a)- Tam giác FCD= tam giác EBC (c.g.c) => góc FDC= góc BEC => EC vuông góc với FD.

-Lấy Q là trung điểm của CD. 

-Ta có: AE=QC; AE//QC => AECQ là hình bình hành => EC//AQ; EC vuông góc với DF.

=> AQ vuông góc với DM (1).

-Lại có: tam giác DMC vuông tại M có Q là trung điểm của DC => DQ=DM (2).

-Từ (1);(2) => A thuộc đường trung trực của DM => tam giác ADM cân tại A.

 

b)-Ta có: (DC/CF)^2= (DM.DF)/(MF.DF)= DF/MF= 1/4.

=> DM/DF= 4/5= S(DMC)/S(DFC) (3).

-Ta lại có: S(DFC)= DC.CF/2 =(a/2)^2 (4).

-Từ (3);(4) => S(DMC)= S(DFC).4/5= (a^2)/4. 4/5= (a^2)/5.

Cho tam giác đều ABC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua đường thẳng AC. Trên tia BC lấy M sao cho $BM=\frac{4}{3}.BC$. Đường thẳng AM cắt CD tại N. Trên các đoạn thẳng AB, AD  lấy các điểm E, F theo thứ tự sao cho CE // NF. Tình số đo góc EOF trong đó O là trung điểm AC

-Chứng minh được: ABCD là hình thoi có góc ABC= 60 độ và B;O;D thẳng hàng.

-Ta lại có: +)Do AD//CM => DN/CN= AD/CM= BC/CM= 3.

    => DN= 3/4.CD=3/4.BC (Do ABCD là hình thoi).

    => DN.BC = 3/4.BC^2 = BO^2 = BO.OD (1) (Do tam giác BOC vuông tại O và có góc BCO= 60 độ nên BC^2=4.OC^2 => BO^2= 3/4.BC^2).

-Gọi FN cắt BC tại P.

-Ta có: góc DFN= góc NPC= góc ECB (Do FD//BC và FN//CE) và góc EBC= góc FDN (=60 độ).

   => tam giác FDN đồng dạng với tam giác CBE (g.g)  => FD/DN= CB/BE  => DN.BC= FD.BE (2).

   -Từ (1);(2) => BO.OD= FD.BE => FD/DO= BO/BE.

   -Mà góc FDO= góc EBO (Do ABCD là hình thoi).

-Từ 2 điều trên => tam giác FDO đồng dạng với tam giác OBE (c.g.c)

                        => góc DFO= góc EOB   => góc EOB+ góc FOD= góc DFO+ góc FOD= 180 đô- góc FDO= 150 độ.

                        => góc FOE= 180 độ- ( góc EOB+ góc FOD)= 180 độ- 150 độ= 30 độ.

-Vậy góc FOE= 30 độ.

Cho $\Delta ABC(AB>BC)$ từ M trên AB kẻ Mx//BC cắt AB tại N, từ C kẻ Cy//AB cắt Mx tại P. AC cắt BP tại O.

a,XĐ M để BP là tia phân giác của $\widehat {B}$

b,CMR nếu M là trung điểm của AB thì CO=2ON

c,Với M bất kì trên AB. CMR $OC^2=ON.OA$

a)- Chứng minh được MBCP là hình bình hành.

-Để BP là phân giác của góc B thì BCPM là hình thoi  => BM=BC.

b)- Vì MPCB là hình bình hành => MP= BC.

-Vì MN là đường trung bình của tam giác BAC => MN= BC/2.

-Từ 2 điều trên => NP= BC/2.

-Vì NP//BC => NP/BC =ON/OC= 1/2    => 2ON=OC.

c) -Vì BC//NP => OC/ON= BO/OP (1).

-Vì CP//BA => BO/OP= OA/OC (2).

-Từ (1);(2) => OC/ON=  OA/OC  => OA.ON= OC^2 (đpcm).

Cho tam giác vuông cân MAB (MA=MB) và 1 điểm I nằm trong tam giác này, biết rằng:

$\frac{IA}{1}=\frac{IM}{2}=\frac{IB}{3}$. tính số đo góc MIA. 

-Đặt IA=a => IM=2a; IB=3a.

-Kẻ tam giác IMH vuông cân tại M (H thuộc nửa mặt phẳng bờ BM không chứa A).

