x,y>0, x+y=1 tìm min,max

$\sqrt{x^{2014}+1} + \sqrt{y^{2014}+1}$

theo mincopki ta có:

$P\ge \sqrt{4+(\sum x^{1007})} $
mặt khác ta lại có:
$\sum x^{1007}\ge \frac{(x+y)^{1007}}{2^{1006}}$

Do đó $P\ge \sqrt{4+\frac{1}{2^{2012}}}$
$"="\Leftrightarrow $$x=y=\frac{1}{2}$

Ban ơi khi gọi phương trình tiếp tuyến của (C) là $y=ax+b$ liệu có mất tính tổng quát không ? Bởi khi ấy ta đã lấy hệ số của b trong phuơng trình tổng quát l$ax+by+c=0$ là $-1$ rồi......................................

nếu $a=0$ thì pt sẽ tạo với Oy một góc $90$ độ, nên pt tạo với Oy một góc 60 độ chỉ có thể là pt có hệ số góc mà thôi!!!

Đề bài :Trong mặt phẳng $0xy$ cho tam giác $ABC$ có $B(-2;-4)$; trung điểm cạnh $AB$ là $M(1;-1)$ và trọng tâm tam giác $ABC$ là $G(2;-2/3)$; (C) là đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo $Oy$ một góc $60$ độ.

-------------------------------------------------

Hướng Giải:

- vì $M$ là trung điểm AB nên dễ dàng tìm được toạ độ B

- có toạ độ điểm G, dễ dàng tìm toạ độ điểm C

-Có toạ độ A,B,C tìm được pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

-giã sử pt tiếp tuyến của $(C)$ là $y=ax+b$

+ vì phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo $Oy$ một góc $60$ độ

nên ta có: $\cos 60=\frac{ \left |a-1  \right | }{\sqrt{a^2+1}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{ \left |a-1  \right | }{\sqrt{a^2+1}}$

ta tìm được $a$.

-sau đó dùng công thức tính khoảng cách sẽ tìm được$b$ đến đây là OK rồi!!!!

Cho hình chữ nhật ABCD trong mặt phẳng các đường thẳng AB và AD lần lượt đi qua các điểm M(2;3) và N(-1;2) có tâm I(5/2;3/2)  có AC căn 26 Tìm pt đường thẳng BC CD

pt(AB): $a(x-2)+b(y-3)=0$

pt(AD): $b(x+1-a(y-2)=0$

$AD=2d\left ( I;AB \right )=\frac{\left | a-3b \right |}{\sqrt{a^2+b^2}};AB=2d\left ( I;AD \right )=\frac{\left | 7a+b \right |}{\sqrt{a^2+b^2}};$

mặt khác ta lai có: $AB^2+AD^2=AC^2=26\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=-b & \\ a=\frac{4b}{3}& \end{bmatrix}$

đến đây là OK rồi!!!!

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

đặt:$$\left\{\begin{matrix}
a=\frac{1}{x} & \\
b=\frac{1}{y}& \\
c=\frac{1}{z}&
\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1$$

$$\Rightarrow E=\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$$

$$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$$

d = 10

S = 46

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Mình không phải là toán thủ thi đấu

ĐK: $x\geq 1$

phương trình đã cho tương đương với:

$3(x-1)+2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$

đặt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}=a & \\ \sqrt{x^2+x+1}=b& \end{matrix}\right.(a,b\geq 0)$

pttt: $3a^2+2b^2-7ab=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=2b & \\ a=\frac{b}{3}& \end{bmatrix}$

• $a=2b$ $\Rightarrow \sqrt{x-1}=2\sqrt{x^2+x+1}\Leftrightarrow x-1=4(x^2+x+1)\Leftrightarrow 4x^2+3x+5=0$ (VN)
• $a=\frac{b}{3}\Rightarrow 3\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2+x+1}\Leftrightarrow 9(x-1)=x^2+x+1\Leftrightarrow x^2-8x+10=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=4-\sqrt{6} & \\ x=4+\sqrt{6}& \end{bmatrix}$

thử lại ta thấy 2 nghiệm đều thoả mãn ĐK và phương trình. Vậy pt có 2 nghiệm

Giải phương trình:

$$\sqrt{x^2+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^2-6x+19}$$

Đề của 

vuminhhoang

Kaito Kuroba không phải là toán thủ thi đấu!!

