Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=4$ với $0<x<\frac{\pi}{2}$ . Tìm max,min  y= $a+b\sqrt{2}sinx+csin2x$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có $y^{2} =a+b\sqrt{2}\sin x+c\sin 2x)^2$

$\le (a^2+b^2+c^2)(1+2\sin^2x+4\sin^2x\cos^2x)$

$=4(1+2\sin^2x+4\sin^2x(1-\cos^2x))=4(-4\sin^4x+6\sin^2x+1)\le 4.\frac{13}{4}=13$

Do đó, $-\sqrt{13} \le y \le \sqrt{13}$. (Bạn tự xét trường hợp dấu "=" xảy ra)

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là $-\sqrt{13}$, giá trị lớn nhất của y là $\sqrt{13}$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có $y^2 = (a+b\sqrt{2}\sinx+c\sin2x)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(1+2\sin^2x+4\sin^2x\cos^2x)$

$=4(1+2\sin^2x+4\sin^2x(1-\cos^2x))=4(-4\sin^4x+6\sin^2x+1)\le 4.\frac{13}{4}=13$

Do đó, $-\sqrt{13} \le y \le \sqrt{13}$. (Bạn tự xét trường hợp dấu "=" xảy ra)

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là $-\sqrt{13}$, giá trị lớn nhất của y là $\sqrt{13}$.

Trong mặt phẳng Oxy, lấy A(1;3), B(4;-1), C(-5;-5)

1/xác định tọa độ điểm D là giao phân giác trong góc A cắt BC

2/Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

a) Gọi $D(x ; y)$. Ta có tính chất sau $\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}=-\frac{AB}{AC}$

Từ đó bạn tính được D.

b) Bạn viết được phương trình phân giác trong AD. Tương tự, bạn viết phương trình phân giác trong BE.

Do đó, tâm I là giao của AD và BE.

Bài 1:  Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ đỉnh A$(2;-14)$ trọng tâm G$\frac{-5}{3};\frac{-7}{3}$) và tọa độ tâm đường tròn nội tiếp J$(-2;-6)$. Tìm tọa độ các đỉnh $B$; $C$.

 

 

Bài 2:  Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, Cho tam giác ABC có $C$ thuộc đường thẳng$y=2x-4$ đường phân giác trong góc B: $x +y - 1 = 0$ Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ có tâm $I(0;1)$ tiếp xúc $AC$ tại $E$ và $AB$ tại $F$ sao cho $E$ và $F$ thuộc trục hoành. Xác định 3 đỉnh tam giác $ABC$

 

Bài 3;  Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có $A(2;-14)$ , Trực tâm $H(-26;-10)$ Tâm đường tròn nội tiếp $J(-2;-6)$. Xác định tọa độ đinh $B$ và $C$ của tam giác $ABC$

 

 

Bài 4:  Cho tam giác $ABC$ có Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp là I($\frac{21}{2};\frac{3}{2}$ ) , tâm đường tròn nội tiếp I($\frac{-5}{3};\frac{-7}{3}$). Trực tâm H$(-26;-10)$. Xác định tọa độ 3 đỉnh tam giác ABC

Bài 1:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $\vec{AG}=2\vec{GM}$ nên ($M(-\frac{7}{2};\frac{7}{2})$.

Gọi $B(a;b)$.

Ta có $C(-7-a;7-b)$.

PT các cạnh của tam giác là

$AB: (b+14)(x-2)-(a-2)(y+14)=0$

$AC: (21-b)(x-2)+(a+9)(y+14)=0$

$BC: (2b-7)(x+7/2)-(2a+7)(y-7/2)=0$

Sau đó, khoảng cách từ tâm $J$ đến ba cạnh này bằng nhau.

Ta giải hệ sẽ được nghiệm.

 

Xin nhờ các anh chị tìm giúp em quy luật của dãy số sau ạ. Xin chân thành cảm ơn

       2.20        2.48        2.76        3.03        3.31        3.59        3.87        4.14        4.42        4.70        4.98        5.26        5.53        5.81        6.09        6.37        6.64        6.92        7.20        7.48        7.76        8.03        8.31        8.59        8.87        9.14        9.42        9.70        9.98      10.26      10.53      10.81      11.09      11.37      11.64      11.92      12.20      12.48      12.76      13.03      13.31      13.59      13.87      14.14      14.42      14.70      14.98      15.26      15.53

 

Quy luật như này nhé.

