mathscr{A}^{q+1}) = \text{Ker}(\mathscr{A}^{q+1} \to \mathscr{A}^{q+2})$. Từ nhận xét trên, ta có $$\text{H}^q(U,\mathscr{F}) = \text{H}^{q-1}(U,\mathscr{I}^0) = \cdots = \text{H}^{1}(U,\mathscr{I}^{q-2}) = \text{Coker}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{I}^{q-1}(U)).$$ Vì $\Gamma(U,-)$ khớp trái nên $\mathscr{I}^{q-1}(U) = \text{Ker}(\mathscr{A}^q(U) \to \mathscr{A}^{q+1}(U))$. Tương tự, $\mathscr{I}^{q-1}(U) \to \mathscr{A}^q(U)$ là một đơn cấu, nên $\text{Im}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{I}^{q-1}(U)) = \text{Im}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{A}^{q}(U))$. Do đó, $$\text{H}^q(U,\mathscr{F}) = \text{Coker}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{I}^{q-1}(U)) = \frac{\mathscr{I}^{q-1}(U)}{\text{Im}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{I}^{q-1}(U))} = \frac{\text{Ker}(\mathscr{A}^q(U) \to \mathscr{A}^{q+1}(U))}{\text{Im}(\mathscr{A}^{q-1}(U) \to \mathscr{A}^{q}(U))}$$ với mọi $q \ge 1$.

Nhắc lại rằng hàm tử quên $\iota: \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Psh}(X)$ khớp trái. Với $q \ge 0$, ta có thể xét hàm tử dẫn xuất bên phải thứ $q$ của $\iota$, $$\mathcal{H}^q:=\text{R}^q \iota.$$

Ta sẽ chỉ rằng rằng nếu $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$ thì $\mathcal{H}^q(\mathscr{F})$ chính là tiền bó $\text{H}^q(-,\mathscr{F}): U \mapsto \text{H}^q(U,\mathscr{F})$. 

 

Mệnh đề. Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$ và $U$ là một tập mở của $X$. Với $q \ge 0$, ta có một đẳng cấu tự nhiên $$\mathcal{H}^q(\mathscr{F})(U) = \text{H}^q(U,\mathscr{F}).$$

Chứng minh

Ta sử dụng lý thuyết về $\partial$-hàm tử, tham khảo Tôhoku paper của Grothendieck.

Nếu $0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to 0$ là một dãy khớp ngắn các bó trên $X$ thì với mọi tập mở $U$, ta có khớp dài các nhóm abel, $$0 \to \mathscr{F}(U) \to \mathscr{G}(U) \to \mathscr{H}(U) \to \text{H}^1(U,\mathscr{F}) \to \text{H}^1(U,\mathscr{G}) \to \text{H}^1(U,\mathscr{H}) \to \cdots$$ Dãy khớp dài này tự nhiên theo $U$, vì thế cho ta một dãy khớp dài các tiền bó trên $X$, $$0 \to \mathscr{F} \to \mathscr{G} \to \mathscr{H} \to \text{H}^1(-,\mathscr{F}) \to \text{H}^1(-,\mathscr{G}) \to \text{H}^1(-,\mathscr{H}) \to \cdots$$ Nói riêng, ta có các đồng cấu nối $\text{H}^q(-,\mathscr{G}) \to \text{H}^{q+1}(-,\mathscr{F})$. Các hàm tử $\mathscr{F} \mapsto \text{H}^q(-,\mathscr{F})$ cùng với các đồng cấu nối này tạo thành một $\partial$-hàm tử từ $\mathbf{Sh}(X)$ vào $\mathbf{Psh}(X)$, trong đó $\text{H}^0 = \iota$. Mặt khác, nếu $\mathscr{I}$ là một bó nội xạ trên $X$ thì $\text{H}^q(-,\mathscr{I}) = 0$ với mọi $q \ge 1$, vì thế $\partial$-hàm tử nói trên là khớp và phổ dụng, và do đó trùng với các hàm tử dẫn xuất $\text{R}^q \iota = \mathcal{H}^q$. $\square$

 

 

Cho $f: Y \to X$ là một ánh xạ liên tục giữa các không gian tô-pô. Ảnh xuôi $f_\ast: \mathbf{Sh}(Y) \to \mathbf{Sh}(X)$ là một hàm tử khớp trái (vì nó là liên hợp bên phải của hàm tử ảnh ngược $f^{-1}: \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Sh}(Y)$.

