Khi x = y , giải được 2 cặp nghiệm . Xét trường hợp x y . Đặt u=x+y , v=xy . Lấy 2 phương trình trừ nhau , được :
$ u^3-u-uv=\dfrac{9}{8}$ (1)
Lấy 2 phương trình cộng nhau , được :
$ u^4+u^2-\dfrac{9}{8}u -5u^2v+4v^2-2v=0$
Thế giá trị 9/8 ở trên xuống , đơn giản , được :
$(u^2-v)(2v-1)=0$
với : $u^2=v$ , được x=y=0 (loại vì đang xét x y )
với 2v=1 , thế vào phương trình (1) , giải ra được u = 3/2 . Có v = 1/2 . Tìm được x,y . Cuối cùng thay vào thử .
C'est fini !

Xét $f(x) \geq x^{1997} \forall x \in (0,1) \Rightarrow \int\limits_{0}^{1} f(x)dx<\int\limits_{0}^{1}x^{1997}=\dfrac{1}{1998}$ . Không thỏa .
Nếu $f(x) < x^{1997} \forall x \in (0,1) \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to 0}f(x) \leq \displaystyle\lim_{x \to 0}x^{1997} \Rightarrow f(0) \leq 0 $ . Cũng không thỏa . Vậy thi f(x) = x^1997 có ít nhát 1 nghiệm trên (0,1)

x=0 , ta có : f(g(y))=g(0)+y . Cho y=0 , vậy có g(0)=0 ( từ đó suy ra h(0)=f(0)=0 )
f(g(y))=y (1)
Cho y=0 vào phường trình ban đầu , được : f(x)=g(h(f(x))) . Thay x=g(y) g(h(y))=y .(2)
Thay y bởi h(x) vào (1) , kết hợp với 2 , có f(y)=h(y) .

Típ đây .
Giờ ta đang có :
g(h(x))=x
h(g(x))=x
h(x+g(y))=g(h(h(x)))+y=h(x)+y g(h(x+g(y))) = g(h(x)+y) x+g(y) =g(h(x)+y)
Vậy : g(h(x)+y)=x+g(y) = g(h(x)) + g(y) . Thay x bởi g(a) g(a+y)=g(a)+g(y) ..

C'est fini !!! Keng

Đặt $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1} -x -ln(1-x) $
Như vậy , $f'(x) = \dfrac{-x}{(x-1)^2} $
Mà $f(0)=0$ , f liên tục trên $(-\infty , 1)$
$\Rightarrow f(x) \leq 0 \forall x<1$ ( Điểm (0 , 0) là điểm cực đại trên đoạn này )
Còn với x = 1 thì mình chịu , vì hàm ko xác định ! Bảo tính lim thì còn được !

chứng minh giùm mình bài này:
chứng minh: f(x)=$2x^{4}+4x^{3}-4x^{2}-x+2 $>0 với mọi giá trị của x

x=-1 hình như không đúng .

Cho dãy số như sau:
$\(S)_{n}$ = $\ a^{1} $+ $ \ b^{2} $+ $\ a^{3}$ + $\ b^{4} $+..........$\ (U)_{n}$
Chú thích:
$\(U)_{1}$ (số hạng thứ nhất): là a
$\(U)_{2}$ (số hạng thứ hai ):là $ \ b^{2} $
.........
$\(U)_{n}$ (số hạng thứ n ( với n thuộc vào N khác 0 ))
Câu hỏi:
-Tìm+ công thức tổng quát của $\ (U)_{n}$
+ công thức tổng quát của $\(S)_{n}$

(Bài này ai làm phải vắt hết chất xám đấy nhá!!!!!!!!!)

ỦA SAO KHÔNG CÓ AI DÁM LÀM BÀI NÀY VẬY TA!!!!!!!!!
NẾU SAU 3 NGÀY KHÔNG AI GIẢI ...TUI XIN TRỔ TÀI!!!

Bài có gì đâu , sao chú lớn tiếng thế !
$U_n = (\dfrac {n}{2}) a^n + (\dfrac{n+1}{2}) b^n$ ký hiệu $(\dfrac{a}{b})$ là phần dư của phép chia !
Còn tính S thì dùng công thức tổng của cấp số nhân thôi .
Tiện ghé chân qua làm chơi thôi , tại thấy anh em bận quá , không ai rảnh làm cả nên tui ra tay vậy !