$\sqrt{x^2+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^2-6x+19}$

ĐK: $\left\{\begin{matrix} x^2+x-6\geq 0 & \\ x-1\geq 0& \\ 3x^2-6x+19\geq 0& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} x\geq 2 & \\ x\leq -3& \end{bmatrix} & \\ x\geq 1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow x\geq 2$

phương trình đã cho tương đương với:

$\sqrt{x^2+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^2-6x+19}$

$\Rightarrow  x^2+x-6+9(x-1)+6\sqrt{(x^2+x-6)(x-1)}=3x^2-6x+19$

$\Leftrightarrow 6\sqrt{(x-2)(x+3)(x-1)}=2x^2-16x+34$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{(x-2)(x+3)(x-1)}=x^2-8x+17$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{(x-2)(x^2+2x-3)}=(x^2-2x-3)-10(x-2)$  $(*)$

đặt: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+2x-3}=a & \\ \sqrt{x-2}=b& \end{matrix}\right.(a,b\geq 0)$

pt $(*)$ trở thành: $a^2-3ab-10b^2=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=5b & \\ a=-2b(loai)& \end{bmatrix}$

• $a=5b$$\Rightarrow \sqrt{x^2+2x-3}=5\sqrt{x-2}\Leftrightarrow x^2-23x+47=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{23+\sqrt{341}}{2} & \\ x=\frac{23-\sqrt{341}}{2}& \end{bmatrix}$

thử lại ta thấy 2 nghiệm đều thoả mãn. Vậy pt đã cho có 2 nghiệm!!!!

 

Bài 3: Olympic 30-4-2014:

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

 

mình nghĩ cách này là ngắn nhất:

đặt VT BDT thức bằng $P$, ta có:

${P^2} \le 3\sum {\frac{{{a^2}}}{{7{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}  \le \frac{1}{3}\sum {{a^2}\left( {\frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}} \right)}  = 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

 

Giải PT,HPT

12)$\left\{\begin{matrix}x^3+2y^2=x^2y+2xy\\2\sqrt{x^2-2y-1}+\sqrt[3]{y^3-14}=x-2\end{matrix}\right.$

 

 

 

12.

từ pt đầu ta biến đổi thành: $x^3+2y^2-x^2y-2xy=0\Leftrightarrow (x-y)(x^2+2y)=0\Rightarrow x=y$

đến đây thế vào pt còn lại là xong!

 

Giải PT,HPT

14)$\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{15-x-4y}+x-2=\sqrt{x^2-2x^3+8y-3}\\\sqrt[3]{4y+3x^2+4x}=x+1\end{matrix}\right.$

từ phương trình thứ 2 thử lập phương 2 vế xem nào:

$\sqrt[3]{4y+3x^2+4x}=x+1\Leftrightarrow 4y+3x^2+4x=x^3+3x^2+3x+1\Leftrightarrow 4y=x^3-x+1$

đến đây thế vào pt còn lại là OK!

 

Giải PT,HPT

10)$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2-\dfrac{x^2}{4}$

10.

pttt: $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2-\dfrac{x^2}{4} \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+x}+1}-\frac{x}{\sqrt{1-x}+1}+\frac{x^2}{4}=0\Rightarrow x=0$

vế còn lại vì ĐK: $-1\leq x\leq 1$ nên vô nghiệm.

tóm lại nghiệm của phương trình: $x=0$

 

Giải PT,HPT

8)$3x^2-5x+6=2x\sqrt{x^2+x-3}$

 

8.

ta có: $3x^2-5x+6=2x\sqrt{x^2+x-3} \Leftrightarrow (x-3)(3x+4)=2\frac{(x-3)(x^3+4x^2+9x+27)}{x\sqrt{x^2+x+3}+9}\Rightarrow x=3$

vế bên trong vô nghiệm.