-Ta có: tam giác MHB= tam giác MIA (c.g.c) (1) => HB= IA= a  => HB^2=a^2.

-Và có do tam giác IMH vuông cân tại M nên IH^2= 2.MI^2= 8.a^2.

-Tam giác HBI có: HB^2+ IH^2= 9.a^2= IB^2.

=> tam giác IHB vuông tại H  => góc MHB= 135 độ.

-Mà góc MIA= góc MHB (theo (1))   => góc MIA= 135 độ.

 

CHo hình vuông ABCD.M là 1 điểm không đổi trên BC. Qua A kẻ Ax vuông góc với AM, Ax cắt CD tại N, đường trung tuyến AI của $\Delta AMN$ cắt CD ở K. ĐƯỜng thẳng qua M song song với AB cắt AI ở G.CMR:

 B,I,D thẳng hàng

 

-Ta có; tam giác NAD= tam giác MAB (g.c.g) => AN=AM và AN vuông góc với AM.

-Và có: I là trung điểm của MN =>AI=IM=IN (1).

-Vì tam giác NCM vuông tại C có I là trung điểm của MN => MI=IN=IC (2).

-Từ (1);(2) => AI=IC => I thuộc đường trung trực của AC => D;I;B thẳng hàng. 

Cho tứ giác ABCD

$E\epsilon AB$

$G\epsilon DC$

Biết EG//AD

$EG \cap AC=F$

$EG\cap BD=H$

Chứng minh rằng: $\frac{EF}{HG}=\frac{S(BCFE)}{S(BCGH)}$

-Kẻ \[BI//EG;BI \cap AC = \left\{ K \right\}\].

-Vì \[EF//BK =  > \frac{{EF}}{{BK}} = \frac{{AE}}{{AB}}\].

-Vì \[AD//EG//BI =  > \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{DG}}{{DI}}\].

-Vì \[GH//BI =  > \frac{{DG}}{{DI}} = \frac{{HG}}{{BI}}\].

=> \[\frac{{FE}}{{HG}} = \frac{{BK}}{{BI}}\] (1).

-Vì \[BI//AD =  > S(ABK) = S(DBK) =  > \frac{{S(ABK)}}{{S(DBI)}} = \frac{{S(DBK)}}{{S(DBI)}} = \frac{{BK}}{{BI}}\].

-Và có: \[\frac{{S(BKC)}}{{S(BIC)}} = \frac{{BK}}{{BI}} = \frac{{S(ABK)}}{{S(DBI)}} = \frac{{S(BKC) + S(ABK)}}{{S(BIC) + S(DBI)}} = \frac{{S(ABC)}}{{S(DBC)}}\] (2).

-Từ (1);(2) => \[\frac{{FE}}{{HG}} = \frac{{S(ABC)}}{{S(DBC)}}\].

-Ta lại có: \[\frac{{FE}}{{HG}} = \frac{{S(AFE)}}{{S(DHG)}} = \frac{{S(ABC)}}{{S(DBC)}} = \frac{{S(ABC) - S({\rm{AF}}E)}}{{S(DBC) - S(DHG)}} = \frac{{S(FEBC)}}{{S(HBCG)}}\].

 Vậy đpcm.

-Chứng minh được: \[{a^2} + {b^2} = 5{c^2}\].

-Ta lại có: \[{(\frac{{a + b}}{c})^2} \le \frac{{2({a^2} + {b^2})}}{{{c^2}}} = 10 =  > \frac{{a + b}}{c} \le \sqrt {10} \].

=> Max  \[\frac{{a + b}}{c}\] là \[\sqrt {10} \].

-Dấu = xảy ra <=> a=b.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại F; AD cắt BC tại E. CMR: EF² =EA.ED+ FC.FD.

 

Cho $\Delta ABC$ cân tại A có $\widehat{A}=40^{\circ}$ đường cao AH. Trên AH, AC lần lượt lấy E và F sao cho $\widehat{ABE}=\widehat{CBF}=30^{\circ}$.

CMR: AE=AF

-Kẻ tam giác ABM đều (M trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C).