Em xét hiệu của hai số liên tiếp nhau sẽ được

28 28 27 28 28 28 27 28 28 28 28 27 ...

Số lần các lần tăng 0,28 liên tiếp được tăng dần dần lên. Từ 02 lần, lên 03 lần, 04 lần, ... và xen giữa là lần tăng 0,27.

x,y là nghiệm của hệ

 

 

 $\left\{\begin{matrix} & x^3-3x^2+5x-17=0\\ & y^3-3y^2+5y+11=0 \end{matrix}\right.$

 

Tính x+y

Khảo sát hàm số $f(t)=t^3-3t^2+5t-3$.

Hàm số có điểm uốn $I(1;0)$ là tâm đối xứng.

Mặt khác, hai đường thẳng $y=-14$ và $y=14$ đối xứng nhau qua $Ox$ và $x_0$ là nghiệm của PT thứ nhất chính là hoành độ giao điểm của $f(t)$ với $y=14$,

Tương tự$y_0$ là nghiệm của PT thứ hai là hoành độ giao điểm của $f(t)$ với $y=-14$.

Suy ra, $x_0$ và $y_0$ đối xứng qua điểm $I$.

Suy ra, $x_0+y_0=2x_I=2$.

Bài này không có giá trị nhỏ nhất đâu.

Bạn xem lại đề đi nhé.

Cho

$x+y\geq 1$

Tìm GTNN của x.y

Đề thiếu dữ liệu rồi bạn ạ. $x;y$ có thể là vô cùng.

Bây giờ em muốn thi vào KSTN Công nghệ Hữu cơ - Hóa dầu cũng phải thi Toán Lý ạ? Nếu đậu HSG Quốc Gia thì có được tuyển thẳng hay chỉ được cộng điểm ạ?

Mấy anh chị cho em hỏi: em bây giờ đang học cấp 3, em có lòng say mê kĩ thuật, vì vậy nên em muốn thi vào Bách Khoa Hà Nội( em thich chế tạo máy) thì ngay từ bây giờ phải ôn luyện nhưng gì ạ? Nếu muốn thi vào chế tạo máy, thì có thi được vào KSTN không? Để thi vào KSTn thì bây ngay từ bây giờ phải học những môn gì, và tham khảo những sách nào? Cám ơn các anh chị trước!

Cho em hỏi ngành Toán tin ứng dụng lấy điểm bao nhiu không ạ
Có anh chị nào biết điểm chuẩn các năm thì post lên luôn nhé. Em cảm ơn nhiều

đề thi vào lớp KSTN là chương trình THPT chuyên hay là toán cao cấp và vật lí đại cương của đại học hả anh , nếu ko học trường chuyên thì có khả năng thi ko anh , em thấy vẫn có người ko học trường chuyên vẫn đỗ vào lớp KSTN

Nếu ta lấy 1 đồng xu ra, ta còn lại 2 đồng xu và có $2!=2$ cách đổi chỗ 2 đòng xu này, cụ thể:

 

Cách 1

 

Cách 2

 

Lấy thêm 1 đồng xu nữa, ta còn 1 đồng xu, và ta có $1!=1$ cách đổi chỗ đồng xu này

 

 

Bây giờ ta lấy đi đồng xu cuối cùng, cái này hơi trừu tượng một chút, ta lấy đi đồng xu cuối, bây giờ ta có $0$ vật thể, vậy có bao nhiêu cách hoán vị $0$ vật thể đó? Có 1 cách, chính là đây:

 

 

Khá là trừu tượng, nhưng thực sự chỉ có $1$ cách để dịch chuyển $0$ vật thể, vì vậy một lần nữa ta được $0!=1$. 
 

Bây giờ ta thử biểu diễn trên trục tọa độ $Oxy$ xem sao, trục $Ox$ ứng với các giá trị $1; 2; 3; ...$, còn trục $Oy$ ứng với kết quả của $1!, 2!, 3!, ...$, vẽ các điểm và nối lại, ta được hình sau:

 

 

Từ hình vẽ, tôi dự đoán đồ thị cắt trục $Oy$ tại $1$ từ đó dẫn đến kết quả $0!=1$

 

 
Nhắc đến đồ thị, về lý thuyết, mỗi điểm trên đồ thị ứng với 1 giá trị $x;y$, giả sử tôi chọn 1 điểm bất kỳ trên trục $Ox$, giữa $1$ và $2$, giả sử là $\frac{3}{2}$, thế $\frac{3}{2}!$ bằng bao nhiêu? Các nhà toán học đã đưa ra ý tưởng về phép tính này, giả sử $\frac{3}{2}!=\Gamma$ hay tổng quát hơn là $\Gamma (n)$, người ta nói 
$$\Gamma (n)=\int_{0}^{\infty }t^{n-1}.e^{-t}\ dt$$. 
 

