Mình thấy có 2 bài trong sách hay hay nên post lên cho mọi người cùng thưởng thức
1) cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn có bán kính bằng 1. CMR tam giác ABC nhọn khi và chỉ khi $ a^2 + b^2 + c^2 > 8$
2) Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c, các góc là A,B,C được tính bằng radian. CMR:
$ \dfrac{ \pi }{3} \leq \dfrac{Aa + Bb+ Cc}{a+b+c} \leq \dfrac{\pi}{2} $

Bài 2
*CM vế 1:
Giả sử a>b>c thì A>B>C, cho nên áp dụng BĐT Chư bư sép( sorry tác giả cảu BĐT này vì người viết ko biết tên chuẩn)
$Aa+Bb+Cc \geq \dfrac{ (a+b+c)(A+B+C)}{3}$
suy ra dpcm.
**Vế 2 hình như sai hay sao ý. là dấu "<" mới đúng.

chọn một đỉnh
vì 2 đỉnh kề nó k thể tạo ra 1 tam giác (từ đây mình nói đến 1 tam giác là 1 tam giác tm đề bài)
còn lại 9 đỉnh
Số đoạn thẳng tạo bởi 9 điểm đó là $C_{2}^{9}$, trong đó có 8 đoạn thẳng trùng với cạnh của đa giác
Vậy có $C_{2}^{9}-8$ đoạn thẳng tạo với đỉnh đã chọn để tạo ra 1 tam giác.
Tương tự với các đỉnh còn lại.
Vì trong cách làm, mỗi tam giác bị trùng lặp 3 lần (vì 3 đỉnh của tam giác đều được chọn ra một lần)
ta có : $ 12(C_{2}^{9}-8)/3 = 112 $ tam giác
Theo mình là như vậy!

uh
bạn giải đúng rồi đó mình giải lại cũng ra 510.

Mình nghĩ là k đúng đâu
Nếu làm như các bạn thì hóa ra chọn 3 viên bi cũng tính đến cả thứ tự của các viên bi trong các chọn ah
Kết quả 510 phải chia cho 3! thì mới ra đáp án đúng. Vì với mỗi 3 viên bi có 3! hoán vị nhưng dù là hoán vị nào trong 3! hoán vị đó thì cũng biểu hiện cho một cách chọn ra 3 viên bi.
Nhân đây mình xin đưa ra một ý kiến thế này:
Bài toán yêu cầu : chỉ được dùng 2 quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân thì ta cứ giải theo cách dùng chỉnh hợp hoặc tổ hợp hoặc cả 2, miễn sao nhanh nhất, sau đó bám sát vào định nghĩa của cách bạn đã dùng (nghĩa là chỉnh hợp hoặc tổ hợp đó) để lý luận.

Minh giải như sau:
$ \rightarrow A= 2\sqrt{2} xy+x+y$
Đặt x+y=t . điều kiện của t là $ -\sqrt{2} \leq t \leq\sqrt{2}$ và$ xy=\dfrac{t^2-1}{2}$
Từ đó có$ A=f(t)=\sqrt{2} t^2+t-\sqrt{2} $
sử dụng bảng biến thiên là ok

Sai rồi bạn à!
Dấu bằng xảy ra, theo cách làm của bạn, là khi $ a=b=c= 1 $ , nhưng mà $ a+b+c $ có phải luôn luôn không đổi và bằng 3 đâu!

Tìm min của biểu thức sau:
$\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$
với $a+b+c=k, k>0$. a,b,c>0
k là hằng số
P/s: bài này mình đã post r nhưng mà chưa nhận đc câu trả lời thỏa đáng.
Mong các mod đừng xóa bài này nhé!

Bài này có mem nào có ý tưởng khác k? Mình quả thật bó tay

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{\frac{32x}{32+x}}+(48-x)\sqrt{\frac{32+x}{32x}}$
Với x thuộc (0;48]

Mình thành thật xin lỗi với tên topic ban đầu đã đặt!