 

Định nghĩa. Với $q \ge 0$, ta gọi dẫn xuất bên phải thứ $q$ của $f_\ast$, $$\text{R}^q f_\ast: \mathbf{Sh}(Y) \to \mathbf{Sh}(X)$$ là hàm tử ảnh xuôi bậc cao thứ $q$ (higher direct image).

 

Mệnh đề. Cho $\mathscr{G}$ là một bó trên $Y$. Khi đó $\text{R}^q f_\ast \mathscr{G}$ là bó liên kết với tiền bó $U \mapsto \text{H}^q(f^{-1}(U),\mathscr{G})$ trên $X$. 

Chứng minh

Trước hết, ta định nghĩa hàm tử ảnh xuôi trên tiền bó $f_p: \mathbf{Psh}(Y) \to \mathbf{Psh}(X)$ một cách hoàn toàn tương tự như $f_\ast$, $$f_p \mathscr{P} (U) = \mathscr{P}(f^{-1}(U)).$$ Đây là một hàm tử khớp (tính khớp theo nghĩa tiền bó có thể kiểm tra trên từng tập mở. Nhắc lại rằng bó hóa $(-)^{\#}: \mathbf{Psh}(X) \to \mathbf{Sh}(X)$ là một hàm tử khớp, do đó hàm tử $(-)^{\#} \circ f_p: \mathbf{Psh}(Y) \to \mathbf{Sh}(X)$ khớp. Hàm tử quên $\iota: \mathbf{Sh}(Y) \to \mathbf{Psh}(Y)$ gửi mỗi bó nội xạ vào một tiền bó nội xạ trên $Y$, nói riêng là $((-)^{\#} \circ f_p)$-acyclic.

Mặt khác, rõ ràng $f_p \circ \iota = \iota \circ f_\ast$, nghĩa là nếu $\mathscr{G}$ là một bó trên $Y$ thì $f_\ast \mathscr{G} = f_p \mathscr{G} = (f_p \iota \mathscr{G})^{\#}$. Nói cách khác, hàm tử ảnh xuôi $f_\ast$ phân tích thành $$\mathbf{Sh}(Y) \xrightarrow{\iota} \mathbf{Psh}(Y) \xrightarrow{(-)^{\#} \circ f_p} \mathbf{Sh}(X).$$ Vì thế ta có dãy phổ Grothendieck $$E_2^{pq} = \text{R}^p((-)\# \circ f_p)(\mathcal{H}^q(\mathscr{G})) \Rightarrow \text{R}^q f_\ast \mathscr{G}.$$ Dãy phổ này suy biến, cụ thể là $E_2^{pq} = 0$ với mọi $p > 0$, vì $(-)^{\#} \circ f_p$ là một hàm tử khớp. Từ đó suy ra rằng đồng cấu edge $$\text{R}^q f_\ast \mathscr{G} \to (f_p \mathcal{H}^q(\mathscr{G}))^{\#}$$ là một đẳng cấu với mọi $q \ge 0$. Nói cách khác, $\text{R}^q f_\ast \mathscr{G}$ là tiền bó liên kết với bó $$U \mapsto f_p  \mathcal{H}^q(\mathscr{G})(U) = \text{H}^q(f^{-1}(U),\mathscr{G})$$ trên $X$. $\square$

 

Một tính chất khác của ảnh xuôi đó là bảo toàn nội xạ. Thật vậy, cho $\mathscr{I}$ là một bó nội xạ trên $Y$. Ta có đẳng cấu tự nhiên $\text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}(-,f_\ast \mathscr{I}) = \text{Hom}_{\mathbf{Sh}(Y)}(f^{-1}(-),\mathscr{I})$. Vì ảnh ngược $f^{-1}$ và $\text{Hom}_{\mathbf{Sh}(Y)}(-,\mathscr{I})$ là các hàm tử khớp nên $\text{Hom}_{\mathbf{Sh}(X)}(-,f_\ast\mathscr{I})$ cũng vậy, nghĩa là $f_\ast \mathscr{I}$ là một bó nội xạ trên $X$.