Lúc này sẽ có 1 số người thấy quen thuộc phép tích phân này, một số thì chưa, đây là 1 ý tưởng rất là phức tạp, 

nhưng điều này có thể giải thích cho phép tính giai thừa. 
 

Còn một vấn đề nữa, điều này thì không mấy ai mong đợi xảy ra, nhưng nếu chúng ta lấy tất cả các giá trị để

tính giai thừa (tức tập $\mathbb{R}$), giả sử giá trị đó là  
$$\Gamma (n);n \in\mathbb{R};(\Gamma (n)=n!)$$ 
 

thì ta được $\Gamma (n)=(n-1)!$, chú ý nhé! 
 

Vậy ý nghĩa của việc có được 1 hàm số giúp bạn tính giai thừa cho mọi giá trị mà bạn không thể thực hiện được phép hoán vị vật thể là gì? Chẳng hạn có bao nhiêu cách hoán vị $\frac{3}{2}$ vật thể? Đó là hàm số có tính tổng quát và rất hữu ích trong nhiều vấn đề, đơn cử như toán xác suất nơi bạn có thể tìm thấy cách tính giai thừa.

Kiếm thức về hàm Gamma chính là một phần trong đồ án tốt nghiệp của mình.

Các bạn học lớp 12 trở lên đã quen với khái niệm đạo hàm cấp cao (cấp n), lên ĐH thì có khái niệm tích phân bội rồi chứ.

Đồ án tốt nghiệp của mình nghiên cứu về các phương trình đạo hàm cấp số thức mở rộng của đạo hàm cấp n đấy.

Trong định nghĩa các công thức này, hàm Gamma được sử dụng để thay thế cho hàm giai thừa trong đạo hàm cấp n và tích phân bội n lần đấy.

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp $ \Delta ABC$ biết $C_{(-1;-3)}$; đường trung trực của cạnh $BC$ là $d: 3x+2y-4=0$ ; và trọng tâm $G_{(4;-2)}$.

B1: Phương trình cạnh $BC: 2x-3y-7=0$.

B2: Điểm $M$ là trung điểm của $BC$ phải thuộc $d$. nên $M$ là giao $BC$ và $d$.

B3: Điểm $B$ đối xứng với $C$ qua $M$ nên tìm được điểm $B$ nhé.

B4: $G$ là trọng tâm nên $\vec{AG}=2\vec{GM}$. Tìm được điểm $A$.

B5: Lập PT đường trung trực của $AC$.

B6: Tâm $I$ là giao điểm của đường thẳng này với $d$.

B7: Bán kính đường tròn $R=IC$.

B8: PT đường tròn ngoại tiếp.

Đề thấy hơi buồn cười nhưng vẫn giải cho bạn xem.

Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(a;b;c)$.

Ta có $(P)//Ox$ nên $a=0$.

Ta có $(P)$ cắt $d_1$ và $d_2$ nên $c\ne 2b$.

Vậy PTMP $(P)$ là $b(y-2)+cz=0$ với $c\ne 2b$.

NX: bài này đáng ra phải là $(P)$ vuông góc với $d_1$ và $d_2$.

Cho mặt cầu $(S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+6y-4z-2=0 $. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với giá của vector $\overrightarrow{v}_{(1;6;2)}$ ; vuông góc với đường thẳng $(\alpha): x+4y+z-11=0$ và tiếp xúc $(S)$.

Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=[\vec{v};\vec{n_Q}]=(-2;1;-2)$.

Do đó, PT mặt phẳng $(P)$ có dạng $2x-y+2z+d=0$.

Mặt phẳng này tiếp xúc với $(S)$ nên ta có $d(I;(P))=R\Leftrightarrow \frac{|2+3+2+d|}{3}=4$

TH1: $d=5$ ta được $(P): 2x-y+2z+5=0$.

TH2: $d=-19$ ta được $(P): 2x-y+2z-19=0$.

