Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Bạn đọc không kỹ. Dãy thì chưa chắc là dãy số.
Có 155 mục bởi An Infinitesimal (Tìm giới hạn từ 05-05-2020)
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 10-09-2018 - 01:56 trong Dãy số - Giới hạn
Có vẻ như anh nhầm gì đó ở chỗ chú ý. Theo nội dung tiêu chuẩn Cauchy, dãy số $u_n$ hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
Bạn đọc không kỹ. Dãy thì chưa chắc là dãy số.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 25-02-2018 - 13:17 trong Dãy số - Giới hạn
Cho em hỏi cái căn bậc 4 anh trục như thế nào vậy ạ ?
Ta có hằng đẳng thức quen thuộc: $ a^4-b^4= (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3).$
Khi đó, với $a\eq \pm b$, ta sẽ có: $a-b= \frac{a^4-b^4}{a^3+a^2b+ab^2+b^3}$.
Thử với $a= \sqrt[4]{f(x)}$ và $b= g(x)$, ta có
$$ \sqrt[4]{f(x)}-g(x)= \frac{f(x)-[g(x)]^4}{ \sqrt[4]{[f(x)]^3}+ \sqrt[4]{[f(x)]^2}g(x)+ \sqrt[4]{f(x)}[g(x)]^2+[g(x)]^3}.$$
Có phải là thứ mà em cần tìm?
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 23-02-2018 - 01:40 trong Dãy số - Giới hạn
Chèn $-x, x$ vào để tính toán nhưng tính toán rất khiếp (cồng kềnh thôi) chứ không phức tạp!
$\lim_{x \to \infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$
Xét $f(x) =\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}, g(x)= \sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2}.$
Một số nhận xét:
i) $\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}=1, \lim_{x\to -\infty} \frac{g(x)}{x}=-1.$
ii) Với điều kiện thích hợp, ta có các đẳng thức sau
$$ f(x)-x = \frac{2x^2+1}{[f(x)]^2+xf(x)+x^2}= \dfrac{2+\frac{1}{x^2}}{\left[ \frac{f(x)}{x}\right]^2+\frac{f(x)}{x}+1},$$
và
$$ g(x)- (-x) = \frac{3x^3+2}{[g(x)]^3-x[f(x)]^2+x^2f(x)-x^3}= \dfrac{3+\frac{1}{x^3}}{\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^3-\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^2+\frac{g(x)}{x}-1},$$
iii) Từ (i) và (ii), ta có
$\lim_{x\to- \infty} [f(x)-x]=\frac{2}{3},$ và $\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=-\frac{3}{4}.$
Suy ra $\lim_{x\to -\infty} [f(x)+g(x)]= \lim_{x\to -\infty} [f(x)-x]+\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{12}.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 21:09 trong Dãy số - Giới hạn
$\lim_{x \to \infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$
Đề bài: $x\to \infty$ hay $x\to -\infty$?
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 27-02-2018 - 18:12 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Riêng quả viết "thay" $\lambda$ bởi $A$ và $1$ bởi $E$ là thấy bá đạo rồi. Chắc lại sách mấy trường kinh tế - kĩ thuật, toàn mấy ông lởm khởm viết.
Đó là nội dung định lý Hamilton Caylley!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 25-02-2018 - 13:19 trong Đại số tuyến tính, Hình học giải tích
Chứng minh đẳng thức đó mà cũng dùng đến định lý Hamilton Calley thì hơi kỳ cục!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-02-2018 - 21:47 trong Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức
Trên tập số phức phương trình $z^{2017}=i\bar {z}$ có bao nhiêu nghiệm?
$z=0$ là một nghiệm của PT.
Trên $\mathbb{C}\setminus \{0\}$,$ |z|^{2017}=|z|$ nên $|z|=1.$ Khi đó, PT tương đương (đã kiểm tra cẩn thận): $z^{2018}=i.$
PT này có $ 2018 $ nghiệm.
Vậy PT ban đầu có $2019$ nghiệm (phân biệt).