 

Chẳng hạn, nếu $Z \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{f} X$ là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tô-pô thì $g_\ast$ gửi mỗi bó nội xạ trên $Z$ vào một bó $f_\ast$-acyclic trên $Y$. Từ đó ta có dãy phổ Grothendieck $$E_2^{pq} = (\text{R}^p f_\ast(\text{R}^q g_\ast\mathscr{H})) \Rightarrow \text{R}^{p+q}(f \circ g)_\ast \mathscr{H}$$ với mỗi bó $\mathscr{H}$ trên $Z$.

 

Cho $f: Y \to X$ là một ánh xạ liên tục giữa hai không gian tô-pô. Với mỗi tập mở $U$ của $X$, ta có $\Gamma(f^{-1}(U),-) = \Gamma(U,-) \circ f_\ast$. Mặt khác, $f_\ast$ gửi mỗi bó nội xạ trên $Y$ vào một bó nội xạ (nói riêng là $U$-acyclic) trên $X$. Do đó ta có dãy phổ $$E^{pq}_2 = \text{H}^p(U, \text{R}^q f_\ast \mathscr{G}) \Rightarrow \text{H}^{p+q}(f^{-1}(U), \mathscr{G})$$ với mỗi bó $\mathscr{G}$ trên $Y$, được gọi là dãy phổ Leray.

5. Ảnh ngược

 

Ở bài này, ta cố định một ánh xạ liên tục $f: Y \to X$ giữa hai không gian tô-pô.

 

Cho $\mathscr{F}$ là một bó trên $X$. Ta muốn dùng $f$ để kéo lùi nó thành một bó trên $Y$. Xây dựng này rất giống với bó hóa.

Với mỗi tập mở $V$ của $Y$, một bộ $(\alpha_y)_{y \in V} \in \prod_{y \in V} \mathscr{F}_{f(y)}$ được gọi là một mầm $f$-tương thích của $\mathscr{F}$ trên $V$ nếu với mỗi $y \in V$, tồn tại các tập mở $U \subseteq X$ và $V' \subseteq V \cap f^{-1}(U)$ với $y \in V'$ và một lớp cắt $s \in \mathscr{F}(U)$ sao cho $\alpha_{y'} = s_{f(y')}$ với mọi $y' \in V'$. Các mầm $f$-tương tích của $\mathscr{F}$ trên $V$ lập thành một nhóm con của $\prod_{y \in V} \mathscr{F}_{f(y)}$, ta ký hiệu nhóm này bởi $f^{-1}\mathscr{F}(V)$.

Nếu $W \subseteq V$ là các tập mở của $Y$, phép chiếu $\prod_{y \in V} \mathscr{F}_{f(y)} \to \prod_{y \in W} \mathscr{F}_{f(y)}$ cảm sinh một đồng cấu hiển nhiên $f^{-1} \mathscr{F}(V) \to f^{-1} \mathscr{F}(W)$. Hiển nhiên ta có một tiền bó trên $Y$, $$f^{-1} \mathscr{F}: V \mapsto f^{-1} \mathscr{F}(V).$$ Ta khẳng định rằng đây là một bó. Thật vậy, cho $V = \bigcup_{i \in I}V_i$ là một phủ mở (gồm các tập mở của $Y$). Cho $\alpha^i = (\alpha^i_y)_{y \in V_i} \in f^{-1} \mathscr{F}(V_i)$ với mỗi $i \in I$, sao cho $\alpha^i_y = \alpha^j_y$ với mọi $i,j \in I$ và mọi $y \in V_i \cap V_j$. Điều này cho phép ta định nghĩa bộ $\alpha = (\alpha_y)_{y \in V}$ như sau. Với mỗi $y \in V$, lấy chỉ số $i \in I$ tùy ý sao cho $y \in V_i$ và đặt $\alpha_y:=\alpha^i_y$. Đây là một mầm $f$-tương thích (vì tính địa phương của định nghĩa mầm $f$-tương thích), vậy $\alpha \in f^{-1}\mathscr{F}(V)$ thỏa mãn $\alpha|_{V_i} = \alpha^i$ với mọi $i \in I$. Hiển nhiên $\alpha$ là lớp cắt duy nhất của $f^{-1}\mathscr{F}$ trên $V$ thỏa mãn tính chất này.

