Cho $x=y$ hoặc $x=-y$

Tính min M=$2x^{4}-y^{4}+6xy+8y^{2}-10x-2y+2024$

Cho $(O)$ có dây $MN$ khác đường kính và $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $MN$. Lấy $C,D$ bất kì thuộc $MN$. $AC, AD$ cắt $(O)$ lần lượt tại $E$ và $F$.

a) Chứng minh tứ giác $CDFE$ nội tiếp (done)

b) Chứng minh $AM^{2}=AC.AE$ (done)

c) Kẻ đường kính $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC. Chứng minh $M,I,B$ thẳng hàng. (?)

Cho đường tròn $(O,R),$ điểm $M$ ở ngoài đường tròn sao cho $OM=2R.$ Kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ tới đường tròn $(A,B$ là các tiếp điểm $).OM$ cắt $AB$ tại $H.HD \perp MA$ tại $D.C$ thuộc cung nhỏ $AB.$ Tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(O,R)$ cắt $MA,MB$ lần lượt tại $E$ và $F.$

c) Tính theo $R$ chu vi $\Delta MEF.$
d) Đường tròn đường kính $MB$ cắt $BD$ tại $I.K$ là trung điểm của $OA.$ Chứng minh $\overline{M,I,K}.$
 

Bài 1: Cho x, y > 0 và $x^{3}+y^{3}+6xy\leq 8$.

Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Bài 1: Xét các số $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2012$. 

Tìm GTNN của biểu thức $P=2xy-yz-zx$

Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x+1)(y+z)=xyz+2$

Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây $AB$. Vẽ đường kính $CD$ vuông góc với $AB$ tại $K$ ($D$ thuộc cung nhỏ $AB$). $M$ là một điểm thuộc cung nhỏ $BC$ sao cho cung $MC$ < cung $MB$. $DM$ cắt $AB$ tại $F$. Tia $CM$ cắt đường thẳng $AB$ tại $E$

a) Chứng minh tứ giác $DEMK$ nội tiếp

b) Chứng minh $KE.KF=KC.KD$

c) Tiếp tuyến tại M của $(O)$ cắt AE tại I. Chứng minh tam giác $IFM$ cân

d) Chứng minh $FB.EK=EB.KA$ (tập trung câu d)

Từ điểm $A$ cố định ngoài $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC$ ($B,C$ là tiếp điểm). Đường thẳng bất kì qua $A$ cắt $(O)$ tại $M,N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $AB,AC$ tại $E,F$. Dựng đường thẳng qua $O$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ tại $P,Q$.
a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp
b) Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $I$. Chứng minh $NI$ đi qua trung điểm $AB$
Tìm vị trí điểm $M$ để:
c) $EF$ đạt GTNN
d) Diện tích tam giác $AEF$ đạt GTLN
Mọi người cho mình hướng làm chi tiết c, d nhé! Có thể sử dụng kết quả phần trước và làm tắt các đoạn đơn giản.

Từ một điểm $A$ ở ngoài $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC$ ($B,C$ là tiếp điểm). Kẻ đường kính $BE$ của $(O)$, $AE$ cắt $(O)$ tại $F$.

a) Chứng minh $AB^{2}=AF.AE$

b) Kẻ đường kính $FH$, $HC$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh $K$ là trung điểm $EF$

c) Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Chứng minh $IC$ là tia phân giác của góc $EIF$

d) Gọi $P$ là giao điểm của $OK$ và $BC$. Chứng minh $PE$ là tiếp tuyến của $(O)$

Mình đang mắc câu c và d, mọi người chỉ cho mình hướng giải hai câu cuối nhé! 

