Cho $\Delta ABC$ vuông cân, trung tuyến $AE$. Trên cạnh $AB$ lấy $F$ sao cho $AF=\frac{1}{2}FC$. Trên $FC$ lấy $I$ sao cho $EI \bot FC$. Tính $\widehat{BIC}$.

tam giác ABC cân tại đâu vậy bạn?

Kẻ AA' vuông góc với BC; DD' vuông góc với BC; EE' vuông góc với BC; NN' vuông góc với BC( A'; D'; E'; N' cùng thuộc BC). Gọi NM cắt DE tại I.Kẻ II' vuông góc với BC(I' thuộc BC).
- Ta có: I là trung điểm của DE; I là trung điểm của NM.
-Hình thang DD'E'E có II' PDF đường trung bình => DD'+EE'=2.II'(1).
-Mà II' là đường trung bình của tam giác MNN'=> 2.II'= NN'(2).
-Từ (1);(2)=> DD'+EE'=NN'(3).
-Ta lại có: DD'+ EE'= AA'( bạn tự chứng minh dựa vào mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông có một góc= 60 độ nhé!)
Suy ra AA'= NN'. Mà AA' //NN' => ANN'A' là hình chữ nhật.
=> AN //BC(đpcm).

Cám ơn bạn nhìu nhìu

Không có gì bạn à!

Cho e hỏi bài này với ạh:
Cho tam giác ABC có góc B bằng 60 độ, vẽ phân giác góc A và phân giác góc C cắt nhau tại I và phân giác góc A cắt BC tại E, phân giác góc C cắt AB tại D, tính góc IDE?
Giúp em bài này với ạh. Cám ơn các anh các chị trước ạh.

-Ta có: Góc ABC=60 độ=> 1/2(góc BAC+góc ACB)=60 độ= góc IAC+góc ICA.
=> góc CIA=120 độ; góc EIA=góc CID=60 độ.
-Kẻ phân giác góc AIC cắt AC tại H.
-Ta có: góc EIA=góc AIH(=60 độ).
=> tam giác EIA=tam giác HIA(g.c.g).
=> EI=IH.
Chứng minh tương tự, ta có: DI=IH.
=> EI=ID(=IH). Và có góc EID=120 độ.
=> tam giác EID cân tại I có góc EID=120 độ.
=> góc IDE=30 độ.
Vậy góc IDE=30 độ.

Lời giải cho bài của bạn vanduc0409:
- Lấy I là giao của 3 đường trung trực của tam giác ABC.
-Ta thấy tam giác ABC cân tại A có góc BAC=30 độ=> góc ABC=75 độ.
-Ta có: IA=IB=IC; Góc BIC= 2. góc BAC= 60 độ(do IA=IB=IC) => tam giác IBC đều.
=> I thuộc đường phân giác góc BAC và AI=BI=CI=BC. Mà M cũng thuộc tia phân giác góc BAC và AM=BC.
=> điểm I trùng với M. => tam giác BMC đều
=> góc MBC=60 độ. Mà góc ABC=75 độ.
=> góc ABM=15 độ.
Vậy góc ABM=15 độ.

Dùng cái này:
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left ( 1+2+3+...+n \right )^2=\frac{n^2\left ( n+1 \right )^2}{4}$
Khi đó:
$1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left ( 1+2+3+...+9 \right )^2\\ \Leftrightarrow a=b^2$

-Bạn ơi, chỗ cuối sao lại là 9 được? Theo công thức của bạn thì phải là 99 chứ!

Mình có bài này chắc là sử dụng fermat nhỏ nhưng làm mà ko ra à. Mọi người chỉ mình nhé:
Tìm dư trong phép chia a cho b biết rằng:
a=1³+2³+3³+...+99^{3
b=1+2+3+...+99
Cách làm của mình này:}
$1^{3}\equiv 1(mod 3); 2^{3}\equiv 2(mod 3); 3^{3}\equiv 3(mod 3); ....... 99^{3}\equiv99(mod 3); \Rightarrow 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+99^3\equiv1+2+3+..+99(mod 3)$
Đến đây thì mình xin chịu. Mà cách làm của mình chẳng biết có đúng ko nữa. ai biết làm chỉ mình nhé. Mình sắp thi rồi.

-Bài cầu bạn chưa chặt ở chỗ đi tìm số dư của a cho b thì đi chứng minh cho a;b cùng chia hết cho 3 không ra được a chia hết cho b đâu. Ví dụ như 9 chia hết cho 3; 6 chia hết cho 3 nhưng 9 có chia hết cho 6 đâu bạn.

