Cho $a , b , c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh :

$\sum a\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 3+\sum \frac{a^{2}}{bc}$

Bài này tôi đưa về một bất đẳng thức lượng giác góc tam giác .
Mong rằng các bạn góp thêm cách giải khác .

Cho a , b , c là các số dương . CMR : 

$\sum \frac{a}{b+c\sqrt{2}}\geq \frac{3}{1+\sqrt{2}}$

Bài này tôi dùng BĐT B-C-S . Các bạn cho thêm lời giải dùng bđt Cô-si giúp .

Chuẩn hóa $a+b+c=3$
Giả thiết không có cho a + b + c = 3 , bạn ạ !
 
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có
 

$\frac{a}{b+c\sqrt{2}}+\frac{a\left(b+c\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2} \geq \frac{2a}{1+\sqrt{2}}$

 

$\frac{b}{c+a\sqrt{2}}+\frac{b\left(c+a\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2} \geq \frac{2b}{1+\sqrt{2}}$

 

$\frac{c}{a+b\sqrt{2}}+\frac{c\left(a+b\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)^2} \geq \frac{2c}{1+\sqrt{2}}$

 

Suy ra

$\frac{a}{b+c\sqrt{2}}+\frac{b}{c+a\sqrt{2}}+\frac{c}{a+b\sqrt{2}} \geq \frac{2(a+b+c)}{1+\sqrt{2}}-\frac{ab+bc+ca}{1+\sqrt{2}} \geq \frac{3}{1+\sqrt{2}}$

 

Do  $9=(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

Một cách giải :
Dùng định lý hàm COS , biến đổi tương đương BĐT đã cho về BĐT : cosA + cosB + cosC <= 3/2

Còn cách nào khác không , bạn Phuc _90 ?
Tôi nghĩ mãi dùng CAUCHY không chuẩn hóa !
Bạn có thể giải giúp một bài BĐT liên quan cạnh tam giác tôi đã post trong topic này ?

Cho a , b , c là các số dương thỏa : a + b + c $\leq$ 1 . 

$ Tìm  GTNN  của   T = \sum \frac{1}{a^{2}+bc}$

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số sao cho chữ số 6 có mặt đúng hai lần , các chữ số 2 và 5 có mặt đúng một lần , hai chữ số còn lại có tổng chia hết cho 3 ? 

Một nhóm có 5 người , với 5 tên khác nhau . Mỗi người viết tên của một người khác trong nhóm một cách ngẫu nhiên vào giấy . Tính xác suất để có hai người trong nhóm viết tên của nhau .

Một nhóm có 5 người , với 5 tên khác nhau . Mỗi người viết tên của một người khác trong nhóm một cách ngẫu nhiên vào giấy . Tính xác suất để có hai người trong nhóm viết tên của nhau .

...hợp lý không?...
$P(A)=\frac{C_{5}^{2}}{4^{5}}$

Còn 4 người còn lại thì sao ?

Có 4 nam và 3 nữ khác nhau ngồi vào 7 ghế theo hàng ngang . Tính xác suất sao cho không có hai người nữ nào ngồi cạnh nhau .

Đấp số : 1440 cách ?

Gọi $M$ là biến cố cần tính xác suất.
Trước hết ta tính $n(\overline{M})$ :
+ Nếu 2 người đẹp ngồi cạnh nhau, người đẹp thứ ba bị "cô lập" :
   Chọn 3 ghế không liên tiếp, trong đó có 2 ghế cạnh nhau : $20$ cách.
   Xếp $3$ "nàng" vào $3$ ghế vừa chọn : $3!=6$ cách.
   Xếp $4$ "chàng" vào $4$ ghế còn lại : $4!=24$ cách.
+ Nếu 3 người đẹp ngồi 3 ghế liên tiếp :
   Chọn $3$ ghế liên tiếp : $5$ cách.
   Xếp $3$ "nàng" vào $3$ ghế vừa chọn : $3!=6$ cách.
   Xếp $4$ "chàng" vào $4$ ghế còn lại : $4!=24$ cách.
 
$\Rightarrow n(\overline{M})=20.3!4!+5.3!4!=25.3!4!=3600$
$\Rightarrow P(M)=\frac{n(M)}{7!}=\frac{7!-n(\overline{M})}{7!}=\frac{1440}{7!}=\frac{2}{7}$

Chính xác . Cảm ơn ChanhQuocNghiem
Có thể giải không dùng biến cố đối với số kết quả thuận lợi 1440 ?

Cho a , b , c không âm và a + b + c = 4 . Tìm GTNN  của  $P=\sum \sqrt{2a+1}$

Giải phương trình :  $x^{3} - 8x - 1 = 2\sqrt{10 - x^{2}}$

Giải phương trình : $x^{4} + 2x^{3} - 9x^{2} - 14x + 13 = 0$

Giải phương trình : $(2x+5)(\sqrt{10-x^{2}}+3)(\sqrt{10-x^{2}}+1)=3-2x-x^{2}$

Giải phương trình :  $x^{3}-x^{2}-7x +13 =3\sqrt{5-x^{2}}$

Từ ĐK : $\sqrt{5}\geq x \geq- \sqrt{5}$
$\Rightarrow \sqrt{5-x^{2}}+3-x > 0$
Phương trình đã cho biến đổi thành:
$x^{3}-x^{2}-4x+4=3(\sqrt{5-x^{2}}-(-x+3)$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-1)(\frac{3}{\sqrt{5-x^{2}}+(-x+3)}+x+2)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=2$

Từ ĐK : $\sqrt{5}\geq x \geq- \sqrt{5}$
$\Rightarrow \sqrt{5-x^{2}}+3-x > 0$
Phương trình đã cho biến đổi thành:
$x^{3}-x^{2}-4x+4=3(\sqrt{5-x^{2}}-(-x+3)$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-1)(\frac{3}{\sqrt{5-x^{2}}+(-x+3)}+x+2)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=2$

Cần làm rõ thêm biểu thữc trong ngoặc luôn dương .

$Cho a > 0 , b > 0 , c > 0 và a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3 .
Tìm GTLN của S=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+5(a+b+c)$

Cho $ a > 0 , b > 0 , c > 0 , 2\left (a^{2} +b^{2} +c^{2}\right )+5\left ( a+b+c \right )=21 $ . Tìm GTNN của  $P = a^{3}+b^{3}+c^{3}$