Theo như mình thì nếu ra dạng $0^0$ thì chắc chắn phải tính đưa về dạng xác định rồi . Từ trước đến giờ , trong bao nhiêu cuộc thi , có ai dám ra được kết quả này rời nói lim = 1 đâu .

Làm bài cuối trước :
Giả sử tồn tại 8 số thỏa mãn 3 số bất kỳ ko là 3 cạnh của 1 tam giác.
Gọi 8 số này theo thứ tự tăng dần là $a_{1}\leq a_{2} \leq ... \leq a_{8} $
Nếu $a_{3} < a_{1} + a_{2}$ thì $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ là 3 cạnh của 1 tam giác (Coi lại đk 3 cạnh 1 tam giác)
Vậy $a_{3} \geq a_{1} + a_{2}$
tương tự, $]a_{4} \geq a_{3} + a_{2} \geq a_{1} + 2a_{2}$
Làm tương tự, ta có : $a_{8} \geq a_{7} + a_{6} \geq 8a_{1} + 13a_{2} \geq 8+13 =21$
Vô lí.

Do đó ko tồn tại 8 số như giả thiết.
Vậy luôn tồn tại 8 số nguyên dương thỏa yêu cầu đề bài

Giải sơ sơ nhé.
Gọi a, b, c là 3 cạnh tam giác thỏa a+b+c=1.
Vậy đk là a,b,c (0;1/2).

Cắt đoạn a trước, xác suất là 1. Vì cắt 1 đoạn (trừ TH cắt ở giữa) 1 m, thì luôn có 1 đoạn nhỏ hơn 1/2.
Cắt đoạn b : P(b)=$\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1-a}$
Còn lại là c.

Vậy Xác suất để cắt được 1 tam giác : Tích phân của P(b) theo biếb a trên (0;1/2).
Kết quả là ln2/2

Bài 1)Mô tả đoạn dây chia thành 2 phần
x- - - - -|- - - - -x
Cắt ngẫu nhiên 2 phát để được 3 đoạn
2 lần cắt cùng về 1 phía sợi dây thì 3 đoạn không lập được 1 (bỏ qua khả năng cắt được chính giữa!)
tạo được 1 phải cẳt 2 lần 2 phía sợi dây XS=(0.5)*(0.5)=0.25

Có người lại cho rằng có 5 cách cắt khác nhau là Trái Trái; Trái Giữa; Giữa Phải; Phải Phải; Trái Phải
nên Xs cắt tạo được là 1/5=0.2
Thực tế không phải vậy Cắt Trái, Phải thì ngẫu nhiên. Nhưng cắt được chính giữa thì đâu còn ngẫu nhiên nữa!

Mình thấy lời giải hình như có vấn đề. Vấn đề là ở chỗ nếu cắt ở 2 đầu sợi, ví dụ như mình cắt được đoạn 0.1m, 0.2m thì rốt cuộc vẫn chưa phải là tam giác.

Phải để ý 1 điều thế này : Lần đầu tiên cắt, thì xác suất là 1/2. Đúng, nhưng lần thứ 2 cắt, liệu xác suất có còn bằng 1/2 không ?

Cách giải của bạn chắc kết quả là đúng. Tuy nhiên mình có 1 chút thắc mắc:
Thứ nhất
Cắt ra đoạn a, nghĩa là đoạn a được rời ra khỏi tay bạn nếu a có dài hơn 0.5 thì bạn cũng không được chọn nó để cắt tiếp. (so sánh thế đâu còn ngẫu nhiên nữa!)
Thứ hai
Tại sao xác suất lại phải là TÍCH PHÂN ?
Giả sử xs cắt a là P(a) xs cắt b là P(b)
Vậy xs cần tìm liệu có phải là tích phân 2 lớp của P(a)P(b) theo 2 biến a và b trên các khoảng (0, 1/2) ??

OK.
Thế này nhé. Gọi cái đoạn dây là AB=1m, bạn cắt nó 1 phát tại điểm M, nếu như M ko là trung điểm, thì bạn có công nhận rằng trong 2 đoạn, có 1 đoạn nhỏ hơn 0.5 m ko ? Gọi đoạn đó là a. Như vậy là có phải xác suất là 1 ko ? Mình cắt tiếp , tức là cắt đoạn còn lại dài hơn a.

Rồi tiếp theo, nó có liên quan đến khái niệm mật độ (tớ dịch ra tiếng Việt là thế, còn nguyên văn lúc tớ học là "densité de probabilité")
Diễn giải râ trên tập số tự nhiên là thế này :
Vd : Cho A thuộc {1,2,3,4,5}, B thuộc {1,2,3,4,5,...,10}
Người ta bảo rằng tìm xác suất chọn được A,B thỏa mãn : A+B 6
Bạn sẽ giải thế nào ? Có phải đầu tiên là nếu A=1 thì P(A=1;B)=..., A=2 thì P(A=2;B)=...
(Gọi P(A=i;B) là xác suất chọn được B khi A=i)
Sau đó cộng lại P(A=1;B) + P(A=2;B) + ...