-Chứng minh được: +Tam giác AFB cân tại F; tam giác ABM đều => \[AMF = BMF(c.c.c) =  > \widehat {AMF} = \widehat {BMF} = {30^ \circ } =  > MAF = BAE(g.c.g) =  > AF = AE.\]

Bài 1 : Cho tam giác ABC, vẽ đường cao AH. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AB,AC. vẽ MI, NK vuông góc với BC ( I, K thuộc BC) Chứng minh MI = NK, IK = $\frac{1}{2}$ BC

-Dựa vào tính chất đường trung bình, ta có: \[MI = \frac{{AH}}{2} = NK\]; MI//NK => MIKN là hình bình hành => IK=MN=\[\frac{{BC}}{2}\].

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $E,F$ là chân đường vuông góc hạ từ $H$ đến $AB$, $AC$. Chứng minh rằng: $\sqrt[3]{BE^{2}}+\sqrt[3]{CF^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}$.

-Ta chứng minh được: \[BE.BA = B{H^2} =  > B{E^2} = \frac{{B{H^4}}}{{B{A^2}}} = \frac{{B{H^4}}}{{BH.BC}} = \frac{{B{H^3}}}{{BC}} =  > \sqrt[3]{{B{E^2}}} =\frac{{BH}}{{\sqrt[3]{{B{C^2}}}}}\].

-Tương tự, ta có: \[\sqrt[3]{{C{F^2}}} = \frac{{CH}}{{\sqrt[3]{{B{C^2}}}}}\].

=> \[\sqrt[3]{{C{F^2}}} + \sqrt[3]{{B{E^2}}} = \frac{{CH + BH}}{{\sqrt[3]{{BC}}}} = \sqrt[3]{{B{C^2}}}\].

Cho tam giác ABC. E và F là trung điểm của AB và  AC. Trên tia đối của tia FB lấy P sao cho PE = BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE = CE

a) Chứng minh AP = AQ

b) Chứng minh rằng ba điểm A : P ; Q thẳng hàng 

c) Chứng minh PQ song song với AC

                         CP song song với AB

d) Gọi R là giao điểm của PC và BQ chứng minh chu vi tam giác PQR = 2 lần chu vi tam giác ABC 

e) Chứng minh 3 đường AR; CQ ; BP đồng quy

-Bạn ơi, đề bài sai rồi. Phải là Trên tia đối tia FB lấy P sao cho FB=FP và đề bài phần c) chỗ PQ// AC cũng sai nữa kìa!

Đề bài: Cho tam giác ABC, lấy điểm E và F thuộc BC sao cho góc BAE bằng góc FAC. Từ A kẻ phân giác AD của góc EAF ( D thuộc BC). Chứng minh: $\frac{BE}{CE}.\frac{BF}{CF}=\frac{AB^{2}}{AC^{2}}$

-Kẻ EH vuông góc với AB; FK vuông góc với AB; FM vuông góc với AC; EN vuông góc với AC (H;K thuộc AB và M;N thuộc AC).

Từ D kẻ DI vuông góc với AB; DG vuông góc với AC (I thuộc AB; G thuộc AC).

-Vì HE//DI => BE/BD= HE/ID (1).

-Vì MF//DG => CF/CD= FM/DG (2).

-Từ (1);(2) => BE/CF. CD/BD= HE/ID :FM/DG= HE/FM (Do DI=DG) (3).

-Tam giác HAE đồng dạng với tam giác MAF (g.g) => HE/MF =AE/AF (4).

-Từ (3);(4) => BE/CF. CD/BD= AE/AF (5).

-Vì DI//KF => BD/BF= DI/KF (6).

-Vì DG//EN => CD/CE= DG/EN (7).

-Từ (6);(7) =>CD/CE :BD/BF= BF/CE. CD/BD= DG/EN: DI/KF= KF/EN (8).

-Tam giác KAF đồng dạng với tam giác NAE (g.g) => KF/FEN= AF/AE (9).

-Từ (8);(9) => BF/CE. CD/BD= AF/AE (10).

-Lấy (5) nhân với (10), ta có: BE/CF. CD/BD. BF/CE. CD/BD= AE/AF. AF/AE= 1.

=> BE/CE.  BF/CF. (CD/BD)^2= 1. Vì AD là phân giác của góc BAC => CD/BD= AC/AB => (CD/BD)^2= (AC/AB)^2.

-Từ 2 điều trên => BE/CE. BF/CF. (AC/AB)^2= 1.

=> BE/CE. BF/CF= (AB/AC)^2 (đpcm).