Cho $(O; AB)$ và $C$ di chuyển trên nửa đường tròn. Tia phân giác $ACB$ cắt $(O)$ tại $M$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AC, BC$. Gọi giao điểm của $CM$ và $HK$ là $I$. Khi $C$ di chuyển trên $(O)$ thì $I$ di chuyển trên đường nào? (Được phép sử dụng các kết quả sau: $H, O, N, K$ thẳng hàng; $CKMH$ là hình vuông; các tứ giác $AOMH, MOKB$ nội tiếp)

Cho $(O; AB)$ và $C$ di chuyển trên nửa đường tròn. Tia phân giác $ACB$ cắt $(O)$ tại $M$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AC, BC$. Gọi giao điểm của $CM$ và $HK$ là $I$. Khi $C$ di chuyển trên $(O)$ thì $I$ di chuyển trên đường nào? (Được phép sử dụng các kết quả sau: $H, O, K$ thẳng hang; $CKMH$ là hình vuông; các tứ giác $AOMH, MOKB$ nội tiếp)

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE cắt (O) lần lượt tại F và K.
a) Chứng minh BC . BE = BD . BA
b) Chứng minh tứ giác AFBC nội tiếp
c) Chứng minh FK // AC
d) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF (mình đang thắc mắc phần d)
 

Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Điểm H thuộc OA. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AH và đường tròn (O2) đường kính BH. Nối AC cắt (O1) tại M, nối BC cắt (O2) tại N. MN cắt (O;R) tại E và F.
1. Chứng minh CMHN là hình chữ nhật
2. Cho AH=4, HB=9, tính MN.
3. Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của (O1) và (O2).
4. Chứng minh CE=CF=CH.
MN GIÚP MÌNH CÂU CUỐI NHÉ!!! CẢM ƠN MN NHIỀU...

 $\left\{\begin{matrix} \frac{6}{2x-3y}+\frac{2}{x+2y}=3 & & \\ \frac{3}{x-2y}+\frac{4}{x+2y}=-1 & & \end{matrix}\right.$

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 0. Tìm GTNN của $p=\frac{ab}{c^{2}(a+b)}+\frac{ac}{b^{2}(a+c)}+\frac{bc}{a^{2}(b+c)}$

Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính vuông góc AB và CD. Lấy K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH ⊥ AB tại H. Nối AC cắt HK tại I, BC cắt HK tại E, nối AE cắt (O;R) tại F.
a) CM tứ giác BHFE nội tiếp
b) EC.EB=EF.EA
c) Cho H là trung điểm OA, tính theo R diện tích tam giác CEF.
d) Cho K di chuyển trên cung nhỏ AC. Chứng minh đường thẳng FH luôn đi qua 1 điểm cố định
MN GIÚP MÌNH 2 CÂU CUỐI NHÉ!!!

Cho đường tròn (O;R) với dây BC cố định (BC không đi qua O). Gọi A là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Điểm E thuộc cung lớn BC. Nối AE cắt dây BC tại D. Gọi I là trung điểm dây BC. Hạ CH vuông góc với AE. đường thẳng BE cắt CH tại M 
a) Chứng minh AHCI nội tiếp
b) Chứng minh AD.AE= AB^2
c) Cho BC = R căn 3. Tính AC
d) Tìm vị trí điểm E để diện tích tam giác MAC max
giúp mình câu c thôi mn ơi

Bài 1: Cho $P=\frac{4x}{\sqrt{x}-1}$

Với $x>9$, tìm GTNN của P

Bài 2: Giải phương trình

$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Điểm E chuyển động trên đoạn BC. Nối AE cắt cung BC tại H. Nối BH cắt AC tại K. Nối KE cắt AB tại M.
a/ CM: Tứ giác KCEH nội tiếp
b/ CM: Góc CHK không đổi

c/ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AE và BK. CM: IJ vuông góc CM

Mọi người giúp mình câu c với!

Cho 1 < x < 2. Tìm GTNN của:

$M=\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{(2-x)^{2}}+\frac{1}{(x-1)(2-x)}$

Tìm x, y > 0 sao cho:

$(x^{2}+y+\frac{3}{4})(y^{2}+x+\frac{3}{4})=(2x+\frac{1}{2})(2y+\frac{1}{2})$

Bài 4: Cho x > 1, y > 1. Tìm GTNN của:

$P=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}$

Cho A = $\frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+2}$

Tìm GTNN của A

Hãy chứng minh $15a^{2}+8a+6$ và $30a^{2}+21a+13$ là hai số nguyên tố cùng nhau.