1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho tam giác ABC có trực tâm H(3;3), C(7;1) và các đường cao AD, BE. Hãy tìm tọa độ điỉnh A,B biết trung điểm cạnh AB là M(2;3) và đường thẳng DE đi qua N(2;-2)
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho E(4;1). VIết pt đường thẳng (d) đi qua E và cắt tia Ox tại M, cát tia Oy tại N sao cho OM+ON đạt giá trị nhỏ nhất
3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(2;10) và đường thẳng d: y=8. Điểm E di động trên d. Trên đường thẳng AE lấy F sao cho vec{AE}.vec{AF}=24.
Điểm F chạy trên đường cong nào? Viết pt đường cong đó.
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường tròn: (I): x^2+y^2-4x-2y+4=0 và (J): x^2+y^2-2x-6y+6=0. CMR: 2 đường tròn cắt nhau và viết pt tiếp tuyến chung của chúng.
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ©: x^2+y^2+4x-6y+9=0., K(-1;4) và đường thẳng (d): x-y-3=0. Tìm các điểm trên (d) để từ đó kẻ đc 2 tiếp tuyến đến đường tròn © sao cho đường thẳng đi qua các tiếp điểm cũng đi qua K.
6. Cho 2 điểm A(3;1) và B(-1;2) và 1 điểm C ko trùng với O(0;0) di động trên đường thẳng x-y=0. Đường thẳng AC cắt trục hoành tại M, đường thẳng BC cắt trục tung tại N. CMR: MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
7. Cho tam giác ABC cân tại A có (AB): x+2y-5=0 và (BC): 3x-y+7=0. Viết pt đường thẳng AC biết AC đi qua F(1;-3)
8. Trong mặt phẳng Oxy hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết cạnh BC nằm trên đường thẳng (d): x+7y-31=0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài AB.
P/s: trên đây có cả bày khó, cả bài dễ, mọi người làm giúp mình nhé, tks mọi người nhiều

Nhiều quá ta
Bài 2 có vẻ dễ: OM+ON nhỏ nhất đạt giá trị bằng 0 khi đường thẳng đi qua gốc tọa độ
vậy pt đường thẳng là x-4y=0

$1 + co{s^2}x + co{s^2}2x = \sqrt {3} sinx$

ai chem dum em cai

Con này chắc là ra pt bậc 4
$1+1- sin^2 x + 1 - sin^2 2x= \sqrt {3} sinx$
$3 - sin^2 x+ 4 sin^4 x - 4 sin^2 x= \sqrt {3} sinx$ ( biến đổi $ sin^2 2x = 4 sin^2 x (1- sin^2 x)$)
$4 sin^4 x -5 sin^2 x -\sqrt {3} sinx+3=0 $
Đến đây phiền cậu vất vả 1 chút xíu vậy.

Thôi em lỡ rồi xin post bài bổ sung
20) $ \sqrt[3]{3x+1} + \sqrt[3]{5-x} + \sqrt[3]{2x-9} - \sqrt[3]{4x-3} =0$

Zone nghĩ bài này có thể giải theo cách sau nhưng hơi vất vả 1 chút
* Viết lại pt cho dễ:
$ \sqrt[3]{3x+1} + \sqrt[3]{5-x} + \sqrt[3]{2x-9} + \sqrt[3]{3-4x} =0$
Đặt: số hạng thứ nhất là a, thứ 2 là b, thứ 3 là c, thứ 4 là d.
Có: $(a+b+c+d)^3=0 $
$a^3+b^3+c^3+d^3=0 $
Tới bây giờ triển khai $(a+b+c+d)^3 $ ra, sẽ có thể ra vấn đề