Trên tập số thực cũng thế, tuy nhiên , tổng của những đoạn nhỏ đó, lại được tính bằng tích phân

http://vi.wikipedia....

Quên mất, còn điều này nữa :
Bạn hỏi rằng, nếu có P(a), P(b) thì có phải tính xác suất là tích phân 2 lớp P(a)P(b) theo 2 biến a,b ko ?
Ok, mình lại giải thích tiếp. Bạn thấy bài tón này, a và b có phụ thuộc nhau ko ? Nghĩa là khi cắt a 1 đoạn x và x', thì khi muốn cắt b 1 đoạn y thì xác suất của nó có giông nhau ko ? Không. Nghĩa là Xác suất để có b=y phụ thuộc vào a người ta thường ký hiệu nó là P(b/a). Cái này là xác suất có đk
http://vi.wikipedia...._su%E...1u_kiện

Tạm thế nhé, còn thắc mắc nữa thì cứ hỏi , trả lời được tớ sẽ trả lời (may là có mấy trang wiki tiếng Việt, tuy ko đầy đủ bằng tiếng Pháp , nhưng có lẽ sẽ đủ để bạn hiểu)

OK, đúng!
Nhưng cái đoạn bạn cắt ấy, nó rơi xuống đất rồi nó sẽ là a
chứ bạn không được quyền nhặt nó lên "đo thử" rồi mới lấy đoạn ngắn ra bảo nó là a
Nếu bạn so sánh rồi thì đâu còn là cắt ngẫu nhiên!

Bạn hiểu ý mình không?

Bạn nhầm ! Làm sao lại có thể giải thích như thế ?? Nếu bạn nói thế thì tớ lại chỉ việc đo cọng dây tớ cầm trên tay xem nó có lớn hơn 0.5 ko, nếu có thì tớ cắt nó tiếp, nếu ko thì tớ lại cắt đoạn rơi xuống đất . Như thê à ? Mà nếu bạn làm thế thì tớ bảo 2 đứa bạn , mỗi đứa cầm 1 đầu rồi để tớ cắt, vậy thì ko có đoạn nào rơi xuống đất rồi nhé.

Bài số 2 liệu có sai đề hok chứ
Đây là toán lớp 5 mừ.
Trong 2005 số tự nhiên bấtkì phải có 1 số chia hết cho 5 chứ

em nhầm rồi , 2005 số tự nhiên bất kì, chứ nó có liên tiếp đâu . Ví dụ như dãy 5n+1 đấy.

nè hình như bài 2 là: " hoặc có 1 số mak tổng các chứ số của nó và nó chia hết cho 2005" k biết có đúng k????????

thế nếu anh lấy 2005 số như sau :1,2,3,...,2003,2004,2006.

Có số nào có tổng các chữ số chia hết cho 2005 ko em ? tổng các chữ số nhỏ nhất là 1, lớn nhất là 28 (số 1999), lấy đâu được số nào mà tổng các chữ số chia hết cho 2005 ??

Bài 2: (Đề thi năm 2004-2005)
Cho 2005 số tự nhiên bất kì. CMR trong các số đó, hoặc có 1 số chia hết cho 2005, hoặc có một số mà tổng của chúng chia hết cho 2005

"có một số mà tổng của chúng chia hết cho 2005"
Ai giải thích câu hỏi đi, tổng của chúng là tổng cái gì ? Có 1 số, mà "tổng của chúng" ?? Thât tớ ko hiểu đề.

Câu 3 :
Thầy giáo 30 tuổi , con thầy 5 tuổi.

Cách làm :

Từ đề bài, có thể suy ra tuổi của thầy chia hết cho tuổi con thầy, gọi tuổi thầy là n, con thầy là m, ta có :
$(n+m)+nm+(n-m)+\dfrac{n}{m} =216 =2n+n(m+\dfrac{1}{m})=n\dfrac{(m+1)^2}{m}=(m+1). (n\dfrac{m+1}{m})$

2 nhân tử trên đều là số nguyên.
$n=\dfrac{216m}{(m+1)^2}$ suy ra (m+1)^2 là ước của 216. Suy ra :
$(m+1). (n\dfrac{m+1}{m}) = 216 = 2.108 =3.72= 6. 36 $
Cộng thêm giả thiết đây là thầy giáo trẻ, giải ra được n=30 m=5

Bài 4 trên VMF đã có rồi !
Đây

Mình thì thấy 2 cái đề ko giống nhau , thật đấy !