Trong không gian, cho (P) : x+y -3z +14 =0 . Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và qua A(1;3;2) và B(-3;1;4). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và cắt (S) theo một đường tròn có diện tích bé nhất 

Ta có đường tròn giao tuyến của bán kính r.

Nên diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi r nhỏ nhất.

Tức là k/c I đến (Q) lớn nhất.

Ta có $d(I,(Q)) \le d(I, AB)$

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(2;3),$ đường phân giác trong góc $A$ có phương trình, $x-y+1=0$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $I(6;6)$. Viết phương trình cạnh $BC$ , biết diện tích tam giác $ABC$ gấp $3$ lần diện tích tam giác $IBC.$

Gọi $J$ là giao điểm của $AI$ với $BC$.

Theo giả thiết $S_{ABC}=3S_{IBC}$ nên suy ra $AJ=3IJ\Rightarrow \vec{IJ}=-2\vec{IA}$

Suy ra, $J(10;9)$.

PT đường tròn $(C)$ có tâm $I(6;6)$, bán kính $IA=5$ là $(x-6)^2+(y-6)^2=25$

Gọi $K$ là giao điểm thứ hai của $(C)$ và phân giác trong của $A$.

Suy ra $K(9;10)$.

Do $K$ là giao điểm của đường phân giác trong góc $A$ với $(C)$ nên $K$ là điểm chính cung của cung $BC$.

Suy ra $IK\perp BC$. Mà $\vec{IK}=(3;4)$

Vậy phương trình đường thẳng $BC$ là $3x+4y-66=0$.

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+6y-2z-28=0$ và hai đường thẳng:

$d_{1}: \left\{\begin{matrix}x=-5+2t &  & \\  y=1-3t&  & \\  z=-13+2t&  & \end{matrix}\right.$ ; $d_{2}:\frac{x+7}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-8}{1}$

Viết phương trình $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ và song với 2 đường thẳng $d_{1};d_{2}$

Dạng cơ bản mà.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-3;1)$ và bán kính $R=\sqrt{42}$.

Vecto $\vec{n}=[\vec{u_1};\vec{u_2}]=(1;4;5)$ là vecto pháp tuyến của $(P)$.

PT mặt phẳng $(P)$ có dạng $x+4y+5z+a=0$.

Để $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ thì ta có $\frac{|2.1-4.3+5.1+a|}{\sqrt{1^2+4^2+5^2}}=\sqrt{42}\Leftrightarrow |a-5|=42$

$\Leftrightarrow a=47;a=37$.

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn.

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $B$; $A_{(2;-4)}$. Phân giác trong của $\widehat{B}$ có phương trình: $x+y-6=0(\Delta)$ .Viêt PT cạnh $AC$, biết $S_{ABC}=16 $ và $y_{B}>0$

Phương trình đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\Delta$ là $d:x-y-6=0$

Gọi $I$ là giao điểm của $\Delta$ và $d$. Ta có, $I(6;0)$.

Gọi $A'$ là giao điểm của $d$ với $BC$. Ta có $A'(10;4)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ là $AB:a(x-2)+b(y+4)=0$

Ta có $AB$ tạo với $\Delta$ góc $45^0$ nên ta có $\frac{|a+b|}{\sqrt2.\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt2}{2}$

$\Leftrightarrow a=0$ hoặc $b=0$.

TH1: Với $a=0$ thì PT cạnh $AB$ là $y+4=0$.

Suy ra, $B(10;-4)$. Loại vì theo giả thiết $y_B>0$.

TH2: Với $b=0$ thì PT cạnh $AB$ là $x-2=0$.

Suy ra, $B(2;4)$. PT cạnh $BC$ là $y=4$.

Suy ra, $AB=8$ nên $BC=4$.

Mặt khác

Mặt khác, $\vec{BC};\vec{BA'}$ cùng chiều (Tính chất phân giác trong)

nên ta được $C(6;4)$.

PT cạnh $AC$ là $2x-y-8=0$

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $( C ): (x-2)^{2}+(y+3)^{2}= \frac{27}{4}$ và đường thẳng $d:3x-4y+m-7=0$. Tìm $m$ để trên $d$ có duy nhất điểm $M$ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến $MA, MB$ tới $( C )$ (Với $A,B$ là các tiếp điểm) sao cho $\angle AMB=120^{0}$

Đường tròn có tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=\frac{3\sqrt3}{2}$.

