Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: $8(\sum \frac{a^2}{bc})^2\geq 9(1+4sin^2\frac{A}{2})(1+4sin^2\frac{B}{2})(1+4sin^2\frac{C}{2})$

Cho tam giác nhọn ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi G và M lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và trung điểm cạnh BC. Chứng minh nếu đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM thì $AC^2+AB^2+2BC^2=12R^2$

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: $8(\sum \frac{a^2}{bc})^2\geq 9(1+4sin^2\frac{A}{2})(1+4sin^2\frac{B}{2})(1+4sin^2\frac{C}{2})$

Cho tam giác ABC, tìm GTLN của $P=\frac{\sqrt{3}sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}{4\sqrt{1+\frac{5}{sin\frac{C}{2}}}-1}$

Cho tam giác ABC có diện tích $=\frac{1}{4}$. Chứng minh rằng: $\frac{3}{\Pi }(\sum \frac{A}{tanA})\leq \sum a^2$

Tìm các giá trị của m để bất phương trình: $x(2-x)+m(\sqrt{x^2-2x+2}+1)\leq 0$ nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn $\left [ 0;1+\sqrt{3} \right ]$

Tìm m để phương trình: $\sqrt{tanx+m-1}+\sqrt{cotx+m-1}=m+1$ có đúng 1 nghiệm $x\in (0;\frac{\pi}{2})$

Giải bất phương trình: $x-\sqrt{x-2}>\sqrt{x^3-4x^2+5x}-\sqrt{x^3-3x^2+4}$

Giải bất phương trình:

$(5x^2-5x+10)\sqrt{x+7}+(2x+6)\sqrt{x+2}\geq x^3+13x^2-6x+32$

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} \left | 4cosx.cosy \right |=1 & \\ cos2x+cos2y+1\leq 0& \end{matrix}\right.$

Cho x,y,z>0: xyz+x+z=y. Tìm GTLN: $T=\frac{2}{x^2+1}-\frac{2}{y^2+1}+\frac{3}{z^2+1}$

Cho hai số thực dương a,b có $a\geq 3;2a+3b\geq 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}$

Cho tam giác ABC có các góc A,B thỏa điều kiện: $sin\frac{3A}{2}+sin\frac{3B}{2}=2cos\frac{A-B}{2}$. Chứng minh tam giác ABC đều

Tìm m để hệ sau có tập nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài là 1 đơn vị:

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x^{2}-2x-12}{x}\geq 3x+4 & \\ m(x-1)\geq m+6& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{1-y}=m+1 & \\ \sqrt{1-x}+\sqrt{y}=m+1& \end{matrix}\right.$

Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2010}+\left | y+1 \right |=a & \\ \left | x \right |\sqrt{y^{2}+2y+2010}=\sqrt{2010-x^{2}}-a& \end{matrix}\right.$

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác đều ABC. Một đường thẳng d tiếp xúc với (I) và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng  

$\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = 1$

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z = xyz và x,y,z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P= \frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}}

Tính giá trị của biểu thức:

$P=\frac{2sin2+4sin4+...+180sin180}{cot1}$

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

  Cho tam giác ABC, P thuộc miền trong của tam giác. Gọi K,M,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên BC,CA,AB. Xác định P sao cho tổng $BK^{2}+CL^{2}+AM^{2}$ nhỏ nhất

Tìm m để phương trình: 

$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+m\sqrt{x+2\sqrt{x-9}-8}=x+\frac{3m+1}{2}$có hai nghiệm x1,x2 sao cho x1<10<x2

Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+2y^{2}-x\leq m & \\ x^{2}-2xy-2x\leq m-2& \end{matrix}\right.$

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{m-2x(y+1)}+x-y-2=0$

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thỏa mãn các bất đẳng thức:

\frac{a^{2}}{a + b} + \frac{b^{2}}{b + c} + \frac{c^{2}}{c + a} \geq \frac{c^{2}}{b + a} + \frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{a + c} \geq \frac{b^{2}}{b + a} + \frac{c^{2}}{b + c} + \frac{a^{2}}{a + c}

thì \left | a \right | = \left | b \right | = \left |c \right |