Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² =3

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}}$ + $\frac{b}{\sqrt{c}}$ + $\frac{c}{\sqrt{a}}$  $\geq$  a + b + c

áp dụng bđt Cô-si ta có

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+ab\geq 3a$

Tương tự ta có $\sum 2\frac{a}{\sqrt{b}}\geq 3(a+b+c)-ab-bc-ca$

ta cần cm

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+3\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow (a+b+c-3)(a+b+c+1)\leq 0$

lai có $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= 3$

nên bđt luôn đúng

vậy ta có đpcm

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

$198)$ Cho $a;b;c>0$. Cmr: $1+\frac{3}{ab+bc+ca}\geq \frac{6}{a+b+c}$

 

 

c2 ta có $Vt \geq 2\sqrt{\frac{3}{ab+bc+ca}}$

ta cần cm

$2\sqrt{\frac{3}{ab+bc+ca}} \geq \frac{6}{a+b+c}$

$<=> \frac{3}{ab+bc+ca} \geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

$<=> (a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ca)$ (luôn đúng)

Bài 159: Cho $x,y,z>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{4z-7y}{x+2y}+\frac{5x-5z}{y+3z}+\frac{3y-11x}{z+4x}\geq -3$

bđt $\Leftrightarrow \frac{4x+y+4z}{x+2y}+\frac{5x+2y+zz}{y+3z}+\frac{x+3y+3z}{z+4x}$$\geq 6$

đặt $x+2y=a,y+3z=b,z+4x=c$

bđt trở thành $\sum \frac{b+c}{a}\geq 6$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$(luôn đúng)

p/s:bài thứ 400 của mình

tìm Max:$3.\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$ với $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

ta có $3.\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^2}$ $\leq 3\frac{2x-1+1}{2}+\frac{x^{2}+5-4x^{2}}{2}$

$=\frac{6x+5-3x^{2}}{2}=\frac{-3(x-1)^{2}}{2}+4 \leq 4$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=1

 

Chùm bài tập chứng minh BĐT chứa biến ở mẫu

$196)$ Cho $a;b>0$. Tìm Min $P=\frac{a+b}{\sqrt{a(4a+5b)}+\sqrt{b(4b+5a)}}$

 

ta có $P=\frac{3(a+b)}{\sqrt{9a(4a+5b)}+\sqrt{9b(4b+5a)}} $

$\geq \frac{3(a+b)}{\frac{9a+4a+5b+9b+4b+5a}{2}}=\frac{1}{3}$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b

Nếu là $\frac{7}{27}$ thì đề bài phải là:

 Cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

ta có

$ \prod (a+b-c)\leq \prod a$

$ \Rightarrow \prod (1-2c)\leq abc$

$ \Rightarrow 1+4(ab+bc+ca)-2(a+b+c)-8abc\leq abc$

$ \Rightarrow 4(ab+bc+ca-2abc)\leq abc+2(a+b+c)-1$$ \leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}+2(a+b+c)-1 =\frac{28}{27}$

$ \Rightarrow ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

 

Bài 170: Với $a,b,c$ là những số thực dương, chứng minh rằng:

$P=\sum \frac{a^3b}{ab^2+1}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$

+y^2+z^2}$

 

170 ta có

$P=\sum \frac{a^{3}b}{ab^{2}+1}= \sum \frac{a^{3}bc}{ab^{2}c+c}$

$= abc\sum \frac{a^{2}}{ab^{2}c+c}\geq \frac{abc(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)(abc+1)}= \frac{abc(a+b+c)}{abc+1}$

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh rằng: $\frac{ab}{ac+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\geq \frac{3}{4}$

166)
bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{bc+a(a+b+c)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 4\sum bc(b+c)\geq 6abc+3\sum bc(b+c)$

$\Leftrightarrow \sum bc(b+c)\geq 6abc$(đúng theo cô-si)

155, cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác. CMR

a, $\sum \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}> 3$

b, nếu $a\leq b\leq c  thì  (a+b+c)^{2}\leq 9bc$

$155.a$

$\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}-1= \frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{b^{2}+c^{2}}$

$= \frac{(a+b-c)(a-b+c)}{b^{2}+c^{2}}> 0$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Bài 150: CMR với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có:

$\sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^2+2c^2}{b^2+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^2+2a^2}{c^2+ca+ab}}\geq 3$

Bài 151: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$

Bài 152: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tùy ý. CMR:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

Bài 153: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta luôn có:

$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

Bài 154: Cho $a,b,c>0$. CMR:

$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

Bài 155: CMR với mọi $a,b,c>0$ ta đều có:

$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

Bài 156: Cho biểu thức $P=(\frac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}).\frac{4\sqrt{x}}{3}$ với $x\geq 0$.