Rảnh post mấy bài giới hạn chơi , tại mới học khai triển hữu hạn , dùng tính lim cũng hay hay nên đưa lên mời anh em tham khảo .
1 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx}{tan^2 x}$
2 $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x-1}{x^\alpha -1}$
3 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{xsinx}{1-cosx}$

Biến đổi thề nào ?? Còn là số thực .

biến đổi tan=sin/cos, và dùng limsinx/x=1 x tiến tới 0
câu 2 thi a<1 thì ghạn là vô cùng, lớn hơn 1 thì là 0. bằng 1 thì là 1

Bạn biến đổi câu 1 thử xem ??
Câu 2 ra kết quả $ \dfrac{1}{\alpha}$
Bạn nào không biết dùng khai triển hữu hạn thì dùng định lý De L'Hopital cũng thấy ngay . Thử với số 2 là biết .

Với $x >1$ , tách như sau :
$f(x) = (4x^3 - 4x^2) + (2x^4 - x) +2 >0$
Với $x \ leq 1$ thì :
$f(x) = (4x^3-4x^2+x) + (2-2x)+2x^4 = x(2x-1)^2 + 2(x-1) +2x^4 >0 $
Không biết đúng chưa nhỉ ?? Bonne année !

Okie . Bài 1 được rồi , còn 2 bài kia ?

Uhm , dùng định nghĩa đạo hàm để tìm lim bài 2 , cũng hay . Được rồi , tối nay mình sẽ pót cách dùng khai triển hữu hạn và 1 số bài mới . Chờ nhé , giờ đi học đã .

Chứng minh
2^/sinx/ + 2^/cosx/ 3
/sinx/ là trị tuyệt đối

Đề gì bậy bạ thế ?? Cho x=0 là sai ngay !

Chú đọc lại cách giải của tớ đi nhá ! Công thức tớ đưa ra là cho dãy U , và hoàn toàn ko sai đâu , thế vào đi . Cho chú thế đến n số luôn , n bao nhiêu tùy ý chú .

Mình chưa hiểu cái ý nghĩa của từ thách thức lắm.

Đề bài thực ra chỉ là cho hai cấp số nhân $a, a^3, a^5... & b^2, b^4 ...$
Và yêu cầu tìm cttq của dãy $\{u_n}:a_1, b_1, a_2, b_2 ...$

Bravo sherlock_homes ! Chính xác !

$(\dfrac{2n}{2}) = 0 , (\dfrac{2n+1}{2}=1$
Xem thử đi , đúng hay sai ??

$(\dfrac{2n}{2}) = 0 , (\dfrac{2n+1}{2})=1$
Xem thử đi , đúng hay sai ??

Chăc bạn không biết nhiều về số học đâu hả ??
Mình đã chú thích rất rõ là , $(\dfrac{a}{b}) $ là phần dư của phép chia a cho b mà

Bài có gì đâu , sao chú lớn tiếng thế !
$U_n = (\dfrac {n}{2}) a^n + (\dfrac{n+1}{2}) b^n$ ký hiệu $(\dfrac{a}{b})$ là phần dư của phép chia !
Còn tính S thì dùng công thức tổng của cấp số nhân thôi .
Tiện ghé chân qua làm chơi thôi , tại thấy anh em bận quá , không ai rảnh làm cả nên tui ra tay vậy !

Xem nhé .
Với n=1 , $U_1 = (\dfrac{1}{2})a + (\dfrac{2}{2})b =a $ vì $(\dfrac{1}{2})=1 , (\dfrac{2}{2}) =0$
Với n=2 ,$U_2 =(\dfrac{2}{2})a^2+(\dfrac{3}{2})b^2=b^2$ vì $(\dfrac{2}{2})=0 , (\dfrac{3}{2})=1$
Với n=3,$U_3=(\dfrac{3}{2})a^3+(\dfrac{4}{2})b^3=a^3$ vì $(\dfrac{3}{2})=1 , (\dfrac{4}{2})=0$
Bạn còn thấy không đúng với số nào nữa , nói ra luôn đi , mình tính cho !
Thực ra , với những người đã từng học sơ qua số học căn bản đều hiểu mình muốn nói đến cái gì mà . Hệ thặng dư modulo(2) chỉ có 2 giá trị là 0 và 1 , vậy thì cần gì giải thích !