 

Định nghĩa. Bó $f^{-1} \mathscr{F}$ được gọi là ảnh ngược (hay kéo lùi) của bó $\mathscr{F}$ bởi $f$.

Ảnh ngược có tính hàm tử theo nghĩa hiển nhiên. Mỗi đồng cấu $\phi: \mathscr{F} \to \mathscr{F'}$ các bó trên $X$ cảm sinh một đồng cấu $f^{-1} \phi: f^{-1} \mathscr{F}  \to f^{-1} \mathscr{F}'$ các bó trên $Y$. Cụ thể, với $V$ là một tập mở của $Y$ và $\alpha = (\alpha_y)_{y \in V} \in f^{-1}\mathscr{F} (V)$ là một mầm $f$-tương thích thì $f^{-1}\phi(\alpha) = (\phi_{f(y)}(\alpha_y))_{y \in V}$.

 

Bước đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng phép kéo lùi bó bảo toàn thớ.

 

Cho $U$ là một tập mở của $X$. Ta có một đồng cấu liên hợp (adjunction map) $$a_U: \mathscr{F}(U) \to f^{-1} \mathscr{F} (f^{-1}(U)), \qquad s \mapsto (s_{f(y)})_{y \in f^{-1}(U)}.$$ Với mỗi $y \in f^{-1}(U)$, hợp thành của cấu xạ chính tắc $f^{-1}\mathscr{F} (f^{-1}(U)) \to (f^{-1}\mathscr{F})_y$ với $a_U$ cho ta một cấu xạ $\mathscr{F}(U) \to (f^{-1}\mathscr{F})_y$. Cố định $y$ và lấy đối giới hạn khi $U \owns f(y)$ thay đổi, ta thu được cấu xạ $a_y: \mathscr{F}_{f(y)} \to (f^{-1}\mathscr{F})_y$.

 

Mệnh đề. $a_y: \mathscr{F}_{f(y)} \to (f^{-1}\mathscr{F})_y$ là một đẳng cấu với mỗi $y \in Y$.

Chứng minh

Với mỗi lân cận mở $V$ của $y$, ký hiệu $p_V: f^{-1}\mathscr{F}(V) \to \mathscr{F}_{f(y)}$ là phép chiếu lên tọa độ $y \in V$. Khi $V$ thay đổi, các cấu xạ $p_V$ tương thích với các đồng cấu hạn chế của $f^{-1}\mathscr{F}$, vì thế chúng cảm sinh một đồng cấu $p_y: (f^{-1}\mathscr{F})_y \to \mathscr{F}_{f(y)}$. Với mỗi lân cân mở $U$ của $f(y)$, hợp thành $p_{f^{-1}(U)} \circ a_U: \mathscr{F}(U) \to \mathscr{F}_{f(y)}$ là đồng cấu chính tắc $s \mapsto s_{f(y)}$. Do đó $p_y \circ a_y = \text{id}_{\mathscr{F}_{f(y)}}$ theo tính chất phổ dụng của đối giới hạn. Nói riêng, $a_y$ là một đơn cấu.

Tiếp theo, xét $\alpha \in (f^{-1}\mathscr{F})_y$. Thế thì $\alpha$ là mầm tại $y$ của một lớp cắt $\beta = (\beta_y)_{y \in V} \in f^{-1} \mathscr{F}(V)$, với $V$ là một lân cận mở của $y$. Vì $\beta$ là một mầm $f$-tương thích nên tồn tại các tập mở $U \subseteq X$ và $V' \subseteq V \cap f^{-1}(U)$ với $y \in V'$ và một lớp cắt $s \in \mathscr{F}(U)$ sao cho $\beta_{y'} = s_{f(y')}$ với mọi $y' \in V'$, nghĩa là $a_U(s)|_{V'} = \beta|_{V'}$, từ đó $a_U(s)_y = \alpha$. Mặt khác, biểu đồ 

giao hoán, do đó $\alpha = a_U(s)_y = a_y(s_{f(y)}$, vậy $a_y$ là một toàn cấu. $\square$

 

Hệ quả. Hàm từ ảnh ngược $f^{-1}: \mathbf{Sh}(X) \to \mathbf{Sh}(Y)$ là một hàm tử khớp.