-Lấy H trên tia đối tia DC sao cho HD=BM.
-Ta có: tam giác ADH=tam giác ABM (c.g.c).
=> AH=AM; góc HAD= góc MAB.
=> tam giác HAM vuông cân tại A có AN là phân giác góc HAM.
=> HN= MN= HD+DN= BM+DN.
=> P(MCN) =MC+CN+MN= DN+BM+NC+MC= DC+BC= 2.AB.
Vậy đpcm.

-Đặt x^4+ a.x^2+b= (x^2-x+1).(x^2+ cx+d).
=> x^4+ a.x^2+b =x^4+ (c-1).x^3+ (1-c+d).x^2 +(c-d).x +d.
-Đồng nhất hai đa thức trên, ta có: +)c-1=0.
+)1-c+d= a.
+) c-d=0.
+) d=b.
=> c=d=1=b. => a=1-c+d =1-1+1=1.
Vậy a=1; b=1.

-Giả sử CD>AB. Kẻ BE// AD( E thuộc CD).
-Ta có: ABED là hình bình hành=> AD=BE;AB=ED. Do AB<CD=> |AB-CD| =CD-AB=CD-ED=CE.
-Áp dụng BĐT trong tam giác CBE ta có BE+BC>CE.
Suy ra AD+BC> |AB-CD|.
-Vậy |AB-CD|<AD+BC.

-Kẻ tam giác vuông cân ANK( K nằm khác phía A so với MN).
- Ta có: tam giác KNM= tam giác ANP(c.g.c) => góc MKN= góc PAN và KM=AP.(*) Và có KA^2= 2.AN^2( do tam giác KNA vuông cân tại N)(1).
-Từ (1) và gt => AM^2=MK^2+ KA^2.
-Theo định lý pytago đảo ta suy ra tam giác MKA vuông tại K. Mà góc AKN=45 độ.
=> góc MKN=135 độ. Mà góc MKN= góc PAN( theo (*)) => góc PAN=135 độ.
Vậy góc PAN= 135 độ.

Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ MN vuông góc với ED( N thuộc ED).(*)
- Tam giác BEC vuông tại E có M là trung điểm của BC nên suy ra EM=MC=MB. -Tam giác BDC vuông tại D có M là trung điểm của BC=> DM= MC=MB.
-Từ 2 điều trên suy ra EM=MD.(1)
- Hình thang HBCD có M là trung điểm của BC; MN//BH//CK; N thuộc HK => N là trung điểm của HK=> HN=ND(2).
-Từ (1); (*) => EN=ND.(3)
-Từ (3) và (2)=> HN-EN=NK-ND=> HE=DK. Vậy đpcm.

-Lấy I là trung điểm của AD; K là trung điểm của BD.
-Tam giác ABD có MK là đường trung bình.
=> MK=1/2.AD; MK// AD.(1)
-Tam giác AED vuông tại E có I là trung điểm của AD. => EI=1/2.AD=AI=ID.
=> EI=1/2.AD; góc DIE=2.góc DAE.(2)
-Tam giác ABD có MI là đường trung bình=> MI//BD; MI=1/2.BD.(3)
-Tam giác BFD vuông tại F có K là trung điểm của nên KF=BK=KD=1/2.BD.
=>KF=1/2.BD; góc DKF=2.góc DBF.(4)
-Từ (1);(2);(3);(4) kết hợp với điều kiện góc DBF= góc FAD. => MIDK là hình bình hành
và MK=EI; MI=KF; góc DIE= góc DKF.
=> góc MID= góc MKD(Do MIDK là hình bình hành); góc DIF=góc DKF; MK=IE; MI=KF.
=> góc MKF=góc MIE; MI=KF; MK=IF.
=> tam giác MKF=tam giác EIM(c.g.c).
=> ME=MF.
Vậy đpcm.

-Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
-Ta có: OD vuông góc với BC(D thuộc BC).
-Kẻ OH vuông góc với AB; OK vuông góc với AC(H thuộc AB;K thuộc AC).
-Dễ thấy:(AH+BH)^2+ (AK+KC)^2= (BD+DC)^2.
=> AH^2+2.AH.BH+2.AK.KC+AK^2+BH^2+CK^2=BD^2+DC^2+2.BD.DC.
-Mà BH=BD; CD=CK; AH=AK=> AH^2+AH.BH+AK.KC=BD.DC.
=> S(AHOK)+BH.HO+CK.KO=BD.DC(Do HO=AH=OK=OD=AK). -- -Mà BH.HO=2.S(BHO)=S(BHO)+S(BDO); CK.KO=S(CDO)+S(CKO).
=> S(AHOK)+S(BHOD)+S(CDOK)=BD.DC.
=> S(ABC)= BD.DC(đpcm).