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 20-03-2019 - 22:38 trong Tích phân - Nguyên hàm
Ta có $$f'(x)= x\sqrt[3]{4f(x)+1}\Rightarrow \frac{f '(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=x.$$
Do đó, $$\int \frac{d f(x)}{\sqrt[3]{4f(x)+1}}=\frac{x^2}{2}+C.$$
Suy ra $f(x)=...$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 15-07-2018 - 13:23 trong Dãy số - Giới hạn
Tìm giới hạn dãy $1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}$
P/s:Mong mọi người bỏ ra chút thời gian giúp mình với ạ!
Dùng đánh giá $\ln{(1+x)}\le x,$ ta có
$\frac{1}{k}\ge \ln\left( 1+\frac{1}{k}\right)=\ln{(k+1)}-\ln k. $
Suy ra
$$1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}\ge \ln{(n+1).}$$
Do đó,
$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{n+1}\right)=\infty.$$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 21-10-2018 - 20:38 trong Dãy số - Giới hạn
$\lim_{x->0^+} \frac{\ln x}{1+2\ln x}$
\[\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1+2\ln x}= \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{\frac{1}{\ln x}+2}=\frac{1}{0+2}=\frac{1}{2}.\]
Lưu ý: $\lim_{x\to 0^{+}} \ln x= -\infty.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 04-04-2018 - 22:33 trong Dãy số - Giới hạn
mình làm được phần tìm CT của un rồi. Mình không biết làm phần tìm lim un.
Bạn ghi công thức lên đây nhen.
Đặt $f(n)= \frac{n^2+4n+3}{2n^2+4n}, n\in \mathbb{N}.$
Ta có $f(n) \le q:=\frac{4}{5}, \forall n\ge 3.$
Suy ra $0<u_{n+1}\le qu_n, n\ge 3.$
Suy ra $\lim u_n=0.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 03-04-2018 - 20:29 trong Dãy số - Giới hạn
Hãy lập CT tính un theo n và tính lim un.
$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2012\\ u_{n+1}=\frac{n^{2}+4n+3}{2n^{2}+4n}u_{n} (n\geq1) \end{matrix}\right.$
Phân tích tử, mẫu thành phân tử rồi lùi dần (tính theo giai thừa hoặc không cần), rút gọn các số nhân tử chung ở tử và mẫu, ta nhận được "kết quả".
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 05-08-2019 - 12:12 trong Tài liệu và chuyên đề Đại số tuyến tính và Hình học giải tích
cho các hàm số liên tục trên R, hệ B={sinx, cosx, sin2x, cos2x,...,sin10x, cos10x } là hệ độc lập tuyến tính.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 21-10-2018 - 20:34 trong Giải tích
Khai triển Taylor của hàm
$Ln(2x+1)$ tại $x=2$
Basara có vấn đề khó khăn gì với nó?
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 19-03-2019 - 17:29 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}13x^{2}+5x-7y^{2}+5y=0 \\ 3x^{2}-2y^{2}+5=0 \end{matrix}\right.$
Hệ đẳng cấp!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 28-04-2019 - 12:07 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}13x^{2}+5x-7y^{2}+5y=0 \\ 3x^{2}-2y^{2}+5=0 \end{matrix}\right.$
Vì $13x^{2}-7y^{2}=-5x+5y$ và $-3x^{2}+2y^{2}=5$ nên
Ta có $5(13x^{2}-7y^{2})^2=(-5x+5y)^2 (-3x^{2}+2y^{2}).$
Do đó,
$$x= \frac{3\, y}{4}\vee x=-\frac{y}{2}\vee x= \frac{10\, \sqrt{3}\, y}{23} - \frac{y}{23}\vee x= - \frac{y}{23} - \frac{10\, \sqrt{3}\, y}{23}.$$
Phương trình thứ 2 có thể giúp ta loại bớt trường hợp.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 06-02-2022 - 11:21 trong Giải tích
Câu hỏi : Tìm tất cả các hàm f(x) xác định trên (-1;1) và thỏa mãn
$$xf'(x) +2f(x) =0 \, \forall x\in (-1:1)$$
Ta có $(x^2 f(x))^{\prime}=0$ với mọi $x\in (0;1).$
Do đó, tồn tại hằng số $C$ sao cho $x^2 f(x)=C$ với mọi $x\in (0;1).$
Với $x=0$, ta có $C=0.$ Do đó $f(x)=0$ với mọi $x\in (-1;1)\setminus\{0\}.$
Hơn nữa, nhờ tính liên tục của hàm $f$, ta có $f(0)=0.$
Vậy có duy nhất hàm $f=0$ (đã được kiểm tra thỏa các điều kiện).
