Câu 1:

$ \cdot 1$ Giải phương trình

$$\sqrt{3x+1} + \sqrt{2-x} = 3$$

$ \cdot 2$ Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{x}+ y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{9}{2}\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}(x + \dfrac{1}{y}) = xy + \dfrac{1}{xy} \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2:

$ \cdot 1$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{a+b} + \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}$$.

$\cdot 2$ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\overline{abc} - (10d+e)$ chia hết cho $101$ ?

 

Câu 3:
Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $AB < AC$. Đường phân giác của $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D \neq A$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $O$. Giả dụ $(ABM)$ cắt $AC$ tại $F$. CMR:
$1) \triangle BDM \sim \triangle BCF$

$2)  EF \perp AC$

 

Câu 4:

Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $abc + bcd + cad + bad = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$P = 4(a^3 + b^3 + c^3) + 9d^3$$

Thấy câu 2.2 hay hay.

Giải cho mọi người tý.

Ta có $0\le10d+e\le99$

Tức là có 100 số.

Mặt khác, ta có $\overline{abc}=k.101+\overline{de}$.

Do vậy ta có $100\le k.101+\overline{de} \le 999$

Suy ra, $1\le k\le 9$.

Với $1\le k\le 8$ ta có $8.100=800$ số.

Với $k=9$ thì Ta có được 90 số.

Vậy có 890 số

Vậy có tổng cộng $9.100=900$ số có năm chữ số thỏa mãn.

bài 16: Ta có $I_n=\int_0^t\frac{(t-x)^n}{n!}e^x{\rm d}x=\frac{(t-x)^n}{n!}e^x\Bigg|_0^t+\int_0^t\frac{(t-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x{\rm d}x=\frac{t^n}{n!}+I_{n-1}$

Theo công thức truy hồi ta được $I_n=\frac{t^n}{n!}+I_{n-1}=\frac{t^n}{n!}+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots+\frac{t}{1}+I_0$

Mà $I_0=\int_0^te^x{\rm d}x=e^t-1$

Vậy $I_{16}=I_n=\frac{t^n}{n!}+I_{n-1}=\frac{t^n}{n!}+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots+\frac{t}{1}+e^t-1$.

Gửi cả nhà đáp án môn Toán. Đảm bảo chi tiết, dễ hiểu và chính xác 100%.

 

Đáp án hoàn chỉnh đây nhé.

Có lẽ các MOD di chuyển bài của mình đi rồi.

Mấy anh chị cho em hỏi: em bây giờ đang học cấp 3, em có lòng say mê kĩ thuật, vì vậy nên em muốn thi vào Bách Khoa Hà Nội( em thich chế tạo máy) thì ngay từ bây giờ phải ôn luyện nhưng gì ạ? Nếu muốn thi vào chế tạo máy, thì có thi được vào KSTN không? Để thi vào KSTn thì bây ngay từ bây giờ phải học những môn gì, và tham khảo những sách nào? Cám ơn các anh chị trước!

Đầu tiên em phải ôn thi để đỗ được đại học đã. Không biết đến khi em tham gia thi đại học thì KSTN có mở lớp chuyên ngành Chế tạo máy không.
Nhưng để học tốt ngành chế tạo máy thì em nên học trước Autocad, vẽ kỹ thuật. Hai thứ này để làm nền cho em học chế tạo máy tốt hơn, còn lại em phải cố gắng học thật tốt ở trường DH nữa.

đề thi vào lớp KSTN là chương trình THPT chuyên hay là toán cao cấp và vật lí đại cương của đại học hả anh , nếu ko học trường chuyên thì có khả năng thi ko anh , em thấy vẫn có người ko học trường chuyên vẫn đỗ vào lớp KSTN

Chương trình học KSTN cũng như chương trình học như ở bên ngoài, có điều sẽ nâng cao hơn, chuyên sâu học, được các giảng viên hàng đầu giảng dạy. Những ai đã học trường chuyên THPT sẽ rất có lợi thế vì sẽ sử dụng tương đối nhiều kiến thức chuyên trong mấy năm đầu.
Nhưng em không học trường chuyên vẫn có khả năng đỗ vào các lớp KSTN, nhưng để tiếp tục học sẽ rất khó khăn nên cần phải cố gắng nhiều.

Như hồi anh đăng ký thi, các nhân viên của trung tâm KSTN sẽ phát cho bọn em đề thi và đáp án của một số năm trước để các em tham khảo.

Bây giờ em muốn thi vào KSTN Công nghệ Hữu cơ - Hóa dầu cũng phải thi Toán Lý ạ? Nếu đậu HSG Quốc Gia thì có được tuyển thẳng hay chỉ được cộng điểm ạ?