Chứng minh

Cho $\mathscr{F'} \to \mathscr{F} \to \mathscr{F''}$ là một dãy khớp các bó trên $X$. Với mỗi $y \in Y$, ta có biểu đồ giao hoán

trong đó các mũi tên dọc là các đẳng cấu cảm sinh từ các đồng cấu liên hợp. Vì tính khớp có thể kiểm tra trên thớ nên ta có dãy khớp $f^{-1}\mathscr{F'} \to f^{-1}\mathscr{F} \to f^{-1}\mathscr{F''}$. $\square$

 

Ta có một mô tả khác cho bó $f^{-1} \mathscr{F}$ như sau. Xét $\mathscr{P}$ là tiền bó trên $Y$ cho bởi $V \mapsto \varinjlim_{U \supseteq f(V)} \mathscr{F}(U)$ (các đồng cấu hạn chế được định nghĩa một cách hiển nhiên). Với $V$ là một tập mở của $Y$ vào $U \supseteq f(V)$ là một tập mở của $X$, ta có đồng cấu $\mathscr{F}(U) \xrightarrow{a_U} f^{-1} \mathscr{F}(f^{-1}U)) \xrightarrow{r_{f^{-1}(U) \to V}} f^{-1}\mathscr{F}(V)$. Chúng cảm sinh một đồng cấu $\phi(V): \mathscr{P}(V) \to f^{-1}\mathscr{F}(V)$. Khi $V$ thay đổi, ta thu được một cấu xạ giữa hai tiền bó $\phi: \mathscr{P} \to f^{-1} \mathscr{F}$.

Với $y \in Y$, ta tính thớ $\mathscr{P}_y = \varinjlim_{U \supseteq f(V), V \owns y} \mathscr{F}(U)$. Với $U$ là lân cận mở tùy ý của $Y$ thì $V = f^{-1}(U)$ là một lân cận mở của $y$ và $U \supseteq f(V)$. Do đó đối giới hạn vừa xét là cofinal, nên ta có $\mathscr{P}_y = \varinjlim_{U \owns f(y)} \mathscr{F}(U) = \mathscr{F}_{f(y)}$. 

Với $V$ là lân cận mở của $y$ và $U \supseteq f(V)$ là một tập mở trong $X$, ta có biểu đồ giao hoán

Theo mệnh đề trên thì $\phi_y = a_y$ là một đẳng cấu. Theo chính chất phổ dụng của bó liên kết, $\phi$ cảm sinh một cấu xạ $\phi': \mathscr{P}^{\#} \to f^{-1}\mathscr{F}$. Đây là một đẳng cấu, vì nó cảm sinh đẳng cấu trên từng thớ (bó hóa bảo toàn thớ). Như vậy, bó ảnh ngược $f^{-1}\mathscr{F}$ chính là bó liên kết với tiền bó $$V \mapsto \varinjlim_{U \supseteq f(V)} \mathscr{F}(U).$$

 

Ví dụ.

1. Cho $U \subseteq X$ là một tập mở $i: U \to X$ là phép bao hàm. Thế thì $i^{-1} \mathscr{F}$ là bó hạn chế $\mathscr{F}|_U$ của $\mathscr{F}$ trên $U$ cho bởi $U' \mapsto \mathscr{F}(U')$.

2. Cho $x \in X$ và $i: \{x\} \to X$ là phép bao hàm. Thế thì $i^{-1} \mathscr{F}$ là bó trên $\{x\}$ cho bởi $\varnothing \mapsto 0$ và $\{x\} \mapsto \mathscr{F}_x$.

3. Cho $Z \xrightarrow{g} Y \xrightarrow{f} X$ là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tô-pô. Với mỗi bó $\mathscr{F}$ trên $X$, ta có đẳng cấu tự nhiên $g^{-1}(f^{-1} \mathscr{F}) \simeq (f \circ g)^{-1} \mathscr{F}$.