 

Giải PT,HPT

13)$\left\{\begin{matrix}x^3-y^3-x^2y+xy^2-2xy-x+y=0\\\sqrt{x-y}=x^3-2x^2+y+2\end{matrix}\right.$

 

13.

từ pt đâu ta phân tích được: $(x-y-1)(x^2+x+y^2-y)=0$ đến đây thế vào pt còn lại là OK!

 

Giải PT,HPT

9)$\sqrt[3]{x^2+3x+2}(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x+2})=1$

9.

đăt:$\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x+1}=a & \\ \sqrt[3]{x+2}=b& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab(a-b)=1 & \\ a^3-b^3=-1& \end{matrix}\right.$

đến đây chăc là OK!

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^2+1}-3x^2y+2)(\sqrt{4y^2+1}+1)=8x^2y^3 & \\
 x^2-x+2=0 &
\end{matrix}\right.$

đề bị sai rồi! vì:

ta xét pt thứ 2 ta thấy rằng:$x^2-x+2=(x-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}>0$. nếu vậy thì hệ vô nghiệm rồi! vì phương trình thứ hai sẽ lơn hơn 0 với mọi $x$.

 

Giải PT,HPT

7)$\left\{\begin{matrix}4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=y^2+8\\(\sqrt{x^2+2012}+x)(\sqrt{y^2+2012}+y)=2012\end{matrix}\right.$

từ pt thứ hai ta có: $(\sqrt{x^2+2012}+x)(\sqrt{y^2+2012}+y)=2012$

nhân lần lượt pt cho: $\sqrt{x^2+2012}+x$và$\sqrt{y^2+2012}+y$

rồi cộng lại ta được: $2(x+y)=0$$\Rightarrow x=-y$ thế vào pt còn lại, OK!

Nhớ trích dẫn, mà bạn làm sai rồi.

sai ở đâu thế????????????

 

ĐỀ SỐ 9

Bài 1:

a.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}+x-y=1 \end{matrix}\right.$

b.Giải phương trình:$3x^3-17x^2-8x+9+\sqrt{3x-2}-\sqrt{7-x}=0$

Bài 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=1$

CMR:

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{ab+1-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

Bài 3:

Cho tam giác ABC (AB<BC, AB<AC). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC,BC. Đương thẳng MN cắt các tia AO,BO lần lượt tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. CMR:

a. CÁc tứ giác BONP, AOMQ, AQPB nội tiếp

b,  E,F,Q thẳng hàng

c. $\frac{OM}{OC}=\frac{PQ+MQ+MP}{AB+BC+CA}$

Bài 4:

Tô màu các STN từ 1 đến 2013 theo quy tắc: Số chia cho 24 dư 17 thì tô xanh, số chia 40 dư 7 thì tô đỏ, các số còn lại tô đen

a. Có bao nhiêu số được tô màu vàng

b. Tìm các cặp số (a,b) sao cho a tô xanh, b tô đỏ và $\left | a-b \right |=2$

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại C, $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC.

CMR: $3BD^2=5AD^2+5CD^2 <=> CD=2AD$

 

P/s: Cùng thảo luận nào mọi người. Nhưng nhớ là không SPAM nhé!

 

bai2:

phương trình đâu tương đương với:

$\left ( x-6 \right )\left [ (3x-2)(x+1)+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+4} +\frac{1}{\sqrt{7-x}-1}\right ]=0==> x=6$

$x=\frac{1}{7}$

Vậy thì còn TH: $\frac{(x-y)^{2}}{x+y}+1=0$ thì sao?