Tiếp tục với 2 PT nữa nào :
Mình đánh số tiếp theo bạn hangochoanthien cho có hệ thống
Bài 3:Giải phương trình
$x^3-3x^2-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}=0$
Bài 4:Giải phương trình:
$x^3-6x^2+12x-7=\sqrt[3]{-x^3+9x^2-19x+11}$

giải bài 4
$x^{3}-3x^{2}+5x-3=A^{3}+2A$
$A=\sqrt[3]{-x^{3}+9x^{2}-19x+11}$
$\Leftrightarrow&space;(x-1)^{3}+2(x-1)=A^{3}+2A$
Hàm số $f(x)=x^{3}+2x$ đồng biến trên R
$\Rightarrow&space;x-1=A$
Từ đó dễ dàng có được nghiệm $x=1\vee&space;x=2\vee&space;x=3$
Em là lính mới mong mọi người ủng hộ.
MathDX không bao giờ bó tay

$ x^3-12x^2-3x+4=0 $
Giải bằng cách tổng quát vậy :
Đặt $ a= x+4 $
Phương trình trở thành :
$ a^3-48a-124 =0 $
Đặt $ a=4t $ , phương trình lại trở thành :
$ t^3-3t-\dfrac{31}{16} =0 $
Xét $ |t| > 2$
Đặt $ t = k+\dfrac{1}{k} $ => phương trình bậc 2 các bạn tự giải nha .
Xét $ |t| \leq 2 $ Đặt $ t =2 Cos k $ => $ Cos 3k = \dfrac {31}{12} $ (Cái này vô nghiệm nha )
Note: Cái cách này là cách tổng quát , giải ra thì rất mất sức, Dùng khi nào bí thôi

Con này bạn đặt $x=tan \alpha $ rồi dùng công thức nhân 3 của tan cũng được
$3tan\alpha-tan^3\alpha=4(1-3tan^2\alpha)$
$\dfrac{3tan\alpha-tan^3\alpha}{1-3tan^2\alpha}=4=tan3\alpha$
Thế chắc là ổn nhỉ
Thực ra có 1 dạng pt bậc 3 có thể áp dụng cách trên(đặt x =tan a)
pt : $ ax^3+bx^2+cx+d=0 $
với $ \dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b}=\dfrac{-1}{3} $
Các member xem hộ tớ nha. Nếu thấy k ổn ở đâu thì chỉ cho tớ. Cảm ơn nhiều.

Thêm 2 bài dễ nữa nha...........
Bài 7
$\left\{\begin{array}{l}x^3+3xy^2=-49\\x^2-8xy+y^2=8y-17x\end{array}\right.$
Bài 8:
$16x^4+5=6\sqrt[3]{4x^3+x}$
Các anh chị hãy vô đây cùng giải ..........hi hi công nhận mọi người ở đây pro thiệt

Xin lỗi các member nhé, vì tớ xin lật lại 1 bài toán trong topic này của hangochoanthien.
Bài 7 có cao thủ nào triệt phá được không.

Tớ xin đóng góp 1 con phương trình bậc 3 (theo đúng tên của topic)
$ x^3-12x^2-3x+4=0$

$(2+2x+x^2)^{2008}$
Tìm hệ số của $x^6$ trong khai triển
Các mem tìm giúp mình kết quả gọn nhất nhé!

bài của cậu tớ mới nghĩ ra bài 1: mà cũng chẳng phải phép thế
x=0 ko là nghiệm của pt. Đặt y=tx
$\left\{\begin{array}{l} x^2 (1+t^2+t) = 1\\ x^3 (1+t^3) = x (1+3t)\end{array}\right. $
Chia từng vế của pt 2 cho pt 1 mẫu khác 0 r�ồi
$\dfrac{1+t^3}{1+t^2+t}={1+3t}$
$2t^3+4t^2+4t=0$
có lẽ là ra r�ồi. 2 nghiệm(1;0) (-1;0)
P/s: bài 2 của bạn cũng có thể giải theo cách trên
...Chờ dài cổ chẳng có ai giải tiếp: ta lại đi tiếp con đường của ta
Giải bài 3: Đặt $a= x^2+y^2-1; b=\dfrac{x}{y}$ & không quên đk $ x,y \neq0 ,x^2+y^2 \neq 1 $
Hệ pt trở thành:
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{3}{a} + \dfrac{2}{b}\\ a+4b=1\end{array}\right. $
Thế a= 1-4b vào pt 1 có pt mới $2b^2-3b+1=0$
Ra 2 nghiệm (a;b) là (-3;1), (1/2;-1)
*Nghiệm (a,b) thứ nhât k cho nghiệm
*Nghiệm thứ hai cho nghiệm (0,0) nhưng nghiện này k tm đk
Vậy pt vn