M.n giúp m bài này:
Cho số tự nhiên a thoả mãn:
a chia 3 dư 6,chia 12 dư 10,chia 15 dư 13 và a chia hết cho 23
a.Tìm số nhỏ nhất a
b. Tìm dạng chung của n
Chi tiết 1 chút nhé ! Thanks

-Giả sử đề bài của bạn đúng khi đó a chia 3 dư 6 nghĩa là a chia hết cho 3 (1).
-Mà a chia cho 12 dư 10 => a không chia hết cho 3 (2).
-Từ (1);(2)=> không tồn tại số a thỏa mãn đề bài phần a) với a là số tự nhiên.

-Trả lời bài 2 của bạn motkhoc:
Đề bài: Tìm n thuộc N để (3n+1, 5n+2)=1.
-Đặt (3n+1, 5n+2)=d ( n là số tự nhiên và d là số tự nhiên khác 0).
=> 3n+1 và 5n+2 chia hết cho d.
=> 5.(3n+1) chia hết cho d
và 3.(5n+2) chia hết cho d.
=> 5.(3n+1)- 3.(5n+2) chia hết cho d.
=> -1 chia hết cho d và d là số nguyên dương nên d=1.
=> Với mọi n là số tự nhiên thì (3n+1,5n+2)=1.
Vậy với mọi n là số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

Bài 10: Tìm số $n\epsilon N^{*}$, sao cho: $n^{3}-n^{2}+n-1$ là số nguyên tố
Bài 11: Chứng minh rằng bình phương của số nguyên tố khác 2 và 3, khi chia cho 12 đều dư 1
Bài 12: Tìm một số p, để 3 số p, p+2 và p+4 đều là số nguyên tố
Bài 13:Chứng minh rằng nếu $2^{n}-1$ là số nguyên tố $(n>2)$ thì $2^{n}+1$ là hợp số
Bài 14: Trong một buổi sinh hoạt ngoại khóa có 252 em học sinh khối lớp 6; 210 em học sinh khối lớp 7 và 126 học sinh khối lớp 8 tham dự. Để tiện sinh hoạt, người ta muốn chia đều số học sinh mỗi khối lớp vào từng nhóm, mỗi nhóm đều có đủ học sinh 3 khối lớp.
Có bao nhiêu cách thành lập nhóm, mỗi cách cho ta bao nhiêu nhóm, mỗi nhóm có bao nhiêu người và số học sinh mỗi khối lớp trong một nhóm là bao nhiêu người?

Bài 10: -Ta có: n^3-n^2+n-1 là số nguyên tố (n là số tự nhiên).
-Mà n^3-n^2+n-1= (n-1).(n^2+1).
=> để n^3-n^2+n-1 là số nguyên tố thì n-1=1 hoặc n^2+1=1 (Vì nếu n-1 khác 1 và n^2+1 khác 1 thì n^3-n^2+n-1 sẽ chia hết cho 1 số nguyên >1).
=> n=2 hoặc n=0 (Loại TH n=0 vì khi đó n^3-n^2+n-1 =-1 không phải là số nguyên tố).
Vậy n=2 thỏa mãn đề bài.

Bạn cho mình hỏi vì sao $\frac{AQ}{QH}=\dfrac{AE}{EH}$ vậy 

Do có EQ là phân giác góc AEH, góc AEQ= góc AOE/2= góc AEQ/2.

ace nào giải hộ mình bài hình với ạ   

 

 

vừa mới sửa =)))) do mình mới đi ăn cơm nên không gõ lại kịp. bonus hình cho các bác giải. ở câu c điểm cố định là A.

-Gọi giao điểm của DK với (O) là Q; AO cắt EF tại H.

-Ta có: A;Q;O thẳng hàng.    

-Lại có: góc KQO=góc KDO= góc DOI (Do DK//OI)   

    => tam giác KHQ ~ tam giác IDO (g.g)  => KQ/IO = QH/DO= QH/OE.  (1)

-Ta thấy: AQ/QH= AE/EH= AO/OE  => QH/OE= AQ/AO.   (2)

-Từ (1);(2) => KQ/IO= AQ/AO  và KQ//IO. Theo định lý ta-lét => A;K:I thẳng hàng.

Góp hình bài 3, mới tập xài GSP nên chưa biết vẽ câu c =)))

 

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có AB < AC. Các đường cao BD, CE cắt nhau tại H (D thuộc AC, E thuộc AB). Gọi M là trung điểm của BC, tia MH cắt đường tròn (O) tại N

            a) Chứng minh rằng năm điểm A, D, H, E, N cùng thuộc 1 đường tròn

            b) Lấy điểm P trên đoạn BC sao cho $\widehat{BHP}=\widehat{CHM}$, Q là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng HP. Chứng minh rằng tứ giác DENQ là hình thang cân

            c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ tiếp xúc với đường tròn (O).                                                                                                                         

a) Gọi AO cắt (O) tại S. Ta dễ dàng chứng minh được BHCS là hình bình hành => HS đi qua trung điểm BC 

 => N;H;M;S thẳng hàng   => góc ANH= góc ANS= 90 độ (Do N nằm trên đường tròn (O) đường kính AS)

=> góc ANH=90 độ= góc ADH= góc AEH   => đpcm.