Bài giải :
Gọi x1 , x2 là nghiệm của pt đã cho, dùng Viete , biến đổi P thành :
$P=\dfrac{(x_1 + x_2 +1)(2-x_1 x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)}$ với x1, x2 thuộc [0,1]

Xét $P=f(x_1) = \dfrac{2-x_1 x_2}{x_2 + 1} + \dfrac{x_2 (2-x_1 x_2)}{(x_1 +1)(x_2 +1)}$
Dễ thấy, khi x1 tăng thì P giảm, như vậy, P min khi x1=1, P max khi x1=0
Khi x1=0, $P=\dfrac{2}{x_2 +1} + \dfrac{2x_2}{x_2 +1} = 2$
Vậy max P =2 khi x1=0, nghĩa là c=0


Tìm min P (khi đó x1=1) :
Khi x1=1, $P=\dfrac{(2+x_2 )(2-x_2)}{2(x_2+1)} = \dfrac{4-x_2^2}{2(x_2+1)}$
Đến đây ta thấy x2 tăng thì P giảm, như vậy x2 lớn nhất thì P nhỏ nhất. Vậy x2=1 và $min \ P=\dfrac{3}{4}$
Khi đó, c=a, b=-2a

Nhầm , là $0^+$ . Bạn làm cụ thể luôn được không ?

Mình vẫn không dùng l'Hospital được . Tuy nhiên , áp dụng cách khác , có :
$\lim_{x\to + \infty } (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} = \lim_{x\to + \infty }e^{-\dfrac{x^{2-\alpha}}{2}}$
Do đó :

$\alpha=2$ được $\displaystyle e^{-\dfrac{1}{2}}$

$\alpha<2$ được 1

$\alpha>2$ được 0

Uhm , dùng định nghĩa đạo hàm để tìm lim bài 2 , cũng hay . Được rồi , tối nay mình sẽ pót cách dùng khai triển hữu hạn và 1 số bài mới . Chờ nhé , giờ đi học đã .

Okie . Bài 1 được rồi , còn 2 bài kia ?

biến đổi tan=sin/cos, và dùng limsinx/x=1 x tiến tới 0
câu 2 thi a<1 thì ghạn là vô cùng, lớn hơn 1 thì là 0. bằng 1 thì là 1

Bạn biến đổi câu 1 thử xem ??
Câu 2 ra kết quả $ \dfrac{1}{\alpha}$
Bạn nào không biết dùng khai triển hữu hạn thì dùng định lý De L'Hopital cũng thấy ngay . Thử với số 2 là biết .

Biến đổi thề nào ?? Còn là số thực .

Mình dùng khai triển hữa hạn , có gì sai xin mấy sư huynh chỉ giáo.
$sinx = x+x \varepsilon(x) , \varepsilon(x) \displaystyle\longrightarrow_{x \to 0} 0 $
$ \Rightarrow sinx \displaystyle\sim_{0} x$
$cosx = 1+x \varepsilon_1(x) , \varepsilon_1(x) \displaystyle\longrightarrow_{x \to 0} 0 $
$\Rightarrow cosx \displaystyle\sim_{0} 1$
$\Rightarrow tanx \displaystyle\sim_{0} x \Rightarrow tan^2x \displaystyle\sim_{0} x^2$
$cosx = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + x^2 \varepsilon '(x) , \varepsilon '(x) \displaystyle\longrightarrow_{x \to 0} 0$
$ \Rightarrow 1-cosx \displaystyle\sim_{0} \dfrac{x^2}{2!}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx}{tan^2x} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{2!} \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{2}$

Những bài sau cũng tương tự , sử dụng các công thức sau :
$x^{\alpha} - 1 \displaystyle\sim_{1} \alpha(x-1)$
$xsinx \displaystyle\sim_{0} x^2$

De to thu xem, lau qua khong dung latex quen mat tieu roi.
1)$ \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{\tan^2x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{1+\cos x}{2\sec^2x+2\tan \sec^2x)'}=\dfrac{1}{2} $ Các bài khác làm tương tự. Tớ quên mất làm sao để xem cách gõ công thức rồi. Mấy bác edit lại giùm. Thanks

Mình chỉ biết dùng L'Hospital để giải quyết những bài dạng $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ , còn ví dụ như $\lim_{x \to 0^+} (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} $ thì dùng làm sao ?

L'Hospiatal không giải quyết được hết mấy bài này đâu .

Mình đưa thêm vài bài nữa .
1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx+ln(cosx)}{x^4}$
2. $ \displaystyle\lim_{ x \to +\infty} (1 + \dfrac{a}{x})^x , a \in \mathbf{R} $
3. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} , \alpha \in \mathbf{R_+}$

Không ai tính ah ?

Mình đưa thêm vài bài nữa .
1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx+ln(cosx)}{x^4}$
2. $ \displaystyle\lim_{ x \to +\infty} (1 + \dfrac{a}{x})^x , a \in \mathbf{R} $
3. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} (cosx)^{\dfrac{1}{x^\alpha}} , \alpha \in \mathbf{R_+}$

Rảnh post mấy bài giới hạn chơi , tại mới học khai triển hữu hạn , dùng tính lim cũng hay hay nên đưa lên mời anh em tham khảo .
1 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-cosx}{tan^2 x}$
2 $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x-1}{x^\alpha -1}$
3 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{xsinx}{1-cosx}$