Chọn 4 số từ 500 số tự nhiên đầu tiên . Tính xác suất để 4 số được chọn tạo thành một cấp số cộng .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A , $AB=a\sqrt{2},AC=a\sqrt{5}$ . Hính chiếu H của đỉnh S tên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC . Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng $60^{0}$ . Tính thề tích của khối chóp S.ABC . 

1) CHỨNG MINH : I , D , K thẳng hàng .

2) Chứng tỏ tứ giác BICK nội tiếp . 

Cho (O) và hai điểm B , C cố định . Cho A là điểm di động trên (O) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Kẻ dường thẳng qua A và vuông góc với BC tại D , cắt (O) tại M . Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC . Tìm vị trí điểm A sao cho IK có độ dài lớn nhất .

3) So sánh IK với BC
IK dài nhất khi gần tâm W (của đường tròn (BCIK) ) hơn BC . Từ đó suy ra vị trí của A .

a/Tính các số với ràng buộc $a\leq b\leq c\leq d= e$: có $C_{12}^{4}$ số
$\rightarrow$Có $C_{13}^{5}-C_{12}^{4}=1287-495=792\text{ số}$
b/ Tính các số với ràng buộc $a\leq b=c\leq d\leq e$:có $C_{12}^{4}=495$
Tính các số với ràng buộc $a\leq b=c\leq d= e$:có $C_{11}^{3}=165$
$\rightarrow$Có $495-165=330\text{ số}$
c/ Có $C_{13}^{5}=1287\text{ số}$

Tại sao n = 13 vậy @dottoantap ?

Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 6 chữ số 2,3,4,5,6,8 sao cho hai chữ số lẻ không đứng liền nhau ?

Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi một được lập từ 7 chữ số 0,2,3,4,5,6,8 sao cho hai chữ số lẻ không đứng liền nhau ?

Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số mà chia hết cho 6 được lấy ra từ các số 1,2,3,4,6,7 ?      

Bài 4. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ta có lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà luôn có mặt nhiều hơn 1 chữ số lẻ và đồng thời trong đó hai chữ số kề nhau  khôngcùng là số lẻ ?     

Cho a , b là các số thực thoả 3(a^2 + b^2) = 2ab + 1 . Tìm GTNN của P = ab .

$2ab+1=\left 3[ \left ( a+b^{2} \right ) \right-2ab ]\Rightarrow 2ab+1\geq-6ab\Rightarrow ab\geq -\frac{1}{8} \rightarrow min\left ( ab \right )=-\frac{1}{8}\Leftrightarrow a=-b=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;0;0) , B(0:2;0) , C(0;0;3) và I(4;2;2) . Một mặt cầu (S) luôn qua A,B,C và đồng thời cắt 3 tia Ox , Oy , Oz lần lươt tại 3 điểm phân biệt M , N , P . Gọi H là trực tâm tam giác MNP . Tìm GTNN của HI .

Có cách nào tìm nhanh tọa độ các giao điểm thứ hai M,N,P của mặt cầu (S) với các tia Ox , Oy , Oz không ?

ĐÁP SỐ : HI nhỏ nhất khi H(1;2;3)

Các bước giải :
1). Viết phương trình trục (d) của vòng tròn (ABC) . Suy ra toạ độ tham số t của tâm I mặt cầu (S) .
2). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I , bán kính R = IA .
3). Tìm toạ độ các giao điểm M, N , P ( khác A,B,C ) tương ứng của (S) với các trục tia Ox , Oy , Oz ( theo tham số t ) .
4). Viết phương trình mp ( ABC) . Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của gốc toạ độ O lên mp(ABC) .
5). Tính HI theo t và tìm t đế HI nhỏ nhất ( t = -23/12) . Suy ra min HI = sqrt(10) .
CÁC BẠN CỤ THỂ TÍNH TOÁN nhé !
PS: Ai có lời giải nào HAY xin chỉ giáo .

Bài này có thể dùng phương pháp tiếp tuyến .

Bạn áp dụng bđt Cauchy-Schwarz cho 3 số :$P\geq \frac{9}{27-5(a^2+b^2+c^2)}=\frac{9}{27-15}=\frac{3}{4}$
Dấu = xảy ra $a= b= c= 1$

Mẫu số có thể âm , bạn ạ !

Cho a , b , c là ba số dương thỏa : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN của biểu thức : 

$P=\frac{1}{9-5a^{2}}+\frac{1}{9-5b^{2}}+\frac{1}{9-5c^{2}}$

Ta viết lại

   P = $(x^{2}+y^{2})[(x^{2}+y^{2})^{2}-3x^{2}y^{2})]$

Theo giả thiết $x^{2}+y^{2}=\frac{2xy+1}{3}$

Vì vậy: P viết được về theo biến t = xy

   $P=\frac{2t+1}{3}.(\frac{(2t+1)^{2}}{9}-3t^{2})$

Biến t thuộc đoạn [-1/8, 1/4]

Nhận thấy P là "hàm bậc 3" nên việc tìm Max,min trên đoạn là việc thực hiện được

Vì sao t thuộc đoạn [-1/8;1/4] ? 

$2xy+1=3\left [ \left ( x+y^{2} \right ) \right-2xy ]$

$\Rightarrow xy\geq -\frac{1}{8}$

$2xy+1=3\left (x ^{2} +y^{2}\right )\geq 6xy$

$\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

Cho x , y là các số thực thỏa $3\left ( x^{2}+y^{2} \right )=2xy+1$ . Tìm GTNN của $P=x^{6}+y^{6}$

CM : $x^{3}\geq \frac{2}{3}x^{2}+\frac{5}{3}x - \frac{4}{3} \forall x>0$

Cho x = a  x = b , x = c ta duoc 3 BDT . Cong ve theo ve 3 BDT suy ra : $P=a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3$

minP = 3 ( a = b = c = 1)

Cho $ a > 0 , b > 0 , c > 0 , 2\left (a^{2} +b^{2} +c^{2}\right )+5\left ( a+b+c \right )=21 $ . Tìm GTNN của  $P = a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Tung đồng thời hai con xúc sắc khác màu . Có bao nhiêu khả năng xuất hiện ít nhất mặt có số chấm là 5 hoặc 6 trên hai con xúc sắc ? 

Gọi $X$ là  hs của lớp, $T,L,H$ lần lượt là học sinh giải được bài thứ nhất, thứ hai và thứ ba.

Ta có: $\left | T\cap L\cap H \right |=\oslash$

$\Rightarrow X=\left | T\cup L\cup H \right |=\left | T \right |+\left | L \right |+\left | H \right |-\left | T\cap L \right |-\left | T\cap H \right |-\left | L\cap H \right |+\left | T\cap L\cap H \right |= 28$

Đề bài không hợp lý : chỉ có 10 học sinh giải bài 3 ; trong khi có 6 học sinh giải bài 1 và 3 , 5 học sinh giải bài 2 và 3 !