 

b) Ta dễ dàng chứng minh được QNED là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Ta lại có:  góc NED= góc NHD= góc BHM= góc PHC= góc QHE= góc QDE.

 - Tứ giác QNED là tứ giác nội tiếp có góc NED= góc QDE  => QNED là hình thang cân.

 

c) Gọi AH cắt (O) tại K; AH cắt BC tại I; F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ; gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ là (F).

-Dễ dàng chứng minh được H đối xứng với K qua BC.

-Ta chứng minh được  NH.HM=AH.IH= QH.HP  => đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua N.

-Ta có: góc BHM= góc CSM= góc NBM => góc ASN+ góc ABC= góc BHM  

  => góc ASN= góc BHM +90 độ- góc ABC -90 độ= góc BHM+ góc HCB-90 độ = góc PHC+ góc HCP -90 độ= góc BPH-90 độ= góc PHK =góc AKP ( H đối xứng với K qua BC ).

 -Mà góc ASN= góc AKN  => góc AKN= góc AKP => N;P;K thẳng hàng.

-Ta lại có:  +) góc PNF= 90 độ- góc NMP= 90 độ- góc NSK (Do IM là đường trung bình tam giác HKS nên IM//KS nên KS//BC)

                 +) 90 độ- góc NSK= góc ONK = góc ONP (Do N;P;K thẳng hàng).

 -Từ 2 điều trên => góc PNF= góc PNO => N;F;O thằng hàng.

-Ta có: Đường tròn (F) đi qua N; N nằm trên (O) và O;F:N thẳng hàng => đường tròn (F) tiếp xúc với (O).

=> đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ tiếp xúc với (O) (đpcm).

Bài 4: 

Áp dụng Schawrz, ta có:

$A\geq 2\frac{a+b+c}{3}+3\frac{9}{\sqrt{a+b+c}}=\frac{2(a+b+c)}{3}+\frac{27}{\sqrt{a+b+c}}$

Dễ thấy rằng: $\sqrt{a+b+c}\geq 3$

Suy ra: $A\geq \frac{2(a+b+c)+27}{\sqrt{a+b+c}}\geq 15$

BĐT cuối hiển nhiên đúng vì đặt: $\sqrt{a+b+c}=t,t-3\geq 0$ ta được: $\frac{2t^2+27}{t}\geq 15\Leftrightarrow (2t-9)(t-3)\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi a=1;b=3;c=5.

t chỉ >=3 thôi nên 2t-9 chưa chắc đã >=0 đâu nên (2t-9)(t-3) chưa chắc đã >=0 đâu bạn!

Xét số dư to như vậy làm gì hở bạn? Phải có cách không dùng đến sức khỏe nhiều chứ!

-Bài 7 thì bạn tự chứng minh bổ đề sau: Số chính phương chia cho 5 chỉ dư 0;1;4 nhé!

Bài 5:
. Xét số dư cho 4 để cm n chẵn rồi cm tiếp n chia hết cho 4
. Xét số dư cho 3 để cm n chia hết cho 3
Vì(2,3,4)=1 =>n chia hết cho 2.3.4=24
Vậy n chia hết cho 24

 Bài này sai rồi vì n chia hết cho 4 chia hết và chỗ chia hết cho 3 nên n chỉ chia hết cho 12. Mà còn cái chỗ Vì(2,3,4)=1 =>n chia hết cho 2.3.4=24 sai vì (2,3)=1; (3,4)=1; (2;4)=1 thì mới suy ra được mà điều trên sai.

-Bài 3: -Ta có:+) N=1.3.5.7.......2007.
=> N chia hết cho 3.
=> 2.N-1 chia cho 3 dư 2. Mà số chính phương chia 3 không bao giời dư 2( Bạn tự chứng minh).
=> 2.N-1 không phải là số chính phương. (1)
+) 2.N=2.3.5.7.......2007.
=>2N chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.
=>2N không phải là số chính phương ( Số chính phương chẵn luôn chia hết cho 4). (2)
+) 2N+1 lẻ và 2N không chia hết cho 4 nên 2N không chia hết cho 8.
=> 2N+1 chia cho 8 không dư 1.
=> 2N+1 không phải là số chính phương. (Do số chính phương lẻ chia cho 8 chỉ dư 1). (3)
-Từ (1);(2);(3) => đpcm.
P/S: Bài trên bạn cần sử dụng các bổ đề sau:
+ Số chính phương chia cho 3 không dư 2.
+Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4.
+Số chính phương lẻ chia cho 8 chỉ dư 1.
(Các bổ đề trên bạn tự chứng minh nhé!)