Bạn mới chỉ chỉ ra được 1 TH thôi.

vì ĐK: $x+y\geq 0$ suy ra $\frac{(x-y)^{2}}{x+y}+1>0$

3.b.

$\left ( \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}} +\sqrt{x}\right )^2\leq (x+9)\left (\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+1}  \right )=x+9$

$"="\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}}\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$

 

ĐỀ SỐ 9

Bài 1:

a.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}+x-y=1 \end{matrix}\right.$

b.Giải phương trình:$3x^3-17x^2-8x+9+\sqrt{3x-2}-\sqrt{7-x}=0$

Bài 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=1$

CMR:

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{ab+1-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

Bài 3:

Cho tam giác ABC (AB<BC, AB<AC). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC,BC. Đương thẳng MN cắt các tia AO,BO lần lượt tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. CMR:

a. CÁc tứ giác BONP, AOMQ, AQPB nội tiếp

b,  E,F,Q thẳng hàng

c. $\frac{OM}{OC}=\frac{PQ+MQ+MP}{AB+BC+CA}$

Bài 4:

Tô màu các STN từ 1 đến 2013 theo quy tắc: Số chia cho 24 dư 17 thì tô xanh, số chia 40 dư 7 thì tô đỏ, các số còn lại tô đen

a. Có bao nhiêu số được tô màu vàng

b. Tìm các cặp số (a,b) sao cho a tô xanh, b tô đỏ và $\left | a-b \right |=2$

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại C, $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC.

CMR: $3BD^2=5AD^2+5CD^2 <=> CD=2AD$

 

P/s: Cùng thảo luận nào mọi người. Nhưng nhớ là không SPAM nhé!

 

bai1

$(x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(x+y-1)}{x+y}+x+y-1=0\Leftrightarrow \left ( x+y-1 \right )\left [\frac{(x-y)^2}{x+y} +1\right ]\Leftrightarrow x+y=1$

thế vào (2) được: $x=y=\frac{1}{2}$

Áp dụng bđt Bunhiacopki ta có

$(\sqrt{\frac{8}{x+1}}+\sqrt{x})^2\leq (\frac{8}{x+1}+1)(1+x)=\frac{x+9}{x+1}.(x+1)=x+9$

Suy ra $\sqrt{\frac{8}{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$

BUNHIA bạn áp dụng giống mình, chỉ khác thứ tự thôi. ko ai sai cả đâu!!!!!!!!!!1

Cho $\Delta ABC$ $A_{(1,1)};B_{(2,3)}$ Điểm $C\in (C):x^2+y^2-6x-4y+9=0$.Tìm tọa độ trọng tâm $\Delta ABC$ biết $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}$ và $ x_{C}\in \mathbb{Z}$

 ta có:$$(AB):2x-y-1=0$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\Rightarrow d(C;AB)=\frac{\sqrt{5}}{10}
\Leftrightarrow \frac{\left | 2x_c-y_c-1 \right |}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$$

suy ra toạ độ điểm $C$ là nghiệm cuả hệ: $\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2-6x-4y+9=0 & \\
\frac{\left | 2x_c-y_c-1 \right |}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}  &
\end{matrix}\right.$

đến đây là OK rồi!!!!

Cho $x,y,z,t$ thỏa mãn $(x+y)(z+t)+xy+88=0$ . Tìm min $x^{2}+9y^{2}+6z^{2}+24t^{2}$

Ta có:$(x+y)(z+t)+xy+88=0\Leftrightarrow 4(x+y)(z+t)+4xy+352=0$

nên ta có:$x^2+9y^2+6z^2+24t^2+4xz+4xt+4yz+4yt+352=\left ( x+2z+2x+2t \right )^2+(2y-z)^2+(z-4t)^2+(y-2t)^2+352\geq 352$

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=14 & \\
 y=-2& \\
 z=-4& \\
 t=-1&
\end{matrix}\right.V\left\{\begin{matrix}
x=-14 & \\
 y=2& \\
 z=4& \\
 t=1&
\end{matrix}\right.$