Theo giả thiết suy ra, $\widehat{IMA}=60^o$ nên $IM=\frac{IA}{\sin 60^o}=3$.

Do đó, $M$ nằm trên đường tròn tâm $I$ có bán kính $R'=3$.

Phương trình $(x-2)^2+(y+3)^2=9$ giao với đường thẳng $d$ tại duy nhất một điểm.

Tức là hệ $\begin{cases}(x-2)^2+(y+3)^2=9 \\ 3x-4y+m-7=0 \end{cases}$ có duy nhất một nghiệm.

Từ PT thứ hai suy ra $3(x-2)=4(y+3)-m-5$, thay vào PT thứ nhất ta được $(4(y+3)-m-5)^2+9(y+3)^2=81$

$\Leftrightarrow 16t^2-8(m+5)t+(m+5)^2+9t^2=81$ với $t=y+3$.

$\Leftrightarrow 25t^2-8(m+5)t+m^2+10m-56=0$ phải có nghiệm duy nhất.

$\Leftrightarrow \Delta'=16(m+5)^2-25(m^2+10m-56)=0$

$\Leftrightarrow m^2+10m-200=0$

$\Leftrightarrow m=10;m=-20$

Vậy có 02 giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=-20$ và $m=10$.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $B(-4;-2)$, góc $\hat{ACB}=75^{0}$. Đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình $2x+y=0$. Gọi D là điểm trên cạnh BC sao cho $DC=2DB$. Tìm tọa độ điểm A, biết góc $\hat{ADC}=60^{0}$ và A có hoành độ âm.

PT đường thẳng $BC$ là $BC: x-2y=0$.

Gọi $H$ là chân đường cao từ $A$. Ta có $H(0;0)$.

Gọi tọa độ điểm $C(2a;a)$.

Ta có $D(\frac{2a-8}{3};\frac{a-4}{3})$.

Gọi tọa độ điểm $A$ là $A(b;-2b)$ với $b<0$.

Ta có $AH^2=5b^2$

$DH^2=\frac{5(a-4)^2}{9};CH=5a^2$

Ta có $\tan\widehat{ACD}=\frac{AH}{CH}=\frac{-b}{|a|}=2+\sqrt3$  (1)

Ta có $\tan\widehat{ADH}=\frac{AH}{DH}=\frac{-3b\sqrt5}{|a-4|\sqrt5}=\frac{-3b}{|a-4|}=\sqrt3$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $(2\sqrt3+3)|a|=|a-4|$

Giải được $a$, từ đó suy ra $b$.

bai 2 cho tam giác ABC có A(3;4) và trọng tâm G( \frac{1}{3};2) và tâm đường tròn ngoại tiếp I(5;0). Tìm toạ độ B,C

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có $\vec{AG}=2\vec{GM}\Rightarrow M(-1;1)$.

- Phương trình cạnh BC: đi qua M và vuông với IM là $5x-y+6=0$.

- Phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC là $(x-5)^2+y^2=20$.

Khi đó, B, C là giao của BC với (C)

(Bạn giải hệ ra nhé).

bai 1:trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A biết phương trình AB: 3\sqrt{7}x-y-3\sqrt{7}=0.Điểm B,C thuộc trục Ox và điểm A thuộc góc phần tư thứ nhất. Xác định toạ độ các đỉnh tam giác biết chu vi tam giác bằng 18 và tìm điểm M thuộc AB, N thuộc BC sao cho MN chia đôi chu vi và diện tích tam giác ABC

bai 2 cho tam giác ABC có A(3;4) và trọng tâm G( \frac{1}{3};2) và tâm đường tròn ngoại tiếp I(5;0). Tìm toạ độ B,C

Bài 1: Ta có $B=Ox\cap AB\Rightarrow B(1;0)$.

ĐIểm $A\in AB$ nên $A(a;3\sqrt{7}a-3\sqrt{7}$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $B, C\in Ox$ nên tọa độ trung điểm $H$ của $BC$ là $H(a;0)$.

Suy ra, $C(2a-1;0).

Ta có chu vi tam giác ABC là 18 nên có phương trình $2AB+BC=18$

(Bạn giải ra là tìm được a nhé. Từ đó tìm được tọa độ các điểm A, C$.

Còn phần $MN$ mình k hiểu cái vụ chia đôi chu vi là sao?