Khi em đăng ký thi vào các lớp KSTN, trung tâm sẽ có 6 chuyên ngành để em đăng ký. Tùy theo số lượng học sinh đăng ký và thi đỗ của các chuyên ngành để mở lớp. Thông thường mỗi năm chỉ mở khoảng 4 lớp chuyên ngành: CNTT, Điều khiển tự động, DTVT, và 1 ngành khác.

Môn thi là Toán và Lý. Những ai có đạt giải HSG Quốc gia thì xét theo tùy giải, tùy chuyên ngành để được tuyển thẳng hoặc cộng điểm thi đầu vào KSTN.
Như năm 2006 của bọn anh thì từ giải ba Quốc gia sẽ được tuyển thằng, giải tư thì dc cộng 1 điểm.

Cho em hỏi ngành Toán tin ứng dụng lấy điểm bao nhiu không ạ
Có anh chị nào biết điểm chuẩn các năm thì post lên luôn nhé. Em cảm ơn nhiều

Năm 2006, khoa Toán tin lấy 12 điểm thì phải, lâu rồi không nhớ lắm.
Ngành Toán tin là ngành ít học sinh tham gia học nhất vì đa số mọi người nghĩ Toán tin không phải là kỹ thuật, nhưng những ai đã học ngành Toán tin rồi sẽ thấy ngành này rất hay. Các em có thể xem cuốn giới thiệu các ngành nghề của Bách khoa để biết chi tiết về các ngành trong BK.

10/$(x+2)^{4}+x^{4}-82$

Ta có $(x+2)^{4}+x^{4}-82=[(x+2)^4-3^4]+[x^4-1]=(x-1)[((x+2)^2+9)(x+5)+(x^2+1)(x+1)]$

$=(x-1)(2x^3+10x^2+34x+66)=2(x-1)(x+3)(x^2+2x+11)$

8/$a^{4}(b-c)+b^{4}(c-a)+c^{4}(a-b)$

Ta có $a^{4}(b-c)+b^{4}(c-a)+c^{4}(a-b)=(a^4b-ab^4)-c(a^4-b^4)+c^4(a-b)$

$=(a-b)[ab(a^2+ab+b^2)-c(a+b)(a^2+b^2)+c^4]$

$=(a-b)[(b-c)a^3+a^2b(b-c)+ab^2(b-c)-c(b^3-c^3)]$

$=(a-b)(b-c)[(a^3-c^3)+b(a^2-c^2)+b^2(a-c)]$

$=(a-b)(b-c)(a-c)(a^2+b^2+c^2+ac+ab+bc)$

Mình thấy có mấy bài PTĐTTNT hay mà chưa biết cách giải mong mấy bạn giúp giùm mình:

1/$x^{3}-2x-1$

2/$x^{3}+3x-4$

3/$x^{3}y^{3}+x^{2}y^{2}+4$

4/$x^{2}-7x+12$

5/$x^{2}-5x+14$

6/$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}$

7/$(x+1)(x+2)(x-5)(x-7)-20$

8/$a^{4}(b-c)+b^{4}(c-a)+c^{4}(a-b)$

9/$(x-3)(x-5)(x-6)(x-10)-24x^{2}$

10/$(x+2)^{4}+x^{4}-82$

11/$(x+y)^{5}-x^{5}-y^{5}$

12/$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xy^2$

13/$x^8+x^4+1$

14/$x^{16}+x^8y^8+y^{16}$

15/$bc(a+d)(b-c)-ac(b+d)(a-c)+ab(c+d)(a-b)$

Bài 1: Ta nhận thấy $x=-1$ thỏa mãn PT đa thức bằng 0 nên ta phân tích được $x^{3}-2x-1=(x+1)(x^2-x-1)$

Bài 2: Tương tự ta thấy $x=1$ là nghiệm của PT đa thức bằng 0 nên ta phân tích được $x^{3}+3x-4=(x-1)(x^2+x+4)$

bài 3: Coi $xy$ là một ẩn ta làm tương tự như bài 1 và bài 2 được $P_3=(xy+2)(x^2y^2-xy+2)$

Bài 4 và bài 5 là đa thức bậc hai nên đơn giản rồi.

21/$x^4-2x^2-400x-9999$

22/$xy-3xy(1-x+y)+x^2(x+1)-y^2(y-1)$

23/$x^6-x^4-9x^3+9x^2$

24/$x^4+4x^3-x^2-x$

Bài 21: Nhẩm nghiệm $x=-9$.

Ta được $x^4-2x^2-400x-9999=(x+9)(x^3-9x^2+79x-1111)=(x+9)(x-11)(x^2+2x+101)$

Bài 23: $x^6-x^4-9x^3+9x^2=x^2(x^4-x^2-9x+9)=x^2(x-1)(x^3+x^2-9)$

Bài 24: $x^4+4x^3-x^2-x=x(x^3+4x^2-x-1)$

Bài 22 và 24 bạn xem lại đề nhé.