Tam giác ABC có các góc nhọn, có các cạnh a, b, c và x, y, z là độ dài của các đường phân giác tương ứng
CMR: $ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}> \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} $

Ta có $S ABC=\dfrac{bxsin\dfrac{A}{2}}{2}+\dfrac{cxsin\dfrac{A}{2}}{2}=\dfrac{bcsin{A}}{2}$
Từ đó có:$x (b+c)=2bc cos\dfrac{A}{2}$
$ \dfrac{1}{x}= \dfrac{1}{2cos\dfrac{A}{2}}(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$
*CM tương tự ta có
$\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a}(\dfrac{1}{2cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{2cos\dfrac{C}{2}})+ \dfrac{1}{b}(\dfrac{1}{2cos\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{2cos\dfrac{C}{2}}) + \dfrac{1}{c}(\dfrac{1}{2cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{2cos\dfrac{A}{2}})$
Ta có $0< \dfrac{A}{2},\dfrac{B}{2},\dfrac{C}{2}<90$
$\Rightarrow0<cos \dfrac{A}{2},cos\dfrac{B}{2},cos\dfrac{C}{2}<1$
$\dfrac{1}{2cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{2cos\dfrac{C}{2}}>1 $ và tương tự với các số còn lại ta cm được BĐT

vd 2:
Để ý pt 2 khiến ta nghĩ đến biến đổi thành tổng bình phương.
$ x^2+y^2-2x-4y+1+4=38$
$ (x-1)^2+(y-2)^2=38$
Thật là đẹp khi pt 1 cũng biến đổi thành tích của 2 thừa số mà mỗi thừa số là tổng của x và y với 1 số
$xy-2y-3x=16$
$ \Leftrightarrow (x-2)(y-3)=22$
Vậy đặt x-1=u; y-2=v
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u^2+v^2=38\\(u-1)(v-1)=22\end{array}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u^2+v^2=38\\-(u+v)+uv=21\end{array}\right.$
Và 1 câu nói quen thuộc mà em hay hỏi : Chắc đến đây là ổn?

Mình ủng hộ alex_hoang. Không nói nhiều, để khai trương topic mình xin góp 2 bài nhỏ.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^3} = \sqrt {64 - {x^2}y} \\{\left( {{x^2} + 2} \right)^3} = y + 6\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^4} + y} \right){.3^{y - {x^4}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\8\left( {{x^4} + y} \right) - {6^{{x^4} - y}} = 0\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Con a rêu rồi, để zone phủ
từ pt hai $ y+6 \geq 8 \Rightarrow y \geq 2 $ Sử dụng điều kiện này vào pt 1
Vế trái pt 1: $ x^2+y^3 \geq 8 $
Vế phải pt1: $ \sqrt {64 - {x^2}y} \leq 8 $ (vì $ x^2 y \geq 0 $)
Từ đó hệ pt có nghiệm là (0;2) khi các dấu "=" xảy ra

5)$ \left\{\begin{array}{l}x^3-6x=y^3-5y\\x^2-4=2(1-y^2)\end{array}\right.$

hi hi chỉ có chừng đó bài các bác chém đỡ .......... !

bài nay có dạng đấy
$ \left\{\begin{array}{l}x^3-y^3=6x-5y\\x^2+2y^2=6\end{array}\right.$
đầu tiên phải thử xem x= 0 có là nghiệm của pt k, sau đó với x khac 0 thì đặt y=xt
$ \left\{\begin{array}{l}x^3 (1-t^3)= x (6-5t)\\x^2(1+2t^2)=6\end{array}\right.$
Ta chia từng vế của pt 1 cho pt 2( mẫu đã khác 0 rồi)
$\dfrac{1-t^3}{1+2t^2}=\dfrac{6-5t}{6}$
$ \Leftrightarrow 4t^3-12t^2+5t=0$
Chắc đến đây là ổn rồi.