Tìm max và min của P

P/s: Đây, mình còn một đống bài tập chưa có lời giải đây! Mệt     

155

$\frac{4}{2(a+3b)}+\frac{1}{b+3c}+\frac{16}{4(c+3a)}\geq \frac{49}{14a+2b+2c}$

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

Mọi người giúp nhanh cho mình nha thanks nhìu 

114. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

115. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

116. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

117.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

118. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$

115

3-s=$\sum \frac{1}{x+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}= \frac{9}{4}$

$s\leq \frac{4}{3}$

116 $\frac{4a^{2}}{(a-1)1}\geq \frac{16a^{2}}{a^{2}}= 16$

tương tự ta có đpcm

117$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum 2a^{2}-\sum ab \geq \sum ab$}$

Bài 1:Biết $x,y,z$ là độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn

$\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}> 1$

Chứng minh $x,y,z$ là độ dài các cạnh của 1 tam giác

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4(\sum a)}$

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{1}{2}$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c+2a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

P/s: HẾT!!!   

3 $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq \sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

ta cần cm $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum (b+c-a)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$(luôn đúng)

$\sum \dfrac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \dfrac{[\sum (b+c-a)]^2}{\sum [2a^2+(b+c)^2]}=\dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum (b+c)^2} \\ \geq \dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum [2(b^2+c^2)]}=\dfrac{(\sum a)^2}{6\sum a^2} \\ \geq \dfrac{3 \sum ab}{6\sum ab}=\dfrac{1}{2}$

 

 

P/S: lần sau bạn chú ý đặt đề theo STT đã có trong pic bạn nhé!

bạn bị ngược dấu rồi 

P/s: câu này nhầm dấu C/m à

Áp dụng BĐT $AM-GM$:

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.y^{2}\geq 2\left | xy \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.z^{2}\geq 2\left | xz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{\sqrt{17}-1}{4}.y^{2}+\frac{\sqrt{17}-1}{4}.z^{2}\geq 2\left | yz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

Cộng theo vế $VT\geq 2(\left | xy \right |+\left | yz \right |+\left | zx \right |).\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}\geq 2.\left | xy+yz+zx \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}=\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}}$

$=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$

nhầm rồi đề là xy+z+xz=-1

124) Cho $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ trong đó $ad-bc=1$. Cmr: $S\geq \sqrt{3}$

 

125) Cho $x;y;z$ thoả $\left\{\begin{matrix}x+y+z=5 & & \\ x^2+y^2+z^2=9 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

 

126) Cho $x;y\neq 0$. Cmr: $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$
 

127) Cho $a;b;c\in [-1;2]$ thoả mãn: $a+b+c=0$. Cmr: $a^2+b^2+c^2\leq 6$

 

128) Cmr: $\sum (x-y)^2\leq 3\sum x^2$

126$bdt\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+2\geq 0$

đặt $t= \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

ta có

$t^{2}\geq 4$

$\Leftrightarrow$ $t\geq 2$ hoặc $t\leq - 2$

lúc đó 

$bdt\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0$(luôn đúng)

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y$

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

134

Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$

khi đó $0\leq a\leq 1$

$1\leq c \leq 2$

$\Rightarrow a^{2}\leq a,c^{2}\leq 3c-2$

VT$= a^{2}+c^{2}+(3-a-c)^{2}$$\leq 2a(c-2)+5\leq 5$

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

132 $bdt\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 2\sqrt{2}(x-y)$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x^{2}+y^{2})-16$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-4)^{2}\geq 0$

 

$197)$ Cho $a;b;c>0$ thỏa $a+b+c=2$. Cmr: $\sum \frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}\leq 1$

 

ta có VT=$ \sum \frac{ab}{\sqrt{(a+b+c)c+ab}}=\sum \frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$\leq\sum \frac{\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=1$

dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{2}{3}$

220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

g pt $\Leftrightarrow (x^{2}+3x)(x^{2}+3x+2)= y^{2}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+3x+1)^{2}-1= y^{2}$

$\Rightarrow (x^{2}+3x+1),y^{2}$ là 2 số chính phương liên tiếp

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & (x^{2}+3x+1)^{2}=1 & \\ & y^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

218, giải các phương trình nghiệm nguyên

 

p, x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 = y²

 

p ta có

$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3> x^{4}+2x^{3}+x^{2}$

nếu $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3\geq (x^{2}+x+1)^{2}$

thì $(x+1)(x-2)\leq 0$

nếu $(x+1)(x-2)> 0\Rightarrow (x^{2}+x+1)^{2}> y^{2}> (x^{2}+x)^{2}$(vô lý)

nếu x=-1 thì y²=3(loại)

nếu x=0 thì y²=3(loại)

nếu x=1 thì y=3 ,y=-3

nếu x=2 thì y²=45(loại)

218, giải các phương trình nghiệm nguyên

a, $8x+11y=73$

b, $5x-3y=2xy-11$

c, $x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}=y^{2}$

d, $x^{3}+y^{3}+z^{3}=2003^{4}$

e, xyz = 9 + x + y + z và x, y, z >0

g, $x^{3}-x^{2}-2xy=y^{3}+y^{2}+100$

h, 5 (x + y + z + t) + 10 = 2xyzt  và x, y, z, t là các số dương

i, 2^x  + 3^x = 5^x với x không âm

k, 19x² + 28y² = 729 với x, y nguyên dương

l, 9x + 5 = y(y+1)

m, 2016x + 3 = y³

n, 2x² + 4x = 19 - 3y²

p, x⁴ + 2x³ + 2x² + x + 3 = y²

r, x³ + 2y³ = 4z³ (sử dụng phương pháp lùi vô hạn)

s, x³ + y³ + z³ = (x + y + z)² với x, y, z đôi một khác nhau

t, x³ - y³ = xy + 8

u, 6x + 15y + 10z = 3

v, 2^x + 57 = y²

w, 12x² + 6xy + 3y² = 28(x + y)

i $pt\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{3}{5} \right )^{x}= 1$

nếu x>1 pt vô nhiệm 

nếu x<1 pt vô nghiệm vậy x=1

220/ 

a. $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=y$

b.Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8 & & \\ 5y+3z=1 & & \end{matrix}\right.$

c.$.x+y+z=xyz$

d.$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1998}$

e.$3x^2+5y^2=12$

f.$3(x^2+y^2+xy)=x+8y$

g.$x(x+1)(x+2)(x+3)=y^2$

h.$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{t^2}=1$

220

pt$\Leftrightarrow 2x+3+2\sqrt{x(x+3)}= y^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{4x(x+3)}$ là số nguyên

$\Rightarrow 4x^{2}+12x= t^{2}$

$\Rightarrow (2x+3)^{2}= t^{2}+9$

$\Rightarrow (2x+3-t)(2x+3+t)= 9$

Bài 152(IMO shortlist): Cho a,b,c>0. CMR: nếu a+b+c=3 thì

$\sum \frac{1}{a^2+a+1}$$\leq 1$ 

bài này ngược dấu thật 

ta có $\sum \frac{1}{3}-\frac{1}{a^{2}+a+1}= \frac{(a-1)(a+2)}{3(a^{2}+a+1)}$

$\leq \frac{1}{9}(a+b+c-3)(\sum \frac{a+2}{a^{2}+a+1})= 0$ (bất đẳng thức chebysev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều)

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq 1$

Bài135(Mongolia MO): Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. CMR:

$\sum \frac{a^2}{b^2-bc+c^2}\geq 2$

giả sử c= Min {a,b,c}

ta có $VT= \frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}+c(c-b)}+\frac{b^{2}}{a^{2}+c(c-a)}$

$\geq \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq 2$

Bạn  có thể giải thích chi tiết được không ?

thì $\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq 0$

$\frac{b^{2}}{a^{2}-ac+c^{2}}\geq \frac{b^{2}}{a^{2}}$

$\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b^{2}}$