Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ ab+bc+ca> 0 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{10}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3x^{2}y^{2}z^{2}$ 

Tìm số nguyên tố $p= a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với a,b,c$\in \mathbb{Z}$ sao cho $a^{4} +b^{4} +c^{4} \vdots p$

http://diendantoanho...attach_id=24948

Mình cũng đóng góp 1 bài : 

Cho $(a^{m}-1)\vdots \left ( a^{n}-1 \right )$ với a,m,n là các số nguyên dương và $a\neq 1$

Chứng minh rằng : $m\vdots n$

BÀI 3: Chứng minh $\left ( a-3 \right )\left ( \frac{a^2}{6}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3} \right )$ là một số nguyên với mọi a nguyên. 

Mục đích ta đưa về dạng PT bậc 3 , bằng cách nhân phá ngoặc !

Đặt A=$\left ( a-3 \right )\left ( \frac{a^2}{6}-\frac{a}{2}+\frac{1}{3} \right )$ 

Ta có : A=$\frac{a^{3}}{6}-a^{2}+\frac{11}{6}a-1$

Do đó : ta cần chứng minh $(a^{3}+11.a) \vdots 6$

                                        $ \Leftrightarrow (a^{3}-a+12a)\vdots 6$

                                        $\Leftrightarrow a\left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )\vdots  6$

$ \Rightarrow$ Q.E.D 

 

BÀI 5: Tìm số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn điều kiện: $(1994!)^1995$ chia hết cho $1995^k$

Chắc đề bài của cậu là :  $\left ( 1994! \right )^{1995}\vdots 1995^{k}$

Ta có : 1995=3.5.7.19

Mục đích để sử dụng  LTE !

Để $\left ( 1994! \right )^{1995}\vdots 1995^{k}$

$\Rightarrow v_{19}\left [ \left ( 1994! \right )^{1995} \right ]\geq v_{19}\left ( 1995^{k} \right )$

$\Leftrightarrow 1995 .v_{19} \left ( 1994! \right )=5985\geq k$

Do đó : mình đoán là $Max_{k}=5985$ 

P/s: Không biết có đúng không ?

Mình cũng góp thêm mấy bài sử dụng Nguyên lí Đirrichle :

Bài 41 : Cho 1 đa giác đều 100 cạnh . Tại mỗi đỉnh của đa giác , viết 1 trong các số 1,2,3,...,49 .

            Chứng minh rằng tồn tại 4 đỉnh A,B,C,D của đa giác mà AB=CD và a+b=c+d ( kí hiệu a,b,c,d là số được viết tương ứng tại 4 đỉnh A,B,C,D )

Bài 42 :  Bên trong 1 tam giác đều cạnh 10 có 45 điểm .

             Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn bán kính 1 chứa ít nhất 3 trong 45 điểm đã cho

Bài 44 : Cho 1 hình tròn bán kính 5 , có 10 điểm bên trong đường tròn  .

               Chứng minh rằng : tồn tại 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 2 

Bài 46:Trong 1 bảng ô vuông 10$\times$ 10 , chọn 9 ô vuông , rồi tô đen các ô vuông đó . Biết rằng nếu 1 ô vuông trong bảng chưa được tô màu mà có cạnh chung với 2 ô vuông đã được tô màu thì ta tô đen ô vuông đó .

Hỏi có khi nào ta tô được hết bảng ô vuông trên thành các ô vuông màu đen không ?

Ta thấy : mỗi đấu thủ có số trân đấu đã đấu là $s_{i}\in \left \{ 0;1;2;...;7 \right \}$

Do không thể xảy ra trường hợp tồn tại 2 đấu thủ A , B mà $s_{A}= 0;s_{B}=7$ nên mỗi đấu thủ chỉ nhận 7 khả năng 

Theo nguyên lí Đirichle , ta có : $\exists$ 2 đấu thủ có số trận đấu là như nhau 

$\Rightarrow$ Q.E.D

p/s : Mình làm chắc là có chỗ sai sót mong mọi người góp ý !

Bài 37 : Trong một vườn rau cạnh 10 có 1 cái giếng . Các đường ống dẫn nước từ giếng được phân bố sao cho khoảng cách từ 1 điểm bất kì của vườn tới ống dẫn nước gần nhất không quá 1 .

              Chứng minh rằng : độ dài đường ống dẫn nước lớn hơn 48

Bài 38  : Tam giác ABC có độ dài mỗi đường phân giác nhỏ hơn 1 .

           Chứng minh rằng : diện tích tam giác đó nhỏ hơn $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài 39  : Trong 1 hình vuông cạnh 100 đặt n đường tròn bán kính 1 biết rằng bất kì 1 đoạn thẳng độ dài 10 nào nằm hoàn toàn trong hình vuông cũng cắt ít nhất 1 đường tròn đã cho .

                Chứng minh rằng : $n\geq 400$

Bài 159 : Giải phương trình:

                  a)$\sqrt{4x+3}=2x^{2}+2x$

                  b)$\sqrt{3x+2}=9x^{2}+6x $

                  c)$2\sqrt{x+2}=27x^{2}-27x-5$

                  d)$\sqrt{2x-5}=x^{2}-9x+17 $

                  e)$\sqrt[3]{3x+1}=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+x+1$

Mong rằng mọi người giải hết mấy bài ở trên còn sót , rồi mới đăng bài mới !

Ai giải hộ câu c cái !