-Bài 6: +Ta có: 2n+1 và 3n+1 là số chính phương.
+Áp dụng bài 7, suy ra n chia hết cho 40. Mà n là số có 2 chữ số.
=> n=40 hoặc n=80.
+Trường hợp n=80 thì loại do 2.80+1 không phải là số chính phương.
Vậy n=40 thoả mãn đề bài.

-Bài 7: -Do 2n+1 là số chính phương lẻ nên 2n+1 chia cho 8 dư 1.
=> n chia hết cho 4. => 3n+1 cũng là một số chính phương lẻ(Do 3n+1 là số chính phương).
=> 3n+1 chia cho 8 dư 1. => 3n chia hết cho 8.
=> n chia hết cho 8( Do (3,8)=1). (1)
-Ta có: 2n+1 và 3n+1 là hai đô chính phương. +Nếu n chia cho 5 dư 4=> 3n+1 chia cho 5 dư 3. => Loại do số chính phương chia cho 5 chỉ dư 0;1;4. +Nếu n chia cho 5 dư 3=> 2n+1 chia cho 5 dư 2. => Loại.
+Nếu n chia cho 5 dư 2=> 3n+1 chia cho 5 dư 2. => Loại.
+Nếu n chia cho 5 dư 1=> 2n+1 chia cho 5 dư 3. => Loại.
-Từ 4 điều trên và n có tồn tại => n chia hết cho 5. (2)
-Từ (1);(2) => n chia hết cho 8.5= 40.( Do (8,5)=1).
Vậy đpcm.

-Kẻ BH vuông góc với AM; CK vuông góc với AM(H,K thuộc AM). => BHCK là hình bình hành
=> BH= CK; M là trung điểm của BC nên cũng là trung điểm của HK.
-Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHB vuông tại H; tam giác BHM vuông tại H; tam giác AKC vuông tại K, ta có: AH^2+ BH^2=AB^2.
BH^2+HM^2=BM^2.
AK^2+KC^2=AC^2.
-Từ các điều ở trên ta có : BH^2+HM^2= (BC/2)^2.
=> 4.BH^2+4.HM^2 =BC^2.
=> 2.BH^2= (BC^2)/2 -2.HM^2.
=> 2.BH^2+4.HM^2= 2.HM^2+ (BC^2)/2.
=> 2.BH^2+2.AH^2 +4.HM^2+ 4.AH.HM= 2.AH^2+ 2.HM^2+ 4.AH.HM+ (BC/2)^2.
=> BH^2+CK^2+ AH^2+( AH^2+4.HM^2+ 4.AH.HM) =2.(AH^2+ HM^2+2.AH.HM) +(BC/2)^2.
=> BH^2+ AH^2+ CK^2+(AH^2+ HK^2+ 2.AH.HK) = 2.AM^2+ (BC/2)^2.
=> AB^2+ (CK^2+ AK^2)= 2.AM^2 + (BC/2)^2.
=> AB^2+AC^2= 2.AM^2 + (BC/2)^2 (đpcm).

b): -Kéo dài EK cắt đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ B tại Q.

-Chứng minh được: AB=AE=BQ. Mà theo phần a), ta có: BA=BH => BH=BQ.

=> tam giác BHK= tam giác BQK( cạnh huyền- cạnh góc vuông).

=> góc HBK= góc QBK. Mà theo phần a), ta có: góc ABD= góc DBH.

=> góc DBK= 1/2.góc ABD. Mà góc ABD= 90 độ.

=> góc DBK=45 độ.(đpcm)

I là điểm nào vậy?

I ở đề bài trên là giao điểm của BN với CM. Đề bài ghi thiếu chữ I.

-Cách 2: -Kẻ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với AC( H thuộc AB và K thuộc AC).

-Ta có: tam giác AHM= tam giác AKM( cạnh huyền-góc nhọn).

=> HM=MK. => tam giác BHM= tam giác CKM( cạnh huyền-cạnh góc vuông).

=> góc HBM= góc KCM. => tam giác ABC cân tại A.(đpcm)

 -Ta có: a³-a= a.(a-1).(a+1) (với a thuộc Z). Mà a.(a-1).(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a.(a-1).(a+1) chia hết cho 3.

 => a³-a chia hết cho 3.

-Chứng minh tương tự ta có b^3-b chia hết cho 3 và c^3-c chia hết cho 3 với mọi b,c thuộc Z.

=> a³+b³+c³ -(a+b+c) luôn chia hết cho 3 với mọi a,b,c thuộc Z.

=> nếu  a³+b³+c³ chia hết cho 3 thì a+b+c chia hết cho 3 và điều ngược lại cũng đúng.

Vậy đpcm.