18/$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(z-y)$

19/$x^3(y^2-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$

20/$2x^5-3x^4+6x^3-8x^2+3$

21/$x^4-2x^2-400x-9999$

22/$xy-3xy(1-x+y)+x^2(x+1)-y^2(y-1)$

23/$x^6-x^4-9x^3+9x^2$

24/$x^4+4x^3-x^2-x$

Bài 18: Bạn xem lại cái số hạng cuối là $x-y$ hay $z-y$ nhé.

Mình nghĩ $x-y$ thì hợp lý hơn và kết quả đẹp.

Bài 19: Bạn cũng nên xem lại đề, nhìn đề là thấy không hợp lý rồi (Cho vào máy tính để phân tích cũng k được.)

Bài 20: Nhận xét PT đa thức bằng 0 có nghiệm là $x=1$ nên

$2x^5-3x^4+6x^3-8x^2+3=(x-1)(2x^4-x^3+5x^2-3x-3)$  đa thức kia tiếp tục có nghiệm $x=1$ nên

$(x-1)(2x^4-x^3+5x^2-3x-3)=(x-1)^2(2x^3+x^2+6x+3)=(x-1)^2(2x+1)(x^2+3)$

11/$(x+y)^{5}-x^{5}-y^{5}$

12/$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xy^2$

Bài 11: Ta có $(x+y)^{5}-x^{5}-y^{5}=(x+y)^5-(x^5+y^5)=(x+y)[(x+y)^4-(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)]$

$(x+y)(3x^3y+5x^2y^2+3xy^3)=xy(x+y)(3x^2+5xy+3y^2)$

Bài 12: Sai đề rồi, không phân tích được

6/$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}$

7/$(x+1)(x+2)(x-5)(x-7)-20$

Bài 6: Áp dụng hằng đẳng thức ta được $(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=(b+c)\left ( (a+b+c)^2+a(a+b+c)+a^2 \right )-(b+c)(b^2-bc+c^2)$

$=(b+c)\left ( a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+a^2+ab+ac+a^2-b^2-c^2+bc \right )$

$=(b+c)(3a^2+3ab+3bc+3ca)=3(a+b)(b+c)(c+a)$

Bài 7: Bạn nên xem lại đề, nếu mình không nhầm thì thay $x-5$ bằng $x-6$. Mình đã thử bằng phần mềm thấy k thể phân tích thành nhân tử với DK như trên được

Mình xin bổ sung thêm vài bài nữa:

16/$x^4+6x^3+7x^2-6x+1$

17/$(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12$

Bài 16: Đây là đa thức bậc 4 đối xứng.

Với $x\ne0$ ta phân tích $P=x^2\left [ x^2+6x+7-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2} \right ]$

Đặt $x-\frac{1}{x}=t\Rightarrow t^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2$

Do đó, $\frac{P}{x^2}=t^2+2+6t+7=(t+3)^2=(x-\frac{1}{x}+3)^2$

Nên $P=(x^2+3x-1)^2$

Bài 17: Đặt $x^2+x+1=t$. Ta được $P_{17}=t^2+t-12=(t+4)(t-3)=(x^2+x+5)(x^2+x-2)$

14/$x^{16}+x^8y^8+y^{16}$

15/$bc(a+d)(b-c)-ac(b+d)(a-c)+ab(c+d)(a-b)$

Bài 14: Ta có $x^{16}+x^8y^8+y^{16}=(x^8+y^8)^2-x^8y^8=[x^8+y^8-x^4y^4](x^8+y^8+x^4y^4)$

$=[x^8+y^8-x^4y^4][(x^4+y^4)^2-x^4y^4]=[x^8+y^8-x^4y^4](x^4+y^4-x^2y^2)(x^4+y^4+x^2y^2)$

$[x^8+y^8-x^4y^4](x^4+y^4-x^2y^2)(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)$

Bài 15: $bc(a+d)(b-c)-ac(b+d)(a-c)+ab(c+d)(a-b)=-(b-a)(c-a)(c-b)d$

Bài 5: Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thoả mãn đẳng thức $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

Ta có $(x-y)(x+y)=\sqrt{y+1}>0$.

Suy ra $x>y$.

Suy ra $x\ge 1$ nên $x+y\ge y+1\ge 1$.

Mặt khác, $x-y>0$ nên $x-y\ge 1$.

Do đó, $(x-y)(x+y)\ge y+1\ge\sqrt{y+1}$.

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $y+1=1;x+y=y+1;x-y=1$.

Tức là $x=1;y=0$.

Bài 2: Tìm các chữ số $a,b,c$ biết rằng $\sqrt{\overline{abc}}=(a+b)\sqrt{c}$

Suy ra $c$ là số chính phương nên $c=\{0;1;4;9\}$.