To xvodanhx :

1 người làm Toán cần hiểu rõ những gì mình đọc , những gì mình đưa ra . Với lại , với trình độ của mình , nói thẳng ra là quá ư là dễ dàng để mà làm bài này , mình không tin là 1 thằng học sinh với 3 năm học chuyên Toán , từng có vài thành tích , mà lại không giải được bài này đâu ! Bình thường mình hay vào mục Olympiad để làm bài , chẳng qua là có hứng mới ghé qua box THPT thôi , lại thấy bạn lớn lối như vậy , nên mới nhảy vào làm cho vui thôi . Nói thật , mình làm sai thì mình nhận , người ta làm sai mình cũng góp ý , nhưng rất chủ quan và công bằng , chứ không to tiếng như thế đâu .

Mình dùng khai triển hữa hạn , có gì sai xin mấy sư huynh chỉ giáo.
$sinx = x+x \varepsilon(x) , \varepsilon(x) \displaystyle\longrightarrow_{x \to 0} 0 $
$ \Rightarrow sinx \displaystyle\sim_{0} x$
$cosx = 1+x \varepsilon_1(x) , \varepsilon_1(x) \displaystyle\longrightarrow_{x \to 0} 0 $
$\Rightarrow cosx \displaystyle\sim_{0} 1$
$\Rightarrow tanx \displaystyle\sim_{0} x \Rightarrow tan^2x \displaystyle\sim_{0} x^2$
$cosx = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + x^2 \varepsilon '(x) , \varepsilon '(x) \displaystyle\longrightarrow_{x \to 0} 0$
$ \Rightarrow 1-cosx \displaystyle\sim_{0} \dfrac{x^2}{2!}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx}{tan^2x} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{2!} \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{2}$

Những bài sau cũng tương tự , sử dụng các công thức sau :
$x^{\alpha} - 1 \displaystyle\sim_{1} \alpha(x-1)$
$xsinx \displaystyle\sim_{0} x^2$

Mình đưa thêm vài bài nữa .
1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx+ln(cosx)}{x^4}$
2. $ \displaystyle\lim_{ x \to +\infty} (1 + \dfrac{a}{x})^x , a \in \mathbf{R} $
3. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} , \alpha \in \mathbf{R_+}$

NẾU NHƯ MÌNH Có QUÁ LỜI THÌ MÌNH XIN LỖI BẠN
NHƯNG CôNG THỨC $\ U_{n}$ HOÀN TOÀN KHÁC BẠN

MÀ DÙ SAO MÌNH CŨNG XIN LỖI MÌNH MÌNH HƠI NẶNG LỜI
(NHƯNG DÂN HỌC TOÁN LỜI LẼ ĐÃ NHƯ VẬY RỒI KHô;NG THỂ THAY ĐổI DC)
(BẠN SAI THÌ MÌNH NóI SAI ĐóLÀ MỆNH ĐỀ CHÍNH XÁC KHôNG THỂ SỬA DC)
CHÍNH VÌ BẠN QUÁ TỰ TIN NÊN MỚI SAI ĐẤY
DO BẠN LÀM BÀI CAO SIÊU QUÁ NHIỀU NÊN BÀI NÀY BẠN CỨ CHO LÀ MÌNH ĐÚNG
THẬT RA HỌC SINH CHUYÊN TOÁN CHƯA PHẢI LÀ THẦN THÁNH MÀ SAO BẠN TỰ PHỤ THẾ
MÌNH BIẾT BẠN SỬ DỤNG CÁI CÁCH MOD =0 NHƯNG BẠN THỂ HIỆN THÀNH CôNG THỨC THÌ SAI
Ở ĐÂY MÌNH MUỐN XÁC NHẬN Đó LÀ CÁCH VIẾT $\ U_{n}$
BẠN PHẢI GIẢI THÍCH NHƯ THẾ NÀY :
+NẾU n= w không chia hết 2 thì div = 1
+nếu n+1=q chia hết cho hai thì mod=0
(như vậy mới đúng ,bạn hiểu mình nói bạn sai chỗ nào rồi chứ)

Không hiểu nổi ! div , mod lung tung cả lên . Ở trên mình đã ký hiệu rất rỗ ý nghĩa của phép $(\dfrac{a}{b}) $rồi mà . Bạn chỉ ra chỗ sai đi , cụ thể tí , thế vào thì ra kết quả sai à ? Mình không tìm được .

Theo như mình thì nếu ra dạng $0^0$ thì chắc chắn phải tính đưa về dạng xác định rồi . Từ trước đến giờ , trong bao nhiêu cuộc thi , có ai dám ra được kết quả này rời nói lim = 1 đâu .