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 22-07-2018 - 21:04 trong Giải tích
Tìm
$\displaystyle \lim_{x\to 0}(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\dfrac{1}{x}(A^n-E)))$
trong đó $E$ là ma trận đơn vị
và $A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}, n \in \mathbb{N^*}$
Giới hạn bên trong tiến về ma trân không (ma trận vuông cấp 2).
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 24-07-2018 - 18:42 trong Giải tích
Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!
Nháp:
Ta có
$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$
$A^n-E=B+ \sum_{k=2}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$
Sao lại tiến về ma trận không?
Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!
Nháp:
Ta có
$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$
$A^n-E= \sum_{k=1}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$
Đặt $S_n= E+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}B^k.$
Nhận xét:
1) Dãy $\left\{S_n\right\}$ hội tụ về $S:=e^{B}.$
2) Dãy $\left\{A^n-S_n\right\}$ hội tụ về $0.$
(Cần kiểm tra 2.)
$A^n-S_n= \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(\displaystyle\prod_{i=1}^{n-k}(1-\frac{k}{n})-1\right)B^k.$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 23-05-2018 - 13:39 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{0}=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$
Tìm $\lim u_{n}$
Đề sai rồi!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 26-05-2018 - 14:09 trong Dãy số - Giới hạn
Lời giải:
Bài này cũng có thể giải được sao? Ngay cả $u_2$, mình cũng không biết xác định như thế nào!
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 27-05-2018 - 00:17 trong Dãy số - Giới hạn
Để cho dễ hiểu, cái đề cần phải sửa lại thế này :
Cho $(u_n)$ là một dãy số hữu hạn gồm n+1 số hạng : $u_0,u_1,u_2,...,u_n$ thỏa mãn :
$\left\{\begin{matrix}u_0=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_k+\frac{1}{n}\ u_k^2,\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$
Cho $n$ tiến đến vô cùng, hãy tính $\lim u_n$ ?
(Tức là với mỗi giá trị của $n$, ta có một dãy số hữu hạn khác nhau (với số hạng cuối cùng là $u_n$). Cần tính xem khi $n$ tiến đến vô cùng thì số hạng cuối cùng đó tiến đến bao nhiêu ?)
Vậy đó là một đề bài khác, không phải đề bài này.
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 08-03-2019 - 16:17 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy số xác định bởi $x_{1} = \frac{2020}{2019}; x_{n+1} = 2019x_{n}^{2} + x_{n}.$ với mọi x $\geq 1$.
đặt $y_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{x_{k}}{x_{k+1}}$. tìm lim $y_{n}$.
Ta có $\frac{x_{k}}{x_{k+1}}=\frac{1}{2019x_{k}+1}$ và
$$\frac{1}{x_{k+1}}=\frac{1}{x_{k}}-\frac{2019}{2019x_{k}+1}.$$
Do đó,
$$2019 y_{n}= \sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{x_{k}}-\frac{1}{x_{k+1}}\right)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}.$$
...
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 10-02-2022 - 21:51 trong Tích phân - Nguyên hàm
Xét sự hội tụ của tích phân sau:
$K=\int_{1}^{+\infty }\frac{\sqrt{x}.ln(x)}{\sqrt{x+1}\sqrt[5]{x^7+1}}dx$
Em cảm ơn.
Dùng tiêu chuẩn so sánh với hàm phụ là $f(x)=\frac{1}{x^{7/6}}.$ Ta có thể thay thế $\frac{7}{6}$ bởi bất kỳ số thực nào thuộc $\left(1;\frac{7}{5}\right).$
Đã gửi bởi An Infinitesimal on 25-03-2019 - 19:13 trong Dãy số - Giới hạn
Tính giới hạn: $\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}\right )$
Chú ý:
$$\sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} +\sqrt{x^{2}+2x}= \left ( \sqrt[5]{x^{5}+x^{4}-1} -x\right )+\left (\sqrt{x^{2}+2x}+x\right ).$$
Nhân lượng liên hiệp, ta sẽ xử lý được giới hạn.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học