Cho $\Delta  MNQ $ có 3 góc nhọn.Các đường cao $ MD,NE,QF $ cắt nhau tại $ H.$

a)CMR $ AA',BB',CC' $ đồng quy

b)Cho $ NQ=12cm $;S_MNQ=9S_MEF.Tính S_AEF. 

-Bạn ơi, các điểm A,B,C,A',B',C'.E,F là các điểm gì vậy?

Cho tam giác ABC.Gọi I là một điểm nằm trong tam giác.IA cắt BC tại M, IB cắt AC tại N, IC cắt AB tạ P.Chứng minh rằng :

$\frac{PA}{PB}+\frac{NA}{NC}=\frac{IA}{IM}$

-Từ A kẻ đường thằng // với BC cắt PC tại H; cắt BN tại K.

-Vì HA//BC => PA/PB= HA/BC (1).

-Vì KA//BC => AN/NC= AK/BC (2).

-Từ (1);(2) => PA/PB + AN/NC= HK/BC (3).

-Vì HA//MC => AI/IM =HA/MC (4).

-Vì AK//BM => AI/IM =AK/BM (5).

-Từ (4);(5) => AI/IM =HA/MC= AK/BM= (HA+AK)/(MC+BM)= HK/BC (6).

-Từ (3);(6) => PA/PB+ AN/NC= AI/IM (=HK/BC).

 Vậy đpcm.

 1/ Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy 2 điểm A,B; trên tian Oy lấy 2 điểm C và D sao cho AB=CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. C/m MN song song với phân giác trong của góc xOy 

2/ Trong tam giác ABC, đường thẳng đi qua đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đương trung tuyến BM tại I sao cho $\frac{BI}{IM}$ = $\frac{1}{2}$. Tính tỉ số của diện tích tam giác ABK và diện tích tam giác ABC.

-Kẻ MH//AK (H thuộc BC).

-Tam giác AKC có MH là đường trung bình nên H là trung điểm của KC (1).

-Tam giác BMH có IK//MH => BI/IM= BK/KH =1/2 (Định lý Ta-lét) (2).

-Từ (1);(2) => 2BK=KH=HC.

=>BK= 1/5.BC.

=> S(ABK) =1/5.S(ABC).

-Dễ dàng chứng minh được: AM=CN=BP; AN=CP=BM.

=> tam giác MAN=tam giác PBM(c.g.c) => MN=MP.

-Chứng minh tương tự, ta có: MN=PN. Suy ra tam giác MNP đều.

-Ta có: S(MNP) min <=> MN min (Do tam giác MNP đều).

-Lấy M';N' lầm lượt là trung điểm của AB;AC.

-Ta lại có: AM+AN=AM'+AN'. => MM'=NN'. 

-Kẻ MQ//NN' (Q thuộc M'N').MN cắt M'N' tại F.

-Dễ dàng chứng minh được tam giác QMF=tam giác N'NF(g.c.g). => MF=NF.

-Kẻ MH vuông góc với M'N"; NK vuông góc với M'N' (H;K thuộc M'N').

-Ta chứng minh được tam giác MM'H= tam giác NN'K(cạnh huyền-góc nhọn). => M'H=N'K => M'N'=HK.

-Mà MN>=HK. Suy ra MN>= M'N'.

-Suy ra min MN= M'N' (Dấu "=" xảy ra khi M là trung điểm của AB còn N là trung điểm của AC).

-Vậy S(MNP) nhỏ nhất khi M;N;P lần lượt là trung điểm của AB;AC;BC.

Gọi M là giao của AB với tia phân giác góc ACE; N là giao của tia phân giác DBE. -Ta có : góc ACM+ góc CAM= góc MKB+ góc MBK ( cùng bằng góc CMB).
góc NDB+ góc NBD= góc CKN+ góc KCN( cùng bằng góc ENB).
Từ 2 điều trên suy ra: góc ACM+ góc CAM+ góc NBD+ góc NDB =2. góc CKB+ góc KCN+ góc KBM.
Mà góc ACM=góc ECK; góc KBM= góc KBD(gt). => 2. góc CKB= góc CAB+ góc BDC.
=> đpcm.