$\dfrac{a^2+bc}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2+ac}{(a+c)^2}+\dfrac{c^2+ba}{(b+a)^2}\geq\dfrac{3}{2}$
Và điều kiện là: a,b,c dương

$\left\{\begin{array}{l}x^{3}-y^{3}+x^{2}-9y^{2}-30=28y\\ \sqrt[]{2x+3} +x=y\end{array}\right. $

$ \left\{\begin{array}{l}x^{2}-y^{2} =5\\y^{2}-4y-6x+9=0\end{array}\right. $

$\left\{\begin{array}{l}2x^{2}y+xy-1=2y\\y-y^{2}x-2y^{2}=-2\end{array}\right.$

$ \left\{\begin{array}{l}x+y^{2}=3\\ x^{2}-2y=2\end{array}\right.$

Bài 1 tớ nghĩ ở phương trình 1 là "x" chứ không phải $x^2$

Bài 1: Tìm miền xác định
$y = \dfrac{1}{{4 - 5\cos x - 2\sin ^2 x}}$
Bai2: Tìm giá trị max, min của hàm số
a)$y = \dfrac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}$

b)$y = \dfrac{{\sin x + \cos x - 1}}{{\sin x - \cos x + 3}}$

Mih dùng công thức biểu diễn (sin a), (cos a) qua( tan a/2)
ta gọi $ tan\dfrac{x}{2}=t$
$ \Rightarrow sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}, cosx=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
$ \Rightarrow y=\dfrac{t-t^2}{2t^2+t+1}$
Giả sử A là 1 giá trị của y
$A=\dfrac{t-t^2}{2t^2+t+1}$
$ \Leftrightarrow (2A+1)t^2+(A-1)t+y=0$
pt trên phải có nghiệm nên "delta" phải lớn hơn hoặc bằng 0
$ delta =-7A^2-6A+1=(A+1)(1-7A) \geq 0$
từ đó suy ra min và mã của biểu thức.

P/s :mình k biết viết kí hiệu delta thông cảm nha

Bài 2 hình thức thì rất khó nhưng lại dễ. Còn bài này xusinst giải đi, hình thức dễ nhưng lại khó!

Bài 3:

Giải hệ phương trình sau:

$\\ \left\{ \begin{array}{l} 2x\sqrt {y - x^2 } + 3y^2 x = 14 \\ x^2 - xy + y^2 = 3 \\ \end{array} \right.$

dễ dàng thấy được y>x>0
$x^2 - xy + y^2 = 3 \Leftrightarrow (x- \dfrac{y}{2})^2+ \dfrac{3y^2}{4}=3 \Rightarrow y \leq 2$ *
$2x\sqrt {y - x^2 } + 3y^2 x = 14 \leq y+3y^2x\leq 2+12x \Rightarrow x\geq 1$
coi pt thứ hai là pt với ẩn x
điều kiện để pt có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 1 là
$\\ \left\{ \begin{array}{l}( x_{2} -1) (x_{1} - 1) \geq 0 \\ ( x_{2} -1) +(x_{1} - 1) \geq 0 \\ \end{array} \right.$
$ \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{2} x_{1} - ( x_{2} +x_{1}) +1 \geq 0 \\ x_{2} +x_{1} - 2 \geq 0 \\ \end{array} \right.$
$ \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y^2-y-2 \geq 0 \\ y - 2 \geq 0 \\ \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow y \geq 2$ **
Từ * và ** , kl pt có nghiệm
(1,2)