Đặt ẩn đưa về hê phương trình , đi thi có mà lên cộc cộc 

Bài 55 : Giải phương trình :   a) $5\sqrt{\frac{2x^{2}+1}{5x-2}}\doteq \frac{2x^{2}+13}{4x-1}$

                                               b)$\sqrt{x+\frac{5}{x}}\doteq \frac{x^{2}+9}{x+4}$

                                               c)$x^{3}-x^{2}-x\doteq \frac{1}{3}$

Bài 56 : Cho a,b,c là các số thực dương

             Chứng minh rằng :

                                     $\sum \frac{1}{a\sqrt{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Bài 57 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

                                                                                $x(x+7)\doteq y^{3}-1$

 

Topic mình bị bỏ quên nên đăng vào đây luôn

Bài  : Tìm Min, Max của 

a) A = 3x + $x\sqrt{5 - x^{2}}$

b) B = $\sqrt{5x - x^{2}} + \sqrt{18 + 3x - x^{2}}$

 

-Tớ sẽ nêu ra hướng giải như sau : 

-Mục đích : sử dụng bất đẳng thức AM-GM ( rất quen thuộc với thcs )

- Do đó cần có đk là $x\geq 0$

Bài giải :

 - ĐKXĐ : $-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}$

- Xét 2 trường hợp :

               + Trường hợp 1 : $x<0$ $\Rightarrow A< 0$

              + Trường hợp 2 : $0 \leq x\leq \sqrt{5}$

                                Ta có : $A.\alpha =3x.\alpha + \alpha x \sqrt{5-x^{2}} \leq 3x.\alpha +\frac{\left ( \alpha ^{2}-1 \right )x^{2}+5}{2}$ 

                                                            $= \frac{\alpha^{2}-1}{2}.x^{2}+3x.\alpha +\frac{5}{2} \doteq \left ( \sqrt{\frac{\alpha ^{2}-1}{2}x}+\frac{3\alpha }{\sqrt{2\alpha^{2}-1}} \right )^{2}+ \frac{5}{2}-\frac{9\alpha ^{2}}{2\left ( \alpha ^{2}-1 \right )}$

                    Từ giải hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix}(\alpha x)^{2}=5-x^{2} & & \\ \sqrt{\frac{\alpha ^{2}-1}{2}}x+\frac{3\alpha }{\sqrt{2\left ( \alpha ^{2}-1 \right )}}=0 & & \end{matrix}\right.$

                                Do đó : ta tìm được $\alpha $ 

Điều còn lại chỉ là việc viết bài mà thội !

Nhưng nếu thay đầu bài lại thành A = 3x + $x\sqrt{5 +x^{2}}$ thì sẽ khó hơn !

Do đó : chúng ta cần phải có cách khác tốt hơn !

 Các bạn hãy thử giải bài toán sau và cho ý kiến của mình về phương pháp giải nó !

Sao em chả vẽ được hình vây ( em đã làm theo đúng như hướng dẫn ) ?

Ai có thể giúp em được không ? 

*** Cannot compile formula:


\definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.7529411764705882,0.7529411764705882,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\draw [color=cqcqcq,, xstep=2.0cm,ystep=2.0cm] (-6.010520432802782,-3.899832666505078) grid (14.449160454187478,7.560764777307057);
\draw[->,color=black] (-6.010520432802782,0.) -- (14.449160454187478,0.);
\foreach \x in {-6.,-4.,-2.,2.,4.,6.,8.,10.,12.,14.}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0.,-3.899832666505078) -- (0.,7.560764777307057);
\foreach \y in {-2.,2.,4.,6.}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw[color=black] (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-6.010520432802782,-3.899832666505078) rectangle (14.449160454187478,7.560764777307057);
\fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (4.,4.) -- (1.2946178916594577,-0.6178139989930581) -- (8.679159893561504,-1.3059792034713849) -- (7.223425807165043,3.034755163238061) -- cycle;
\draw [color=zzttqq] (4.,4.)-- (1.2946178916594577,-0.6178139989930581);
\draw [color=zzttqq] (1.2946178916594577,-0.6178139989930581)-- (8.679159893561504,-1.3059792034713849);
\draw [color=zzttqq] (8.679159893561504,-1.3059792034713849)-- (7.223425807165043,3.034755163238061);
\draw [color=zzttqq] (7.223425807165043,3.034755163238061)-- (4.,4.);
\draw [shift={(5.6117129035825215,3.5173775816190305)}] plot[domain=-0.2909492779361713:2.850643375653622,variable=\t]({1.*1.6824217314033656*cos(\t r)+0.*1.6824217314033656*sin(\t r)},{0.*1.6824217314033656*cos(\t r)+1.*1.6824217314033656*sin(\t r)});
\draw [shift={(5.066936264227371,-0.10292672888175174)},color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1]  (0,0) --  plot[domain=-3.0059399648428804:0.9686532921640948,variable=\t]({1.*3.807294945881669*cos(\t r)+0.*3.807294945881669*sin(\t r)},{0.*3.807294945881669*cos(\t r)+1.*3.807294945881669*sin(\t r)}) -- cycle ;
\draw [shift={(4.704021782139972,0.486151850738372)},color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1]  (0,0) --  plot[domain=0.7911595923868464:3.454739042113954,variable=\t]({1.*3.5836818337844827*cos(\t r)+0.*3.5836818337844827*sin(\t r)},{0.*3.5836818337844827*cos(\t r)+1.*3.5836818337844827*sin(\t r)}) -- cycle ;
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff] (4.,4.) circle (1.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (1.2946178916594577,-0.6178139989930581) circle (1.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (8.679159893561504,-1.3059792034713849) circle (1.5pt);
\draw [fill=qqqqff] (7.223425807165043,3.034755163238061) circle (1.5pt);
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}


*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty