Câu 5 : (1 điểm)
Các số thực $x,y,z$ thỏa mãn :
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}\\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$$
CHứng minh rằng $x=y=z$
----------------
Trước hết ta chứng minh Bổ đề sau:
Với $a,b>0$ và $a<b$ cho trước. Khi đó $$\sqrt{x+a}+\sqrt{y+b}\geq \sqrt{x+b}+\sqrt{y+a}\Leftrightarrow x\geq y.$$
Thậy vậy: Bình phương hai về ta được BĐT tương đương
$$\sqrt{(x+a)(y+b)}\geq \sqrt{(x+b)(y+a)}\Leftrightarrow (x-y)(b-a)\geq 0.$$
Trở lại bài toán ta đặt $n=2011$ và không mất tính tổng quát ta giả sử $x\geq y$.
Khi đó theo Bổ đề trên ta được\\ $\sqrt{x+n}+\sqrt{y+n+1}\geq \sqrt{x+n+1}+\sqrt{y+n}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+n}+\sqrt{y+n+1}+\sqrt{z+n+2}\geq \sqrt{x+n+1}+\sqrt{y+n}+\sqrt{z+n+2}$
Theo giả thiết
$\Rightarrow \sqrt{y+n}+\sqrt{z+n+1}+\sqrt{x+n+2}\geq \sqrt{x+n+1}+\sqrt{y+n}+\sqrt{z+n+2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{z+n+1}+\sqrt{x+n+2}\geq \sqrt{x+n+1}+\sqrt{z+n+2}$
$\Leftrightarrow z\geq x$
$\Leftrightarrow \sqrt{z+n}+\sqrt{x+n+1}\geq \sqrt{z+n+1}+\sqrt{x+n}$
$\Leftrightarrow \sqrt{z+n}+\sqrt{x+n+1}+\sqrt{y+n+2}\geq \sqrt{z+n+1}+\sqrt{x+n}+\sqrt{y+n+2}$
Để ý giả thiết ta suy ra
$\sqrt{y+n}+\sqrt{z+n+1}+\sqrt{x+n+2}\geq \sqrt{z+n+1}+\sqrt{x+n}+\sqrt{y+n+2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{y+n}+\sqrt{x+n+2}\geq \sqrt{x+n}+\sqrt{y+n+2}$
$y\geq x$.
Do đó $x=y$, thay vào điều kiện ta có $\sqrt{x+n}+\sqrt{z+n+1}= \sqrt{x+n+1}+\sqrt{z+n}\Leftrightarrow x=z$.
Bài toán được chứng minh.