TH1: $c=0$ suy ra $a=b=0$.  (không biết TH này có dc nhận nghiệm không vì không nói rõ $\overline{abc}$ bắt buộc là số có ba chữ số, Theo mình là nhận nghiệm này)

TH2: $c=1$. Suy ra, $\sqrt{\overline{abc}}$ có chữ số tận cùng là 1.

Do đó $a+b$ có chữ số tận cùng là 1. Có các TH sau: $a+b=1+0=0+1=1$ hoặc $a+b=2+9=3+8=4+7=5+6$.

Mặt khác $\overline{abc}=(a+b)^2c$ là số chính phương nên $\overline{abc}$ có dạng $4k$ hoặc $4k+1$.

Nên ta được $\overline{abc}$ có dạng $4k+1$ nên $a=3;b=8$ hoặc $a=5;b=7$.

Các số là $381;741$.

Thử lại, thì hai số này loại.

TH3: $c=4$.

Ta có $\overline{ab4}\equiv a+b+1\mod 3$ và $4(a+b)^2\equiv (a+b)^2\mod 3$.

TH này vô nghiệm.

TH4: $c=9$

Bài 3 : Tìm các giá trị nguyên $x,y$ thoả mãn đẳng thức $(y+2)x^2+1=y^2$

 

Ta có $x^2(y+2)=(y-1)(y+1)$.

TH1: Nếu $y\ge 0$.

Ta có $y+2> y+1>y-1\ge 0$.

Do đó, PT chỉ xảy ra khi $x=0$.

Suy ra, $y=1$.

TH2: Nếu $y<0$.

Ta có, nếu $y<-1$ thì $y^2-1>0; (y+2)x^2\le 0$

Suy ra vô nghiệm.

Nếu $y=-1$ thì $x=0$ thỏa mãn.

Vậy có hai nghiệm $x=0;y=-1$ và $x=0;y=1$.

Bài 2:

1. Ta biến đổi PT thành $(x-1)^4-6(x-1)^2+m+6=0$.

Đặt $(x-1)^2=t$. ĐK $t\ge0$.

PT trở thành $t^2-6t+m+6=0\quad (*)$

PT ban đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm dương phân biệt.

ta được kết quả là $-6<m<3$.

2. Đặt $t=\frac{2}{y}$.

Hệ trở thành $3x=t^3-2$ và $x^3-2=3t$

Đây là hệ đối xứng loại I. Hệ có nghiệm là $x=t=-1$ và $x=t=2$.

Thay vào ta được $y$.

Mọi người thông cảm là mình không thấy nút hiện web công thức toán ở đâu cả nên không thể viết chi tiết.

Bài 1:

1. $P=\frac{x+8}{\sqrt x+1}$. ĐK $x\ge0, x\ne 3$.

2. Ta có $P=\sqrt x+1+\frac{9}{\sqrt x+1}-2\ge6-2=4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 4 đạt tại $x=4$.

Bài 4:

1. Ta thấy $AH$ chính là đường kính của đường tròn $(\omega)$.

Ta dễ dàng chứng minh được $ANDM$ nội tiếp đường tròn đường kính $AM$.

Suy ra $\hat{NAD}=\hat{NMD}$.

Suy ra $\hat{NHA}=\hat{DHM}$. Suy ra $N, H, M$ thẳng hàng. (góc đối đỉnh).

Bài 4:

2. Ta có $\hat{NDE}=\hat{NDA}+\hat{ADE}=\hat{NMA}+\hat{ABE} \quad (1)$. (Vì ANDM nội tiếp đường tròn đường kính AM, ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB)

Ta có $\hat{FDK}=\hat{FDA}+\hat{ADK}=\hat{FCA}+\hat{NMA}\quad (2)$. (Vì AFDC nội tiếp đường tròn đường kính AC, HDMK nội tiếp đường tròn đường kính HM)

Mặt khác, $\hat{ABE}=\hat{ACF}\quad (3)$ (cùng phụ góc $\hat{BAC}$).

Từ (1), (2) và (3) suy ra dpcm.

Bài 3:

1. Như các giải của bạn đăng trước. Đầu tiên mình chứng minh $n$ chẵn. Sau đó, đặt $n=2k$ và phân tích.

Kết quả thu được $n=6$ và $n=4$.

2. Ta có BPT tương đương $2m^2-2mn\sqrt6+1<0$

tương đương $\frac{n\sqrt6-\sqrt{6n^2-2}}{2}<m<\frac{n\sqrt6+\sqrt{6n^2-2}}{2}<n\sqrt6$

cái này luôn đúng vì $\sqrt6-\frac{m}{n}>0$.

Vậy ta được dpcm.